安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

高二数学（答案在最后）
满分：150分
考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.直线20x y ++=的倾斜角为（）
A.45°
B.60°
C.135°
D.150°
【答案】C 【解析】
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率1k =-，利用tan k α=即可算出所求的倾斜角大小．【详解】根据题意：202x y y x ++=⇔=--，
所以该直线的斜率为1-，设该直线的倾斜角为α，且0180α︒≤<︒，可得tan 1135αα=-⇔=︒．故选：C
2.在空间直角坐标系中，已知点()0,0,1A ，()1,2,3B ，(),,2C m n ，若向量AB
与向量BC 共线，则m 的
值为（）
A.0
B.
12
C.1
D.
32
【答案】B 【解析】
【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.
【详解】根据题意：()1,2,2AB = ，()1,2,1BC m n =---
，AB 与BC
共线，所以()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= ，
可得1
2λ=-，12
m =．故选：B
3.已知等差数列{}n a 满足1356a a a ++=，则24a a +=（）
A.10
B.8
C.6
D.4
【答案】D 【解析】
【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果.【详解】由1356a a a ++=，得到336a =，即32a =，所以24324a a a +==，故选：D.
4.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b =
，1
AA c =
，
点M 为四边形11BCC B 的中心点，则AM = （
）
A.111222
a b c ++
B.1122a b c
++
C.111222
a b c +- D.1122
a b c
-- 【答案】A 【解析】
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】根据题意，1111()22
AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++
，
又BC AC AB
=-，所以1111111222222
AM AB BB AC c =++=++ ，
故选：A.
5.已知双曲线22
2:14y x C b
-=的渐近线方程为250x =，则该双曲线的焦点坐标分别为（
）
A.
()3,0，()
3,0- B.()0,3，()0,3-C.()1,0，()1,0- D.
()0,1，()
0,1-【答案】B 【解析】
【分析】由渐近线、,,a b c 的关系以及焦点的概念即可求解.
【详解】已知双曲线22
2:14y x C b -=的渐近线方程为220y x x by b
=±⇔±=，对照250x =，可得
25b =，
所以2549c =+=，所以该双曲线的焦点坐标分别为()0,3，()0,3-．故选：B.
6.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足21n n S a =-，则12
24
log T T =（）
A.45
B.50
C.55
D.60
【答案】D 【解析】【分析】根据1n
n n a S S -=-可得12n n a a -=，结合等比数列的定义可知{}n a 是首项为1，公比为2的等比
数列，结合等比数列的通项公式求出n a ，进而求出
12
4
T T 即可求解.【详解】根据题意：1121,21n n n n S a S a --=-=-，两式作差可得12n n a a -=，当1n =时，11a =，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以()()44
1
1560125612894
2,
22n n T a a a a a a T -==⋅⋅⋅⋅=⋅==，所以12
2
4
log 60T T =，故选：D ．
7.已知点F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，直线:21l y x =+与该抛物线交于,A B 两点，点M 为AB 的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为1M .若17
||4
MM =，则p =（）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B 【解析】
【分析】先运用中位线定理，将17
||4
MM =转化得到,A B 两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到p 的值.
【详解】根据题意，过点,A B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为11,A B ，所以1117||||2||2
AA BB MM +==，所以72
AF BF +=
，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据定义可得121222
p p
AF BF x x x x p +=+
++=++，联立()221222
44210221y px p x p x x x y x ⎧=-⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩，
1227
322
p AF BF x x p p p -+=++=
+=⇒=．故选：B .
8.已知函数()[]f x x =表示不超过x 的最大整数，41n a n =-，[]2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，
则100S =（）
A.673
B.747
C.769
D.821
【答案】A 【解析】
【分析】用特殊值法，根据对数得运算对n b 进行分类，从而求出前100项的和.
【详解】根据题意分析可得：[][]
1212log log 31b a ===，[][]
2222log log 72b a ===，
[][]3232log log 113b a ===，[][]4242log log 153b a ===，
584b b ~=，9165b b ~=，17326b b ~=，33647b b ~=，651008b b ~=，
所以10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：A
二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知向量()2,2,1a =-
，(),,2b x y = ，则下列结论正确的是（
）
A.向量a
关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()
2,2,1B.若a b ⊥
，则20
x y -+=C.若a b =
，则225
x y +=D.若a b ⊥ 且a b = ，则2x =-，1
y =-【答案】AC 【解析】
【分析】根据向量的对称可判断A;根据空间向量垂直的坐标表示可判断B;根据空间向量模长的坐标表示可判断C;结合题意联立20x y -+=，225x y +=,计算即可判断D.
【详解】对于选项A :根据题意可知向量()2,2,1a =-
关于平面Ozx 的对称向量的坐标为()2,2,1,故A 正确；对于选项B :若a b ⊥
，则2220a b x y ⋅=-+=
，即10x y -+=，故B 错误；
对于选项C :若a b = ，则225x y =⇔+=，故C 正确；
对于选项D :若a b ⊥ 且a b = ，22
10251x y x x y y ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩
或12x y =⎧⎨=⎩，故D 错误．
故选：AC.
10.已知椭圆2
22:1(1)x C y a a
+=>的上顶点为B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，则下列说法正确的是（
）
A.若
12BF BF ⊥，则a =
B.若椭圆C 的离心率为
2
，则2a =C.当2a =时，过点1F 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为1
2D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为A ，112BF F A = ，则2
32
a =
【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A 项，易得等腰直角三角形12BF F ,则1b c ==，即得；对于B 项，由离心率公式和222a b c =+易得；对于C 项，由椭圆中过焦点的最短弦长即通径22b a
，易得；对于D 项，利用112BF F A = 表示出点A
的坐标，代入椭圆方程计算即得.
【详解】对于A 项，若12BF BF ⊥，因12BF BF =,可得1b c ==，则a =
，故A 项正确；
对于B 项，由22
2
2
12
a e a -==可解得：2a =，故B 项正确；对于C 项，2a =时，椭圆2
2:14x C y +=，因过点1F 的直线被椭圆C 所截的弦长的最小值为通径长，
即22112
b a =≠，故C 项错误；
对于D 项，如图，因为()0,1B ，()1,0F c -，设点(,)A m n ，由112BF F A =
可得(,1)2(,)c m c n --=+，
解得：31,22c A ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭，代入椭圆2
2
2:1x C y a +=中，可得2291144
c a +=，即22
9(1)344
a a -=，解得：2
32a =，故D 项正确．故选：ABD .
11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，238a a +=，现将数列{}n a 与数列{}1n S -的公共项从小到大排列可以得到新数列{}n b ，则下列说法正确的是（）
A.21n a n =-
B.2
1
n S n =-C.10399b = D.数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前10项和为
10
21【答案】ACD 【解析】
【分析】根据题设条件求出数列{}n a 的公差，易得通项n a 和前n 项和n S ，易于判断A,B 两项；对于新数
列{}n b ，可以通过项的列举找到公共项，易得其通项，判断C 项；对于D 项，因数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项易于裂
项，故运用裂项相消法求和即得.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，由231238a a a d +=+=解得：2d =，故12(1)21n a n n =+-=-，()
21212
n n n S n +-=
=，故A 项正确，B 项错误；
将数列{}n a 列举出来为：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, 数列{}1n S -列举出来为：0,3,8,15,24,35,,
故共同项依次有：3,15,35, ,即13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ ，
故2
(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-，则1041001399b =⨯-=，C 项正确；
因()()211111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭
，其前10项和为11111111111011232352192122121
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．故D 项正确.故选：ACD.
12.点A ，B 为圆22():21M x y -+=上的两点，点()1,P t -为直线:1l x =-上的一个动点，则下列说法
正确的是（
）
A.当0=t ，且AB 为圆的直径时，PAB 面积的最大值为3
B.从点P 向圆M 引两条切线，切点分别为A ，B ，AB 的最小值为
3C.A ，B 为圆M 上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得π3
APB ∠=
D.当()1,2P -，AB =时，PA PB +
的最大值为1
【答案】ABD 【解析】
【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A ；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B ；由B 项可判定C 项；根据圆的弦长公式确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D.【详解】对A ：当0=t ，AB 为直径时，1122
PAB A S PM h =⨯
⨯ （其中A h 为点A 的纵坐标），所以当点A 为()2,1或()2,1-时，三角形PAB 的面积最大，
()1max 1232
PAB S PM r =⨯
⨯= ，所以A 正确；
对B ：设APM θ∠=，AB 交PM 与点N ，由圆的切线性质Rt Rt BNP MNB ，则ABM APM θ∠=∠=，
所以2cos AB θ=，θ越大，AB 越小，当点P 在()1,0-处时，θ最大，
此时1sin 3θ=
，cos 3θ=，3
AB =，即min 3AB =，B 正确；
对C ：当点P 在()1,0-处，且PA ，PB 为切线时，APB ∠最大，此时11sin 32APM ∠=
<，即π6APM ∠<，π23
APB APM ∠=∠<，所以不存在符合的点，C 错误；
对D ：设AB 的中点D ，则MD AB ⊥，2
2
1122MD r AB ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，
所以点D 在以M 为圆心，1
2为半径的圆上，2PA PB PD += ，
设小圆半径为1r ，则1max
1132
PD
PM r =+=+
，
则PA PB +
的最大值为2131+，D 正确．
【点睛】思路点睛：选项D 中根据圆的弦长公式求出点D 轨迹为圆，问题转
化为圆外一定点到圆上动点距离的最大值.
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知直线1:1l y kx =+，()2:2l y k x =-，则直线1l ，2l 之间距离的最大值为______．【答案】5【解析】
【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.【详解】由题意可知：直线1:1l y kx =+的斜率为k ，过定点()0,1A ；直线()2:2l y k x =-的斜率为k ，过定点()2,0B ；可知12l l //，所以两直线之间距离的最大值为5AB =
.
14.过点()3,1的直线l 被圆：22450x y x +--=所截得的弦长的最小值为______．
【答案】【解析】
【分析】首先分类讨论得圆心()2,0到直线l 的距离最大值，结合弦长公式即可求解.【详解】根据题意：直线l 过定点()3,1，判断可知点()3,1在圆22450x y x +--=内，而圆2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=，若直线l 斜率存在时，设:31l y kx k =-+，圆心()2,0到直线31y kx k =-+
的距离为d =
，
所以(
)
2
22
1210d k k d -++-=，若1d =，则0k =，若0,1d d >≠，则()
2
24410d ∆=--≥，解得01d <<
或1d <≤，
直线l
斜率存在时，max d =
，此时1k =-，
若直线l 斜率不存在时，即:3l x =，圆心()2,0到直线3x =的距离为1d =，综上所述，圆心()2,0到直线l
，
所以所截的弦长的最小值为=
故答案为：.
15.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为4，直线:l y kx =与双曲线
C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线MP 、MQ 的斜率分别为MP k 、MQ k ，
且3MP MQ k k ⋅=，若12MF F △
的面积为，记直线1MF 、2MF 的斜率分别为1MF k 、2MF k ，则
12MF MF k k +=______．
【答案】【解析】
【分析】首先联立22
221x y a b
y kx
⎧-=⎪⎨⎪=⎩
，由韦达定理结合3MP MQ k k ⋅=得2
23b a =，进一步得双曲线方程，由12MF F △
的面积为M 坐标，由斜率公式即可求解.
【详解】
设(),M M M
x y ，0M
x
>，0M y >，根据题意，可得2c =，
联立22
221x y a b
y kx
⎧-=⎪⎨⎪=⎩，化简得()2222220b a k x a b --=，2
2
2b k a <，所以22
1212222
0,a b x x x x a k b
+==-，所以()()()()
222222222
2
2
12122
222
12122222223M M M
MP MQ M
M M M M
a b b x b a k b a k k kx y kx a y k x x y b k x x a b k b x x x x x a x
--+⋅=
=
⎛⎫+-===--⎪⎭+--+ ⎝，
又2
2
2
4a b c +==，可得2
1a =，2
3b =，所以双曲线2
2
:13
y C x -=，
12MF F △
的面积为
，可得1
22
M M c y y ⨯⨯=⇔=代入双曲线C
的方程可得M x =M
的坐标为，
所以12MF MF k k +==
故答案为：16.已知抛物线22(0)y px p =>，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为60︒时，2BF =，O 为坐标原点，则OAB 面积的最小值为______．
【答案】
9
2
【分析】结合题意求出p ,设直线3
:2
AB x my =+，结合韦达定理表示出OAB 面积，结合基本不等式即
可求解.
【详解】如图所示，分别过,A B 向准线作垂线，垂足分别为A '、B '，过B 作AA '的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为60︒时，结合题意易得2BF BB ='=，所以()cos601cos60BF p BF BF p ︒=-⇔+︒=，即3
232
p =⨯=，设()11,A x y ，()22,B x y ，满足2
116y x =，2
226y x =，
设直线3
:2
AB x my =+
，代入抛物线方程26y x =，可得2690y my --=，121269
y y m
y y +=⎧⎨=-⎩，
所以(
)1219222
OAB p S y y =
⨯+≥=
，当0m =时，三角形OAB 面积取最小值，此时最小值为
92
．故答案为：
92
．四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知直线l 过点()1,2．
（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足3b a =，求直线l 的方程；
（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当OAB 的面积最小时，求直线l 的方程．
【答案】（1）350x y +-=或20x y -=（2）240
x y +-=
【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.【小问1详解】
根据题意：直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点()0,0时，设直线l 为13x y a a
+=，将()1,2代入可得5
3
n =
，所以直线l 的方程为350x y +-=；当直线l 过原点()0,0时，直线l 的斜率为
20
210
-=-，所以直线l 的方程为()221y x -=-即20x y -=．综上，直线l 的方程为350x y +-=或20x y -=；【小问2详解】
设直线l 的方程为()21(0)y k x k -=-<，所以21,0A k ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
，()0,2B k -，所以()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫
=
⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，当且仅当4k k
-=-
时，2
442OAB S k k =⇔=⇔=- ，2k =（舍），所以直线l 的方程为()()221y x -=--即240x y +-=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2
n S n =．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【答案】（1）21n a n =-（2）()1
2326
n n T n +=-⨯+【解析】
【分析】（1）根据n S 与n a 的关系易得21n a n =-，需要检验首项是否符合；
（2）利用错位相减法求和即得.【小问1详解】
根据题意：2
n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，两式相减即得：2
2
(1)21n a n n n =--=-，因1n =时，11a =，满足上式，故21n a n =-；【小问2详解】
()2212n n n n b a n ==-⋅，
则12n n T b b b =+++ 21232(21)2,n n =⨯+⨯++-⨯ ，
()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ，
两式相减可得：()2
1
122222212
n
n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ，
(
)()()1
1
1
412122212
632212
n n n n T n n -++--=⨯+⨯
--⨯=-+-⨯-故()1
232
6n n T n +=-⨯+．
19.如图，三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为2
的等边三角形，PA PC ==
（1）证明：AC BP ⊥；
（2）若2PB =，点F 为PB 的中点，求平面ACF 与平面PBC 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）
7
7
【解析】
【分析】（1）取AC 的中点O ，证明AC ⊥平面POB 即得；
（2）先证明PO ⊥平面ABC ，建系后，求出相关点和空间向量的坐标，计算出两平面的法向量，利用空
间向量的夹角公式计算即得.【小问1
详解】
如图，取AC 的中点O ，连接PO ，BO ，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，
又因为底面ABC 是边长为2的等边三角形，
所以BO AC ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，可得AC ⊥平面POB ，又BP ⊂平面POB ，所以AC BP ⊥.【小问2详解】
因为PA PC ==
1AO =，所以1PO =
，BO =，
因为2PB =，由222PO BO PB +=可得：PO BO ⊥，
又PO AC ⊥，,,BO AC O BO AC =⊂ 平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC
，
如图，以,,OA OB OP
分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.
则()1,0,0A
，()
B ，()1,0,0
C -，()0,0,1P
，10,
,22F ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，因()2,0,0AC =-
，1
(1,)22
AF =- ，
设平面ACF 的法向量()1,,n x y z = ，则112031
022AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪
⎨⋅=-++=⎪⎩
，
取1y =
，得z =0x =
，则1(0,1,n =
，
又()1,0,1PC =--
，()
1PB =- ，
设平面PBC 的法向量()2,,n x y z =
，则220
,0
PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
取1y =
，得z =
，x =
2(n =
.
设平面ACF 与平面PBC 的夹角为θ
，则12
127cos 7n n n n θ⋅===⋅ ，
故平面ACF 与平面PBC
的夹角的余弦值为
7
．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F
，离心率为2
，P 为椭圆C 上任意
一点，点P 到1F
距离的最大值为)
21．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知过点1F 的两条不同的直线1l ，2l 关于x 轴对称，直线1l ，2l 与椭圆C 在x 轴上方分别交于M 、N 两点．直线MN 是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由．
【答案】（1）22
1
84
x y +=（2）是，()4,0-【解析】
【分析】（1）根据题意列出,,a b c 的关系式运算得解；
（2）设直线1l 的方程为()2y k x =+与椭圆方程联立得根与系数关系，由对称性可知：()22,N x y -，直线
2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，
利用MT NT k k =坐标化代入根与系数关系化简求得t 的值得解.【小问1详解】
根据题意，2
c e a =
=
，2a c +=+，
解得a =2c =，
又22224a b c b =+⇔=，
所以椭圆C 的标准方程为22
184
x y +=；
【小问2详解】
根据题意可得：设直线1l 的方程为()2y k x =+，
联立()
()
222222
212888018
4y k x k x k x k x y ⎧=+⎪
⇒+++-=⎨+=⎪
⎩，设直线1l 与椭圆C 的交点为()11,M x y ，()22,M x y '，
可得：2122
2
1228128812k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，由对称性可知：()22,N x y -，直线2l 的方程为()2y k x =-+，设直线MN 与x 轴的交点为(),0T t ，所以()()1212
121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t
+-+-=⇔
=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=，
可得：()()222
1212221616816224040
1212k tk k x x t x x t t k k --+-+-=⇔+-=++2
416
0412t t k --⇔
=⇔=-+，
所以直线MN 过定点()4,0-
．
21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，满足(
)*
12n n T a n =-∈N ．
（1）求1T ，2T 和n T ；
（2）证明：1
112222
n n n n S +⎛⎫
-+<<
⎪
⎝⎭
．【答案】（1）121111
3
721
n n T T T +===-，，（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意计算出12,T T ，将条件12n n T a =-中的n a 变为1
n n T T -，然后化简可得11n T ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列，计算可得n T ；
（2）由（1）可得121
21
n n n a +-=-，采用放缩法可得1111222n n a +-<<，根据数列求和公式计算即可得证.
【小问1详解】
当1n =时，11111
123
T a T a =-⇔==
，当2n =时，221222*********
T a a a a a T =-⇔=-⇔=
⇔=，∵数列{}n a 的前n 项积为n T ，满足(
)*
12n n T a n =-∈N ，
∴2n ≥时，121n n n T T T -=-
，化为
11121n n T T -=⨯+，变形为11
1121n n T T -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
，1n =时，
1
14T
+=，数列11n T ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是首项为4，公比为2的等比数列，∴
11111142221
n n n n n T T -+++=⨯=⇔=-，1n =时，113
T =
亦满足上式，即11
21n n T +=-；
【小问2详解】
先证明左边：即证明1
11222n n n S +⎛⎫
>-+ ⎪
⎝⎭
，1
12
1
n n T +=
-，
又由12n n T a =-，解得121
21n n n a +-=-，
又111212111
21222
n n n n n n a +++--=>=--，
所以123111142111111111
222222
2
22212
n
n n n n n S ++⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
- ，
再证明右边：()
121211212
221n n n n n a +--=<=--，
∴2
n n S <
．22.已知点()12,0F -，圆2
2
2:(2)10F x y -+=，点(),P x y 满足122PF PF -=
，点(),P x y 的轨迹为
曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆2F 交于M ，N 两点，设直线
1F M ，1F N 的倾斜角分别为,αβ．
（1）求曲线C 的方程；（2）求αβ-的值．
【答案】（1）2
2
1
3
y x -=（2）
π2
【解析】
【分析】（1）由双曲线定义即可求解.
（2）分切线l 的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，结合韦达定理、数量积公式得
()
22112
23
1
m k F M F N k -+⋅=+ ，由l 与双曲线相切得,k m 关系，由此即可得解.【小问1详解】
根据题意：()()122,0,2,0F F -，12122224PF PF a c F F -==<==
满足双曲线定义，
设曲线C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
根据定义可得221a a =⇔=，242c c =⇔=
，222b c a b =-⇔=
，
所以曲线C 的轨迹方程为2
2
13
y x -=；
【小问2详解】
根据题意：()12,0F -，()22,0F ，
当l
的斜率不存在时，
:1l x =，此时()1,3M ，()1,3N -，110F M F N ⋅=
，
所以π
2
αβ-=
；当l 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y
，
设直线:l y kx m =+，联立直线l 与圆2F 可得：
()
()122222
222
12242112460(2)106
1km x x y kx m k k x km x m x y m x x k -⎧
+=⎪=+⎧⎪+⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=-⎩⎪=⎪+⎩
，()()()
2
2222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>，
()()()
()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++
，
所以代入韦达定理可知()
()()
22
221122
234262411
m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ，因为直线l 与曲线C 相切，联立
()
2
2222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-
=⎪⇒----=⎨
⎪=+⎩
，()
230k -≠，
所以22
Δ030k m =⇔--=，故得110F M F N ⋅= ，所以π2αβ-=．。