2017版高考复习方案大二轮：专题篇 10 简解一类“恒成立”高考题 Word版含答案

简解一类“恒成立”高考题
定理 (1)若函数()f x 在x a =处可导，且[,)x a b ∈时()()()f x f a ≤≥恒成立，则
()()0f a '≤≥；
(2) 若函数()f x 在x b =处可导，且(,]x a b ∈时()()()f x f b ≤≥恒成立，则
()()0f b '≥≤．
初步感知 若()()()f x f a a x b ≤≤<，所以函数()f x 在x a =处右侧附近的图像是减函数．又函数()f x 在x a =处可导，所以()0f a '≤．
同理，可得其他结论也成立．
严格证明 若()()()f x f a a x b ≤≤<，由函数()f x 在x a =处可导及导数的定义，得
()()
()lim 0x a
f x f a f a x a
+
→-'=≤-
同理，可证得其他结论也成立．
题1 (1)(2006年高考全国卷II 理科第20题)设函数)1ln()1()(++=x x x f ．若对所有的
0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围．
(2)(2014年高考陕西卷理科第21(2)题)设函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥，其中
()f x '是()f x 的导函数.若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)设()()(0)g x f x ax x =-≥，得()(0)(0)g x g x ≥≥． 由定理(1)得(0)0g '≥，即1a ≤．
由导数易证()(0)f x x ax x ≥≥≥，所以所求实数a 的取值范围是]1,(-∞．
(2)可得题设即“(1)ln(1)(0)x x ax x ++≥≥恒成立”．由(1)知，所求答案也为]1,(-∞． 题2 (2007年高考全国卷I 理科第20(2)题)设函数x
x
e e x
f --=)(，若对所有的0≥x ，
都有ax x f ≥)(，求实数a 的取值范围．
解 同上可求得答案为]2,(-∞．
题3 (2008年高考全国卷II 理科第22(2)题)设函数sin ()2cos x
f x x
=+，若对所有的0≥x ，
都有ax x f ≤)(，求实数a 的取值范围．
解 设()()(0)g x f x ax x =-≥，得()(0)(0)g x g x ≤≥． 由定理(1)得(0)0g '≤，即13
a ≥． 下证当13a ≥
时()(0)f x ax x ≤≥，只需证1
()(0)3
f x x x ≤≥： 当x π≥且sin 0x ≤时，欲证成立．
当x π≥且sin 0x >时，得sin 1
()sin 12cos 3
x f x x x x =≤≤≤+．
还须证明0x π≤<时，欲证成立．
即证2cos 3sin 0(0)x x x x x π+-≥≤<．
设()2cos 3sin 0(0)g x x x x x x π=+-≥≤<，因为用导数易证tan 02πααα⎛
⎫
≥≤< ⎪⎝
⎭
，所以
()22cos sin 2sin tan 0(0)22x x g x x x x x x π⎛
⎫'=--=-≥≤< ⎪⎝
⎭
所以()g x 是增函数，得()(0)0(0)g x g x π≥=≤<，即欲证成立．
所以所求实数a 的取值范围是⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,31
．
题 4 (2010年高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数2
)1()(ax e x x f x
--=，若当
0≥x 时，都有0)(≥x f ，求a 的取值范围．
解 题设即()0(0)f x x ≥>，也即e 10(0)x
ax x -->>，还即e 10(0)x
ax x -->≥． 用以上方法可求得答案为]1,(-∞．
题5 (2009年高考陕西卷理科第20(3)题)已知函数1()ln(1),01x
f x ax x x
-=++≥+，其中0a >.若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．
解 设()()(0)(0)g x f x f x =-≥，得题设即()(0)(0)g x g x ≥≥.由定理(1)得
(0)0g '≥，即2a ≥．
当2a =且0x ≥时，还可证()(0)(0)g x g x ≥≥，即证(1)ln(21)20(0)x x x x ++-≥≥． 设
()(1)ln(21)2(0)
h x x x x x =++-≥，得
(2
1
x h
x
x x '
+=
+
+-
． 设()(21)ln(21)2(0)t x x x x x =++-≥，得()2ln(21)0(0)t x x x '=+≥≥，所以()t x 是增函数，得()(0)0(0),()0(0)t x t x h x x '≥=≥≥≥，即()h x 是增函数，所以
()(0)0(0)h x h x ≥=≥，得欲证成立．
所以当2a ≥时，()(0)(0)g x g x ≥≥． 得所求a 的取值范围是[2,)+∞．
题6 (2013年高考辽宁卷文科第21题)(1)证明：当]1,0[∈x 时，
sin 2
x x x ≤≤； (2)若不等式3
2
2(2)cos 42
x ax x x x ++++≤对]1,0[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)略．
(2)设3
2
()2(2)cos 42
x f x ax x x x =++++-，得()(0)(01)f x f x ≤≤≤，所以由定理3(1)可得(0)0f '≤即2a ≤-．
当3a ≤-且01x ≤≤时，还可得：
32
2
()(2)4(2)sin 22
x x
f x a x x x =+++-+2
32
(2)4(2)(2)0(0)24x a x x x x a x f ⎛⎫≤+++-+=+≤= ⎪ ⎪⎝⎭
得所求实数a 的取值范围是(,2]-∞-． 题
7
(2013
年高考辽宁卷理科第21题)已知函数
x x x ax x g x x f x
cos 212
)(,e
)1()(3
2+++=+=-．当]1,0[∈x 时：
(1)求证：()1
1-1x f x x
≤≤
+； (2)若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．
解 (1)欲证的左边等价于01e
)1(2≥++-x x x
.设1e )1()(2++-=x x x h x ，得
1e )12()(2+-='x x x h ．
得x
x x h 2e
4))((=''，所以当]1,0[∈x 时，0))((≥''x h 恒成立，所以)(x h '是增函数，得
0)0()(='≥'h x h ，所以)(x h 是增函数，得0)0()(=≥h x h ，即欲证成立．
可得欲证的右边等价于)10(1e ≤≤+≥x x x
，这用导数极易证得． (2)设()()()h x f x g x =-，得题设即()(0)(01)h x h x ≥≤≤． 由定理(1)可得(0)0h '≥即3a ≤-． 当3a ≤-且01x ≤≤时，还可得：
)cos 212
(1)cos 212(e
)1()()(3
32x x x ax x x x x ax x x g x f x
+++--≥+++-+=--
)cos 22
1(2
x x a x +++-=
设x x x G cos 22
)(2
+=，
得x x x G sin 2)(-='．用导数可证得)(x G '在[0,1]上是减函数，所以0)0()(='<'G x G ，即)(x G 在[0,1]上是减函数，所以)10(2)0()(≤≤=≤x G x G ，进而可得：当3-≤a 时，)10)(()(≤≤≥x x g x f 恒成立．
得所求实数a 的取值范围是(,3]-∞-．
题8 (2014年高考北京卷理科第18题)已知函数⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-=2,
0,sin cos )(πx x x x x f ． (1)求证：0)(≤x f ； (2)若b x x a <<
sin 对0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 解 (1)略． (2)设sin ()02x g x x x π⎛⎫=
<< ⎪⎝⎭，得2c o s s i n ()002x x x g x x x π-⎛⎫'=≤<< ⎪⎝⎭
(由(1)得)，所
以()g x 是减函数，得sin ()02x h x x x π⎛⎫=
<≤ ⎪⎝⎭是减函数，
所以所求a 的最大值是2
2h ππ
⎛⎫= ⎪⎝⎭．
设()sin 02t x x bx x π⎛⎫
=-≤< ⎪⎝
⎭
，由题设得()(0)02t x t x π⎛⎫
≤≤<
⎪⎝
⎭
恒成立，(0)0t '≤，即1b ≥．
用导数易证sin 002x x x π⎛⎫-<<< ⎪⎝⎭，即sin 102x b x x π⎛
⎫<≤<< ⎪⎝
⎭．
所以所求b 的最小值是1．
练习 1.若2
ln (1)(1)x x a x x ≤-≥恒成立，求实数a 的取值范围． 2.设()ln (1)(f x x a x a =--∈R ). (1)讨论函数()f x 的单调性； (2)若当1x ≥时，ln ()1
x
f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：1.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 2.(1)得1
()(0)f x a x x
'=
->. 当0a ≤时，可得()0(0)f x x '>>恒成立,所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数.
当0a >时，可得函数()f x 在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是减函数.
(2)可得题设即2
ln (1)0(1)x x a x x --≤≥恒成立.
令2
()ln (1)(1)F x x x a x x =--≥,得题设即()(1)(1)F x F x ≤≥恒成立. 可得函数()F x 在1x =附近是减函数，由定理3(1)得1
(1)120,2
F a a '=-≤≥. 当
12
a ≥
时，
1
()
20(1),()F x a x F x x
'''=-≤≥是减函数，所以
1
()20(1),()(1)120(1)F x a x F x F a x x
''''=
-≤≥≤=-≤≥. 所以()F x 是减函数,得()(1)(1)F x F x ≤≥恒成立. 所以所求实数a 的取值范围是12
a ≥.。