物理微积分试题-上

2 2
2
2
D
六.( 10 分)某水坝中有一个三角形的闸门,该闸门铅直地倒立在水中,它的底边与水平 面相齐,水的密度为 r(kg/ m 3 ),重力加速度为 g ,已知三角形底边长 a 米,高 h 米, 问该闸门所受的水压力等于多少? 七( 8 分)设 y = f ( x ) > 0 在 [ a, b ] 上连续,试证明至少存在一点 x ∈ [ a, b ] ,使得在
x a b b
f (b) = (b − a) f (b) > 0.由连续函数的性质, 至少存在一点ξ ∈ [a, b], 使得 F (ξ ) = 0,以 x 代ξ , 得 : ( x − a) f ( x) = ∫ f ( x)dx
x b
八.(5分) 证 : 由罗尔定理, 存在 ξ 1 ∈( 0, 1), 使
x →0
3 2
t ( t − sin t ) d t
四. 求下列导数或偏导数(每小题 7 分,共 21 分)
1 ⎧ 2 ⎪ x sin 1. 设 f ( x ) = ⎨ x ⎪ ⎩ 0
x≠0 x=0
求 f ′( x)
2． 设 u = f ( x + y + z , x y z )具有二阶连续偏导数, 求 :
x 在点 (1,1) 处的全微分 d f (1,1 ) = __________ ; y
4. 交换二次积分次序 5.曲线 y =
∫
1 0
d x ∫ f ( x, y ) d y = __________ ___ ;
x
1
cos x 0 ≤ x ≤
π
2
绕 x 轴所得旋转体的体积 V = ______ ;
3n 27 , 方法一： 0 < xn < ,由夹逼定理，得： lim x n = 0 n →∞ n! 2n 3 方法二： x n = x n－1 < x n (n > 3) (*), 且 x n > 0 , 故 { x n } 单调递减有下界， n 必有极限，记为 I，(*) 式两边取极限，得 I ＝ 0 ，即 lim x n = 0
dx = x a 2 + x 2 − I + ln( x + a 2 + x 2 )
x 1 a 2 + x 2 + ln( x + a 2 + x 2 ) + C 2 2
π
2 a cos θ 0 −
2 dθ 2. 解 I = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dσ = ∫ π ∫ D 2
(r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ )rdr 3 πa4 2
C． 2 D． e −2 ,
{
}
A． e,
B． 0,
三.求下列极限(每小题 6 分,共 12 分) 1.试用两种方法 求 试卷不得超过 100 分)
lim
n →0
3n n!
(若超过二种方法,每增加一种方法加 3 分,但是,整份
2．设 f ( x) =
∫ ∫
x 0
x2 0
t dt , 求 lim f ( x)
一．1.p10 T10, 2.p64,例 4 ， 3. p135 例 5, 4. P228.例 3, 5. 二．1． 2. 指南 p109.1.(4) 3.定理, 4.指南 p57.1.(7), 5.指南 p124.1.(2) 三．1． 2.p196 T8(2) 四．1. 2.p141 例 5． 3．p65 例 6
2
C.存在不一定连续
D.存在且连续
1 + e −x 1 − e −x
2
, 则该曲线 _____
C.仅有垂直渐近线 D.既有水平又有垂直渐近线
B.仅有水平渐近线
cos ( xy )
∫∫ xe
D
sin( xy) dxdy , D = ( x, y ) x ≤ 1, y ≤ 1 , 则 I = ____ .
2005 年第一学期高等数学试题 A 答案 一．(15 分) ４． 填 : 1.填 2
x2
２．填 90 ５．填 3. C, 4. D
3.填
1 1 dx − dy 2 2
∫ dy ∫
0
1
y 0
f ( x, y )dx
2．A
π。
5.B
二．(15 分) 1．B 三．(12 分)
1.解 : 记 x n ＝
2
f ′( ξ 1 ) = 0
在 [ ξ 1 ,1 ]上, 令 F ( x) = e (1− x ) f ′( x), 再应用罗尔定理, 得 − 2(1 − ξ ) f ′(ξ ) = f ′′(ξ ), 即 f ′′(ξ ) = 2(1 − ξ ) f ′(ξ ),
ξ ∈ [ ξ 1 ,1 ], 从而, ξ ∈ [ 0,1]
∂u ∂ 2 u , ∂x ∂x∂ z dy dy , ; dx dx x = 0
3．求由方程 x y − e + e
x
y
= 0 所确定的隐函数 y 的导数
五. 求下列积分(每小题 7 分,共 14 分) 1. 计算 I =
∫ a + x dx 2 . 计算 I = ∫∫ ( x + y )dσ，其中D是中心在点 (a,0)，半径为 a 的圆..
y + xy ′ − e x + e y y ′ = 0 y (0) = 0, ∴ y ′(0) = 1
ex −y , 且 x+ey
Байду номын сангаас
1．解 : I = x a 2 + x 2 − ∫ +a2∫ ∴I = 1 a2 +x2
x2 a2 +x2
dx = x a 2 + x 2 − ∫ a 2 + x 2 dx +
物理类微积分试题上 一.填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设 f ( x) = x ，g ( x) = 2 ，则 g [ f ( x)] = ______ .
2 x
2. 设 y = x e , 则 y
2 x
( 10 )
( 0 ) = ____
3. 函数 f ( x, y ) = arctan
＝∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2 a cos θ 0
r dr = 4a
3
4
∫π
2 −
π
cos 4 θ d θ =
2
六． (10分)解 : 距水面 z m 深处取一高为 dz 的细长条, 宽为 x, 则 x a a a a = 故 x = (h − z ), 则 xdz = (h − z )dz 压力 dp = rg (h − z ) zdz h−z h h h h 2 h a arg h 故 P = ∫ rg (h − z ) zdz = (吨) 0 h 6 七(8分)解 : 令 F ( x) = ( x − a) f ( x) − ∫ f ( x)dx, 则 f (a) = − ∫ f ( x)dx < 0,
′ ′ 2. 解 : u ′ x = f1 + y z f 2 , ′′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′ u ′′ z x = u x z = f 11 + xy f 12 + y f 2 + yz ( f 21 + xy f 22 )
3. 解 : 方程两边对求导, 得 得 : y′ =
五．(14 分)
n→∞
2x x 3 3x 2 x2 2. 解 : 原式 = lim = 2 lim = 6 lim = 12 x →0 x ( x − sin x ) x →0 1 − cos x x →0 1 2 x 2
(21分) 1. 当x ≠ 0, f ′( x) = 2 x sin 四． 1 − x; 当x = 0, f ′(0) = lim x →0 x x 2 sin 1 −0 x =0 x−0
[ a, x ] 上的,高为 f ( x ) 的矩形面积等于在 [ x, b ] 上的以 f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积.
八. (5分)设函数 f ( x) 在[ 0,1] 上有二阶导数且 f (0) = f (1) = 0, 证明 : 存在ξ ∈ (0, 1 ), 使 2 ( 1 − ξ ) f ′(ξ ) = f ′′(ξ ).
0
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.不能确定
3. 设z = f ( x, y )在点( x 0 , y 0 )处可微, 则在点( x 0 , y 0 )处, f x′ ( x 0 , y 0 ), f y′ ( x 0 , y 0 ). ____ A.不一定存在 4. 设 曲线 y = A.没有渐近线 5. 设 I = B.存在但不连续
二.单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1． 设函数 f ( x) = lim
A. ( − ∞, + ∞ )
2 − nx 2 , 则 其定义域 是 _____ n →∞ 1 + nx
B. x ≠ 0 C. x ≠ −
1 n
D.以上皆不正确
x
2 . 设 f ( x) 在 [− a, a ] 上连续且为偶函数，则 g ( x)＝ ∫ f（t） d t 是 _____