高三数学高考模拟试卷(理科)

2009年高考模拟试卷 数学卷(理科)
第Ⅰ卷（共50分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 2
4R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A·B ）=P （A ）·P （B ） 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 球的体积公式334R V π=
那么n 次独立重复试验中恰好发生 其中R 表示球的半径 k 次的概率
k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.(原创)在复平面内，复数3
21i i z -=对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2. (08年杭州市第二次检测卷改编)已知集合1124,2x M x
x Z +⎧⎫
=<<∈⎨⎬⎩⎭
，{}1,1N =-，则M N =
A.(-1,1)
B.{-1}
C.{-1,1}
D.[-1,1]
3.(原创)已知||2||→
→
=b a ，命题p ：关于x 的方程0||2
=⋅++→
→→
b a x a x 没有实数根，命题
q:]3
,
0[,π
>∈<→
→b a ，则命题p 是命题q 的
A . 充要条件
B . 充分不必要条件
C . 必要不充分条件
D . 既不充分也不必要条件 4.（08舟山高考预测卷改编）设函数10)21()(x x f -=，则导函数)(/x f 的展开式中2
x 项的
系数为
A ．1440
B ．-1440
C ．-2880
D ．2880
5.(原创）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和大于
6
5
的概率为 A .3625 B .7225 C .3611 D .72
47 6.(09高考辽宁理科改编)已知点P 是抛物线x y 22
=上的一个动点，点P 到y 轴上的射影是
M,点A 的坐标是（2
7
，4）,则|PA|+|PM|的最小值是 A .217 B .3
C .5
D .
2
9
7.（08金华一中高考模拟卷改编）如图，圆周上按顺时 针方向标有1，2，3，4，5五个点。

一只青蛙按顺
时针方向绕圆从一个点跳到另一点。

若它停在奇数 点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上， 则跳两个点。

该青蛙从5这个点跳起，经2009次
跳后它停在的点是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8. (08高考样卷改编)求
21
+-
=x
x y 的零点个数 A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
9. (原创)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-≥+,,0,0a x y x y x （a 为常数）表示的平面区域的面积是8，
则y x +2的最小值 A .4
1
-
B .0
C . 12
D .20 10. 如图，AB 是平面α的斜线段．．．
，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的PA=PB,则动点P 的轨迹是 A .圆
B .椭圆
C .一条直线
D .两条平行直线
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.(原创) 命题“存在实数m ，使方程012
=++mx x 有实数根”的否定是 . 12.(原创)在△ABC 中，c b a ,,分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若5
5
22cos
,4
,2=
=
=B C a π
,则△ABC 的面积是 .
13. (原创)某流程如图所示,执行后输出的结果是 .
4 .
.
.
.
. 5 2
3
1
14.(08浙江高考改编）用0，1，2，3，4，5组成六个数（没有重复数字），要求任何相邻两个
数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答） 15.(08杭州一模卷改编)如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，则平均得分
较高的运动员是 甲这组数据的中位数是
第（15题） 第（16题）
16.(原创) 一个几何体的三视图如图所示，其中
俯视图为正三角形，侧视图为矩形，则这个 几何体的体积为 17.(原创)已知函数)10()
0(,)1()0(,2)1(log )(2
≠>⎩⎨
⎧<+-≥++=a a x a x a x x x f a 且 在R 上是增函数，
则a 的取值范围是
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(08高考福建卷17改编)(本题满分14分)已知向量→
m =(cos A , sin A ),→
n
=1)-，→
→⋅n m ＝1，且A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）求函数)(sin 2cos 42cos )(R x x A x x f ∈+=的值域.
19. (08高考浙江卷改编)(本题满分14分)袋中装有7个大小相同的白球和黑球，从中任取2个球都是白球的概率为
7
1。

现甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即停止，每个球在每一次被取到的机会是等可能的。

（Ⅰ）求袋中原有白球的个数； （Ⅱ）求取到2次终止游戏的概率； （Ⅲ）求甲取到白球的概率。

20.(08年高考山东卷改编)(本题满分15分)如图，已知四棱锥P -ABCD ,PA ⊥平面ABCD , 底面ABCD 为正方形,PA=AC,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：EF ⊥A D ;
（Ⅱ）在平面PAB 内求一点G ，使GF ⊥PCD 平面，并证明你的结论；
（Ⅲ）求AC 与平面AEF 所成角的正弦值.
21.(08高考湖北卷19改编)(本题满分15分)如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30°. 曲线C 是满足|MA |+|MB |为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 问是否存在直线,使得△OEF 的面积为3，若存在, 求直线l 的方程;若不存在，试说明理由.
22.(08高考天津卷) 已知函数.,),0()(R b a x b x
a
x x f ∈≠++
=其中 （Ⅰ）若曲线)(,13))2(,2()(x f x y f P x f y 求函数处的切线方程为在点+==的解析
式：
（Ⅱ）讨论函数)(x f 的单调性；
（Ⅲ）若对于任意的b x f a 求上恒成立在不等式,1,4110)(,2,21⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈的取值范围.
2009年高考模拟试卷 数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）A （2）B （3）B （4）C （5）D （6）D （7）B （8）C （9）A （10）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

(11) 对任意的实数m ，使方程012
=++mx x 无实数根 (12)
78 (13)2009
2008 （14）32 （15）甲 、34.5 （16）336 （17）1<2≤a
三、解答题：本大题共5小题，共74分.
18. 本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次
函数的最值等基本知识，考查运算能力.(满分14分). 解：（Ⅰ）由题意得1sin cos 3=-=
⋅→
→A A n m ， ……2分
21)6c o s (=
+π
A
由A 为锐角得36ππ=+A ，6
π
=∴A ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2
1
2cos =A
所以.2
3)21(sin 2sin 2sin 21sin 22cos )(22
+--=+-=+=x x x x x x f ……10分
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2.
当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.……14分
19.本题主要考查概率的基础知识和与分类思想，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以
及解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球,从袋中任取2个球是白球的结果数是2
)
1(-n n ， 从袋中取2个球的所有可能的结果数为
212
7
6=⨯， ……2分 由题意知,42
)
1(21712)
1(-==-n n n n
).2(3,6)1(-==∴=-∴n n n n 舍去 ……5分
（Ⅱ）记“取球2次终止”的事件为A,则P(A)=
7
2
6734=⨯⨯ ……8分 （Ⅲ）记“甲取到白球的事件”为B,“第i 次取出的球是白球”的事件为i A ,i=1,2,3,4,5. 因而甲先取，所以甲只有可能在第1次和第3次和第5次取球. ……10分 所以)()(531A A A P B P ++=.
).
()()()(.,,321531A P A P A P B P A A A ++=∴两两互斥因为
35
22
35135673334152637453637473=++=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+=
. ……14分 20.本题考查空间的线线、线面、线面垂直关系，求直线与平面所成的角以及空间想象能力和推理能力.
（Ⅰ）证明:以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=a ，则A(0,0,0),B(0,a ,0),C(a ,a ,0),D(0,a ,0)P(0,0,a )E(a ,
2a ,0)F(2a ,2a ,2
a
)……2分 0)0,,0()2
,0,2(=⋅-=⋅→
→
a a
a AD EF
AD EF ⊥∴ ……4分 （Ⅱ）解：设G(x ,0,z ),则
)
0,0,()2,2,2(),2
,2,2(a a
z a a x DC FG a z a a x FG ⋅---=⋅---
=→→→
.2,0)2(a
x a x a =∴=-= ……6分
),,0()2
,2,2(a a a
z a a x DP FG -⋅---=⋅→→
.00)2(22=∴=-+=z a
z a a ……8分 .),0,0,2
的中点点为即点坐标为（
AB G a
G ∴ ……9分 （Ⅲ）解：设平面的AEF 法向量为).,,(z y x n =→
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→
→,0)0,2,)(,,,0)2
,2,2)(,,(,0,0a a z y x a a a z y x AE n AF n （得由 ).1,2,1(,1,2,1,02,0)2-=∴=-==⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=++→n z y x y a ax z y x a
则取（即……12分 .63
6
2|
|||,cos =⋅=
⋅⋅>=
<∴→
→
→→→
→a a n AC n
AC n AC ……14分
.6
3
所成角的正弦值为
与平面AEF AC ∴ ……15分 21.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法和解题
能力.（满分15分）
（I ）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，
则A （－2，0），B （2，0），D （0，2），P （3，1），依题意得 .4||621)32(1)32(||||||||2222=>=+-+++=+=+AB PB PA MB MA
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆. ……2分 设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，
则c =2,.2,6,2622222=-==∴=c a b a a ……5分
.12
62
2=+∴y x C 的方程为曲线 ……7分
解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得
.4|||||||||||=>+=+AB PB PA MB MA
∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆. ……2分
设双曲线的方程为),0,0(122
22>>=+b a b
y a x
则由,2,6,4,11)3(222222
22==⎪⎩
⎪
⎨⎧+==+b a b a b
a 解得 ……5分
.12
62
2=+∴y x C 的方程为曲线 ……7分
（Ⅱ）依题意，可设直线2+=kx y l 的方程为，代入椭圆C 的方程并整理得
.0612)31(22=+++kx x k
① ……9分
直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，
.3333,
0)31(64)12(,
0312
22
-<>⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+⨯-=∆≠+k k k k k 或 ②
设),,(),,(2211y x F y x E 则由①式得于是,316
,31122
21221k
x x k k x x +=+-
=+ 2212221221))(1()()(||x x k y y x x EF -+=-+-=
.311
36214)(12
22
212
212
k k k x x x x k +-⋅+=-+⋅+=
而原点O 到直线l 的距离,122
k
d +=
.31136231136211221||212
222
22k k k k k k EF d S OEF
+-=+-⋅+⋅+⋅=⋅=∴∆ 当OEF ∆面积为3，即,22=∆O EF S 则有
.1,0123311
362242
2±==+-⇔=+-k k k k
k 解得 ③ ……12分
综合②、③知，存在直线22+-=+=x y x y 或满足题意. ……14分
22.本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力，满分15分. （I ）解：.8,3)2(,1)(2
-=='-
='a f x a
x f 于是由导数的几何意义得 ……2分 .9,7213))2(,2(==+-+=b b x y f P 解得上可得在直线由切点 ……3分
.98
)()(+-
=x
x x f x f 的解析式为所以函数 ……5分 （II ）解：.1)(2x
a x f -
=' .),0(),0,()().0(0)(,0内是增函数在这时显然时当+∞-∞≠>'≤x f x x f a ……7分
:
)(),(,.
,0)(,0的变化情况如下表变化时当解得令时当x f x f x a x x f a '±=='>
所以),0(),0,(,),(),,()(a a a a x f -+∞--∞在内是增函数在内是减函数.……10分 （III ）解：由（II ）知，)1()4
1(]1,41
[)(f f x f 与上的最大值为在中的较大者，……12分
.
]2,2
1
[9,4439,10)1(,10)41(,]1,41
[10)(],2,21[成立对于任意的即当且仅当
上恒成立在不等式对于任意的∈⎪⎩⎪⎨
⎧
-≤-≤
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤∈a a b a b f f x f a .47,,47⎥⎦⎤ ⎝
⎛∞-≤
的取值范围是所以满足条件的从而得b b ……15分
萧山十中
朱国芳。