正方形的性质及判定

正方形的性质
与判定
板块名称
中考考试要求层次
A
B
C
正方形
会识别正方形
掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题
1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质
正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．
③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
3．正方形的判定
判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．
1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系
2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。

3. 提高学生分析问题与解决问题的能力。

4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点
重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。

难点：正方形知识的灵活应用
中考要求
知识点睛
重、难点
教学目标
一、正方形的性质
【铺垫】正方形有条对称轴．
【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形
⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为
F
E
D C
B
A
⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．
【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个
正方形重叠形成的重叠部分的面积和为
A 5
A 4
A 3
A 2
A 1
【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连
接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为
P
N
M
E D
C B
A
【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
E
D
C
B
A
例题精讲
【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.
【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于
M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．
【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=
P
D
C
B
A
【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是
等腰直角三角形．
【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交
于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠=．
【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，
则AFD ∠=
F
E
D
C B
A
【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别
交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．
【巩固】 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证
DF DE =．
G
F
E
B
D
A
【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，
DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.
【巩固】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.
【例10】 （2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长
线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.
【巩固】 ☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并
延长交DE 于F ．
（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；
（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明
理由．
【例11】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正
方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为．
【例12】 ☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，
HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；
⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个
四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面
积为_________2cm ．
图3
图1图2
H D
G
C F
E
B
A
O
H G
F
E
D
C B
A
【巩固】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：
（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.
【例13】 如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，
于G ，求证： DG DA =
G F
E
C
D
B
A 【巩固】 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长
的一半，求MAN ∠的度数
A
B
C
D
E
F E '
G
N
M
D
C
B
A
【巩固】 如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF
交于H ，求证：AH =正方形的边长．
【例14】 ☆把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如
图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
【例15】 如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点
M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.
二、正方形的判定
【例16】 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：
⑴四边形EFGH 对角互补；
⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．
H
E
F
G D
C
B
A
【巩固】 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE
∆是等边三角形．
⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；
⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
【巩固】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平
分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；
⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．
【例17】 ☆如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，
PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．
【例18】 ☆如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若
2
3
EFGH S =，则b a -=
H G
F
E
D
C
B
A
【例19】 如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为2
7cm 和2
11cm ，则CDE
∆ 的面积为
G
F
E
D
C
B A
【巩固】 ☆如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11
PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1
BPP ∠= P 1
P
D
C
B
A
【例20】 如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为
顶点组成一个正方形．
P
R
Q S N
M
F
E
D
C
B
A
【例21】 ☆
已知：PA 4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB 与PD 的长；
（2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，与相应∠APB 的大小.
P
D
C
B
A
1.
如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =
O
F
E D
C B
A
2. 如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，
四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______.
3.
如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．
4. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．
课后练习。