四川省广元市2019-2020学年数学高二下期末调研试题含解析

四川省广元市2019-2020学年数学高二下期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．球的体积是323
π
，则此球的表面积是（ ） A ．12π B ．16π C ．163
π
D ．
643
π
【答案】B 【解析】 【分析】
先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】
设球的半径为R ，则由已知得3
4323
3
R ππ=，解得2R =，故球的表面积2
416S R ππ==表. 故选：B 【点睛】
本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力. 2．已知定义在(1,1)-上的函数()f x 与函数1()ln
1x
g x x
-=+有相同的奇偶性和单调性，则不等式(1)(23)0f x f x -+-<的解集为（）
A ．4(,)3
-∞ B ．4(1,)3
C ．4(,)3
+∞
D ．4(,2)3
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断()g x 的奇偶性及单调性，即可由()f x 为奇函数性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解. 【详解】
函数1()ln
1x
g x x -=+，定义域为()1,1-； 则11()ln ln ()11x x
g x g x x x
+--==-=--+，即()g x 为奇函数， 12()ln
ln 111x g x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝
⎭， 函数21y x
=
+在()1,1-内单调递减，由复合函数的单调性可知1()ln 1x
g x x -=+在()1,1-内单调递减，
由题意可得函数()f x 为在()1,1-内单调递减的奇函数，
所以不等式(1)(23)0f x f x -+-<变形可得(1)(23)f x f x -<--， 即(1)(32)f x f x -<-，
则
111
1321
132
x
x
x x
-<-<
⎧
⎪
-<-<
⎨
⎪->-
⎩
，解不等式组可得
02
12
4
3
x
x
x
⎧
⎪<<
⎪
<<
⎨
⎪
⎪>
⎩
，即
4
,2
3
x
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.
3．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】试题分析：因为双曲线的离心率为，所以，双曲线的左顶点坐标为（-a,o）,其中一条渐近线方程为，由题意可得的，解得a=8,则b=4,所以双曲线的标准方程为．
考点：双曲线的性质．
4．观察下列各式：
，
，
，
，
……
据此规律.所得的结果都是的倍数.由此推测可得（）
A．其中包含等式：B．其中包含等式：
C．其中包含等式：D．其中包含等式：
【答案】A
【解析】 【分析】
先求出数列3,7,11,15，……的通项，再判断得解. 【详解】
数列3,7,11,15，……的通项为，
当n=26时，，但是85,53,33都不是数列中的项，
故选：A 【点睛】
本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()
()x f x g x e
=
（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）
A ．(0,4)
B ．(,1)-∞，4,43⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(0,1)，(4,)+∞
【答案】D 【解析】
分析：结合函数的图象求出()()0f x f x '-<成立的x 的取值范围，即可得到结论． 详解：结合函数的图象可知：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<， 又由()
()x f x g x e =
，则()()()x
f x f x
g x e
-''=， 令()0g x '<，解得(0,1)(4,)x ∈⋃+∞，
所以函数()g x 的递减区间为(0,1),(4,)+∞，故选D ．
点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到()()0f x f x '-<，进而得到()0g x '<的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
6．已知函数2()ln (2)1()f x x ax a x a Z =++++∈在(0,)+∞上恒不大于0，则a 的最大值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得函数导数，当0a ≥时，利用特殊值判断不符合题意.当0a <时，根据()f x 的导函数求得()f x 的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得a 的取值范围，进而求得a 的最大值. 【详解】
()()()2111
'22(0)x ax f x ax a x x x
++=+++=>，当0a ≥时，()'0f x >，则()f x 在()0,+∞上单调
递增，()1230f a =+>，所以不满足()0f x ≤恒成立；当0a <时， ()'0f x >在10,a ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以
()111ln f x f a a a ⎛⎫⎛⎫≤-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()0f x ≤恒成立，即11ln 0a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭. 设()ln g x x x =+，则10g a ⎛⎫
-≤ ⎪⎝⎭
. 因为()g x 在()0,+∞上单调递增，且()110g =>
，11
ln2ln2022g ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭
，所以存在唯一的实数01,12
x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x =，
当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，所以01
0x a
<-≤，解得()012,1a x ≤-∈--，
又a Z ∈，所以2a ≤-，故整数a 的最大值为2-.故选A. 【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 7．若log 0.5log 0.50m n >>,则( ) A ．1m n << B ．1m n <<
C ．1n m <<
D ．1n m <<
【答案】D 【解析】 【分析】
由于两个对数值均为正，故m 和n 一定都小于1，再利用对数换底公式，将不等式等价变形为以10为底的对数不等式，利用对数函数的单调性比较m 、n 的大小即可 【详解】
∵log 0.5log 0.50m n >> ∴0＜n ＜1，0＜m ＜1
且
0.50.5
0lg lg lgm lgn
>> 即lg0.5（
11lgm lgn -）>0⇔lg0.5（lgn lgm
lgm lgn
-⨯）>0 ∵lg0.5<0，lgm ＜0，lgn ＜0 ∴lgn ﹣lgm<0 即lgn<lgm ⇔n<m ∴1＞m ＞n ＞0 故选D ． 【点睛】
本题考查了对数函数的图象和性质，对数的运算法则及其换底公式的应用，利用图象和性质比较大小的方法
8．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
【答案】C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
9．已知面积为16的等腰Rt AOB ∆内接于抛物线()2
20y px p =>，O 为坐标原点，OA OB ⊥，F 为抛
物线的焦点，点()10
N -，.若M 是抛物线上的动点，则MN MF
的最大值为（ ）
A B C D
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意求得,A B 两点关于x 对称，得到直线OA 的方程为y x =，由OAB ∆的面积为16，求得2p =，
再把过点N 的直线方程为(1)y k x =+，代入2
4y x =，求得判别式求得1k =±，最后利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】
设等腰直角三角形OAB 的顶点1122(,),(,)A x y B x y ，且22
11222,2y px y px ==，
由OA OB =，得2222
1122x y x y +=+，
所以22
1212220x x px px -+-=，即1212()(2)0x x x x p -++=，
因为120,0,20x x p >>>，所以12x x =，即,A B 两点关于x 对称， 所以直线OA 的方程为y x =， 由2
2y x y px =⎧⎨
=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x p
y p =⎧⎨=⎩
，故4AB p =， 所以21
2442
OAB S p p p ∆=
⨯⨯=， 因为OAB ∆的面积为16，所以2p =，
过点N 的直线方程为(1)y k x =+，代入2
4y x =可得22
22(24)0k
x k x k -++=，
所以由2
2
2
(24)40k k ∆=--=，可得1k =±，此时直线的倾斜角为45o ， 过M 作准线的垂线，垂足为A ，则MF MA =，所以
MN MN MF
MA
=
，
所以直线的倾斜角为45o 或135o
时，此时
MN MA
的最大值为2，故选B.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中求得,A B 两点关于x 对称，合理利用抛物线的定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10．函数()sin cos f x x x =+在点(0,(0))f 处的切线方程为( ) A ．10x y -+=
B ．10x y --=
C ．10x y +-=
D ．10x y ++=
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出f '（x ），再利用导数求出在x ＝1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即可． 【详解】
∵f（x ）＝sinx+cosx ，∴f '（x ）＝cosx ﹣sinx ，∴f '（1）＝1， 所以函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1；又f （1）＝1，
∴函数f （x ）＝sinx+cosx 在点（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣1＝x ﹣1．即x ﹣y+1＝1． 故选A ． 【点睛】
本题考查利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，属于基础题．
11． “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。

“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。

2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年 B ．乙巳年
C ．丙午年
D ．丁未年
【答案】C 【解析】 【分析】
按照题中规则依次从年列举到
年，可得出答案。

【详解】 根据规则，
年是己亥年，
年是庚子年，
年是辛丑年，
年是壬寅年，
年是癸卯年，
年是甲辰年，年是乙巳年，年是丙午年，故选：C 。

【点睛】
本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键，考查逻辑推理能力，属于中等题。

12．已知函数()()2
ln ,x x t f x t R x
+-=∈，若对任意的[]()()1,2,'x f x x f x ∈>-g 恒成立，则实数的取
值范围是（ ）
A
．(-∞ B ．3,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．(),3-∞
D ．9,
4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
对任意的[]1,2x ∈，()()0f x x f x '+>g 恒成立⇔对任意的[]1,2x ∈，
2221
0x tx x
-+>恒成立，⇔对任意的[]
1,2x ∈，2
2210x tx -+>恒成立，参变分离得到12t x x <+恒成立，再根据对勾函数的性质求出1
2x x
+在
[]1,2x ∈上的最小值即可．
【详解】
解：Q ()()2
ln ,x x t f x t R x
+-=∈
∴22
2
1()x lnx t f x x
-+-'= ∴对任意的[]1,2x ∈，()()'f x x f x >-g ，即()()'0f x x f x +>g 恒成立
∴对任意的[]1,2x ∈，2221
0x tx x
-+>恒成立，
∴对任意的[]1,2x ∈，22210x tx -+>恒成立，
2
1
211222x t x x x x x
+∴<=+=+恒成立，
又由对勾函数的性质可知1
2()g x x x
=+在[]
1,2x ∈上单调递增，∴()3
()12
min g x g ==，
3
2t ∴<
，即3,2t ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝
⎭． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了导数的应用，恒成立问题的基本处理方法，属于中档题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若实数x ，y 满足1
24010y x y x y ≥-⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为__________；
【答案】3 【解析】 【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移此直线可得最优解。

【详解】
作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，向上平移直线l ，z 增大，当直线l 过点
(1,2)B -时，2z x y =+取得最大值3。

故答案为：3。

【点睛】
本题考查简单的线性规划，解题方法是作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移此直线可得最优解。

14．函数()()(
)log 2,0212,0a x x f x a x x ⎧+>⎪
=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______.
【答案】(1,2] 【解析】 【分析】
在0x >和0x ≤分别保证对数型函数和一次函数单调递增；根据函数在R 上单调递增，确定分段处函数值的大小关系；综合所有要求可得结果. 【详解】
当0x >时，若原函数为单调递增函数，则1a >；
当0x ≤时，若原函数为单调递增函数，则210a ->，解得：1
2
a >
； ()f x Q 为R 上的单调递增函数，2log 2a ∴≤，解得：12a <≤；
综上所述：a 的取值范围为(
1,2⎤⎦. 故答案为：(
1,2⎤⎦. 【点睛】
本题考查根据分段函数的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略函数在分段函数分段处函数值的大小关系，造成范围求解错误.
15．设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为．现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱
互相垂直的概率为________．
【答案】
【解析】
从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为，
易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为
16．5
x x ⎛ ⎝
的展开式中，2
x 的系数为__________．（用数字作答） 【答案】1 【解析】 【分析】
写出二项展开式的通项公式，令x 的指数为2，可求得2x 项是第几项，从而求得系数． 【详解】
展开式通项为355215
5((3)r r
r
r r r
r T C x C x x
--+==-，
令3
522
r -
=，则2r =， ∴2x 的系数为22
5(3)90C -=．
故答案为1． 【点睛】
本题考查二项式定理，考查二项展开式通项公式．解题时二项展开式的通项公式，然后令x 的指数为所求项的指数，从而可求得r ，得出结论． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知椭圆()2
2
2
:220C x y b b +=>.
（1）求椭圆C 的离心率e ；
（2）若1b =，斜率为1的直线与椭圆交于A 、B 两点，且11
3
AB =
，求AOB ∆的面积. 【答案】（1）2
2e = ；（2）2212
. 【解析】 【分析】
（1）将椭圆C 的方程化为标准方程，得出a 、c 与b 的等量关系，可得出椭圆C 的离心率的值； （2）设直线l 的方程为y x m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将b 的值代入得出椭圆C 的方程，将直
线l 的方程与椭圆C 联立，消去y ，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件211
3
AB =
可求出m ，利用点到直线的距离公式计算出原点O 到直线l 的距离d ，然后利用三角形的面积公式可得出OAB ∆的面积. 【详解】
（1）Q 椭圆()2222:10
2x y
C b b b
+=>，∴椭圆长半轴长为2a b =，短半轴长为b ，
22222
1122
c b b e a a b ∴==-=-=
； （2）设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，且()11,A x y 、()22,B x y ，
1b =Q ，∴椭圆C 的方程为22:22x y +=，
由2222y x m x y =+⎧⎨+=⎩，.消去y 得2234220x mx m ++-=，又有122
1243223m x x m x x -⎧
+=⎪⎪⎨-⎪⋅=
⎪⎩
. ()
222
212121216884
22423933
m m AB x x x x x x m -∴=-=⨯
+-=⨯-=-2113=， 解得：2
14m =
满足>0∆，∴直线l 的方程为1
02
x y -±=. 故O 到直线的距离1
2242
d ==，11211222223412AOE S AB d ∆∴=⋅=⨯⨯=. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.
18．如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=o ，2EC =
，
2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30o ．
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．
【答案】 (Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 13
． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）先证得EF FC ⊥，再证得EF BD ⊥，于是可得EF ⊥平面BCD ，根据面面垂直的判定定理可得平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求． 【详解】
（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点， 所以1
12
FC BD =
=. 因为,E F 是,AD BD 的中点， 所以1
12
EF AB =
=，且2EC =， 所以222EF FC EC +=， 所以EF FC ⊥.
又因为,//AB BD EF AB ⊥， 所以EF BD ⊥， 又BD FC F ⋂=， 所以EF ⊥平面BCD ， 因为EF ⊂平面EFC ， 所以平面EFC ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ，
因为1
22
CE AD =
= 所以CD AC ⊥.
又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=， 所以CD ⊥平面ABC ， 所以ME ⊥平面ABC ．
因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角．
故22cos306AC MC EC ==⋅=o ，
所以2CD BC ==
.
过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ， 且23
AB BC BN AC ⋅=
=
． 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ， 则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角． 因为2BE BC EC ===，
所以22366
,226
BH BE HN BH BN =
==-=
， 所以1
cos 3
HN BHN BH ∠=
=， 因此二面角A CE B --的余弦值为13
． 方法二：
如图所示，在平面BCD 中，作x 轴⊥BD，以B 为坐标原点，BD ，BA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ． 因为2CD BC ==
(同方法一,过程略)
则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．
所以()=1,0,1CE -u u u v ,()0,1,1BE =u u u v ,()0,1,1AE =-u u u v
，
设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =v
，
则·0C ?0
AE m E m ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即111100y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =v ．
设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =v
则·0·
0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v v
u u u v v ，即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =,得()1,1,1n v =-．
所以·1cos ,3
m n m n m n ==
v v v v
v v ， 由图形得二面角A CE B --为锐角， 因此二面角A CE B --的余弦值为1
3
． 【点睛】
利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．
19．在锐角ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且12
2
1
,.n
i i
i n
i
i x y nxy
b a y bx x
nx ==-=
=--∑∑.
（Ⅰ）求A 的值；
（Ⅱ）
若b c -=ABC V
a 的值. 【答案】 (1)60A =︒. (2)3a =. 【解析】
试题分析：（1
2sin cos 0A A A -=，由锐角三角形，得cos 0A ≠
，sin 2
A =，所以60A =o ；（2）由1
sin 2
ABC S bc A ∆=，得4bc =，所以2213b c +=，由余弦定理解得3a =． 试题解析：
(Ⅰ
)()sin20A B C ++=Q ，
(
)sin2sin20A A A A π+-=-=
2sin cos 0A A A -=,
又ABC ∆为锐角三角形，∴ cos 0A ≠
，sin A =
∴ 60A =o .
(Ⅱ)
由11sin 22ABC S bc A bc ∆=
==4bc =, 2
2225b c b c bc -=+-=Q ，2213b c ∴+=, 2221
2cos 132492
a b c bc A ∴=+-=-⨯⨯
=，
即3a =.
点睛：本题考查解三角形的应用．解三角形在高考中属于基本题型，学生必须掌握其基本解法．本题中涉及到三角形的转化，二倍角公式的应用，以及面积公式、余弦定理的应用．学生需充分掌握三角函数化简及解三角形的公式，才能把握解题．
20．已知抛物线2
:2(0)C y px p =>与椭圆22
143
x y +=有共同的焦点，
过点(1,0)M -的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点.
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)若·16MA MB =u u u v u u u v
，求直线l 的方程.
【答案】 (Ⅰ) 抛物线C 的方程为2
4y x =;(Ⅱ)直线l
的方程为10x +=
或10x ++=. 【解析】
分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为()()-1010，，，
,则12
p
=,抛物线C 的方程为24y x =. (Ⅱ)依题意,可设直线l 的方程为 ()()12221,,,x my A x y B x y =-，． 联立直线方程与抛物线方程可得
2
440y my -+=, 结合韦达定理可得()()211221,1,4 4.MA MB x y x y m ⋅=+⋅+=+u u u v u u u v
则24416m +=,
解得
m =l
的方程为10x +=
或10x ++=．
详解：(Ⅰ)因为椭圆22
143x y +=的焦点坐标为()()-1010，
，，, 而抛物线2
:2(0)C y px p =>与椭圆22
143
x y +=有共同的焦点，
所以
12
p
=,解得2p =， 所以抛物线C 的方程为2
4y x =.
(Ⅱ)依题意,可设直线l 的方程为 ()()12221,,,x my A x y B x y =-，．
联立2
1
4x my y x
=-⎧⎨=⎩,整理得2440y my -+=, 由题意, ()2
4440m ∆=--⨯>,所以1m >或1m <-．
则1212
44y y m
y y +=⎧⎨
=⎩. 则()2
1212121124242x x my my m y y m m m +=-+-=+-=⋅-=-,
()22121212121)1)14411x x my my m y y m y y m m m =--=-++=-⋅+=（（.
则()()()()112212121,1,11MA MB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++u u u v u u u v
1212121x x x x y y =++++ 22142144 4.m m =+-++=+
又已知16MA MB ⋅=u u u v u u u v
,所以24416m +=,解得3m =±． 所以直线l 的方程为31x y =-或31x y =--． 化简得直线l 的方程为310x y -+=或310x y ++=．
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
21．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．） （1）根据以上数据完成下列22⨯的列联表；
（2）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
主食蔬菜 主食肉类 合计
50岁以下
50岁以上 合计
参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc k a c b d a b c d -=
++++
()20P K k ≥
0.05
0.025
0.010 0.005 0.001
0k
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）见解析 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）完善列联表得到答案.
（2）计算得到210 6.635K =>，比较数据得到答案. 【详解】 （1）
（2
）()
2
230812*********
10 6.63512182010
12182010
K -⨯⨯==
=>⨯⨯⨯⨯⨯⨯，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄
有关． 【点睛】
本题考查了列联表，独立性检验，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程是1 x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原
点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l sin cos 0m θρθ-+=． （Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且
||||2
PA PB ⋅=，求实数m 的值．
【答案】（Ⅰ）)y x m =-；
（Ⅱ）1m =或1m =-或3m = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据参数方程与普通方程互化原则、极坐标与直角坐标互化原则可直接求得结果；（Ⅱ）P 为直线l 上一点，以P 为定点可写出直线l 参数方程标准形式，将直线l 参数方程代入曲线C 的普通方程进行整理，从而利用参数t 的几何意义可构造方程122PA PB t t ?=，从而得到关于m 的方程，解方程求得结果.
【详解】
（Ⅰ）由1x y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩得：()2212x y -+=
即曲线C 的普通方程为：()2
212x y -+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：
直线l
0x m -+=
，即)3
y x m =
- （Ⅱ）直线l
的参数方程可以写为：2 12x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数） 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t
将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程可得：2
21122m t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
即：)()2
21120t m t m -+--=
()2
12122PA PB t t m ∴⋅==--=，解得：1m =或1m =-或3m =
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、直线参数方程的应用，关键是能够利用直线参数方程中参数t 的几何意义，将距离之和转变为韦达定理的形式，从而可构造出关于所求变量的方程，属于常考题型.。