merton模型公式

merton模型公式
Black-Scholes-Merton模型是衍生品定价中一个非常基本的模型，它给出了对欧式期权的定价。

理解它对于理解量化金融非常重要。

这里仅介绍一种简单理解，因此本文中的所有数学细节都不严谨，仅供参考。

一、金融基础：期货（Futures）
首先我们看wikipedia上对远期和期货的定义：
In finance, a forward contract or simply a forward is a non-standardized contract between two parties to buy or to sell an asset at a specified future time at a price agreed upon today, making it a type of derivative instrument.
In finance, a futures contract (more colloquially, futures) is a standardized forward contract which can be easily traded between parties other than the two initial parties to the contract.
远期协议是一个买卖双方在未来以某价格交易某种资产的一个协议，而期货是一种标准化的远期协议，更容易来交易。

所以我们可以看到期货的几个要素：一个标的资产，一个价格，买卖双方，交割日。

当
然，因为一般我们要用保证金来保证协议在未来能够被履行，所以还有一个要素是保证金。

例如股指期货，它的标的资产就是股票指数，比如沪深300指数（对沪市和深市2800只个股按照日均成交额和日均总市值进行综合排序，选前300名的股票作为样本，以2004年12月31日这300只成份股的市值做为基点1000点，实时计算的一种股票价格指数）。

沪深300指数期货可以在周一到周五早9:30-11:30和下午13:00-15:00进行交易，它合约的价值是点位*300元(例如如果是3000点，合约价值即900000元)。

交易股指期货既可以看涨也可以看跌来获利，即既可以做多又可以做空。

沪深300指数期货会在每个月第三个星期五交割，并且以沪深300现货指数截止15:00之前两个小时的算术平均价作为交割结算价。

沪深300指数期货的保证金为10%-15%。

二、金融基础：欧式期权
有了期货，我们如果看涨某个标的，可以做多获利，看跌某个标的，可以做空获利。

但是，如果我们看错了，我们的损失即标的资产的反向变动幅度乘以杠杆率。

那么，我们能不能想办法规避这种风险，又能享受到我们方向正确时的收益呢？期权即给了我们这样一种工具。

In finance, an option is a contract which gives the buyer
(the owner or holder of the option) the right, but not the obligation, to buy or sell an underlying asset or instrument at a specified strike price on a specified date.
期权是一种金融衍生工具，它是权利而非义务，拥有它可以在未来某一天以一定的价格买入或卖出某种标的资产。

期权有欧式与美式之分，主要区别在于行权日期限制不同，我们主要聚焦于定价更简单的欧式期权：
A European option may be exercised only at the expiration date of the option, i.e. at a single pre-defined point in time.
欧式期权仅在某个行权日可以行权，它的收益可以用下两式表出：
Call option payoff = max((S - K), 0)
Put option payoff = max((K - S), 0)
其中S是标的价格，K是行权价格。

可以看到，多空双方相当于进行了一次对赌，如果S>K则多方获胜，如果S
刚才我们从买方的角度考虑了这个问题，我们控制住了风险，但现在我们换到卖方的视角:我们应该为这个风险定一个怎样的价格呢？
三、金融基础：无套利原则
由于金融市场套利的便捷性，我们可以假设市场不存在无风险套利机会。

即假设：
如果有合约(p, c1, …, ck)其中p是合约价格c1…ck为回报，那么：
1. ck >= 0则p >= 0 (weak no-arbitrage)
2. ck >= 0且有一些cl > 0则p > 0 (strong no-arbitrage)
这事实上很好理解，因为天上不能掉馅饼，也就是说我们也不能不花钱就有回报。

当然，这也基于以下假设：
1. 市场流动性充分好，有足够多的买方和卖方。

2. 信息对称，而且资金博弈可以使市场趋于均衡。

基于此，我们可以对资产进行定价。

例如，一个一年后回报A元的合约现在价值为A/(1+r)，其中r是无风险利率。

因为我们可以创建如下组合：
买一个合约-p，贷出A/(1+r)元钱+ A/(1+r)。

由无套利原则，我们知道合约价值应大于等于0即p <= A/(1+r)，我们也可以创建如下组合：
卖出一个合约p，借来A/(1+r)元钱- A/(1+r)。

由无套利原则，我们知道合约价值应大于等于0即p >= A/(1+r)，因此p = A/(1+r)。

对于随机的回报，我们也有类似的无套利原则。

如果有合约V1…Vk 其中Vi是合约价值，该值为一个随机变量，那么：（下面所有的w其实是omiga）
1. 不存在type A arbitrage：V0 < 0 且 V1(w) >= 0
2. 不存在type B arbitrage：V0 < 0 且 V1(w) >= 0 且some V1(w) > 0
举个例子，如果一个资产S有p的概率变成uS，（1-p）的概率变成dS，那么可以证明仅当d < r < u时满足无套利原则，我们可以多空结合该资产和无风险资产证明该式。

后面我们会介绍，这个模型叫二叉树模型。

对于无套利原则有一个很重要的推论，如果两个资产（或资产组合）A、B有一样的未来现金流，那么根据无套利原则，他们的定价应该相等。

否则，【买A卖B】和【买B卖A】定有一个不符合上述weak no-arbitrage原则。

这点也很容易理解，因为如果A、B有一样的未来现金流，定价又不等，买方一定都会去买那个便宜的而卖掉贵的，推高便宜的资产的需求和贵的资产的供给，从而把价格拉到均衡水平。

这一点推论我们之后会在解释Black-Scholes-Merton公式时用到。

四、数学基础：布朗运动
股价（或一般资产的价格）一般受到时间和突发事件的影响。

所以展示出一种trend和一种随机的波动，time trend我们可以用dt来刻画，可是这种随机游走我们应该如何刻画呢？事实上，刻画随机游走我们需要两条性质：
1. 鞅性，即未来走势与过去所有信息无关，这样才叫“随机”。

2. 变化要比时间快，也就是dWt应比dt量级低，这样才够“突发”。

在物理里我们有一种布朗运动，它有如下性质：
1. 变化与过去信息无关 E(Bt-Bs|Fs) = Bs 如果t>s
2. 变化比时间快 dt = dBt * dBt
因此，用它来描述资产价格的突变就流行了起来。

五、数学基础：伊藤公式和随机微分方程
伊藤公式是解随机微分方程的一个重要公式，
主要用到了我们前面布朗运动讲到的dBt*dBt=dt和泰勒公式，泰勒公式可以参考这里：
随即微分方程与微分方程类似，但我们要解出的是一个随机过程，而非一个函数。

它也有初始条件，我们下一节将给出一个解随机微分方程的例子。

六、数学基础：几何布朗运动
现在我们要给出刻画资产价格变化的模型。

我们假设资产价格变化率受到时间和布朗运动两个维度的影响，而且影响的系数是恒定的，就有：
从这个推导我们可以看出用几何布朗运动来模拟标的资产的价格走势非常合适。

事实上，几何布朗运动曲线也的确很好地模拟了是股价、商品价格走势：（用R语言模拟，代码略）
几何布朗运动因具有：未来回报独立与过去过程独立、仅允许正值、简单易用等特点，因此在对股价建模中经常被使用。

之前我们提到，仅当d < r < u时满足无套利法则，理解上我们可以想d < u < r和r < d < u时会发生怎样的套利，即可理解这是唯一可能的均衡。

利用我们在第三部分无套利原则中讲的推论：如果两资产在未来产生完全相同的现金流，他们的价格应该相等，我们可以如下推导出基于二叉树模型的定价：
这里面q是风险中性概率测度，它和S0上涨的真实概率未必一样，但它是真实概率的一种评估，也是一种概率测度。

在风险中性概率测度下，未来回报的期望值折现，即现在的价值。

八、Black-Scholes-Merton公式
从上面的介绍我们可以看出，如果我们需要给一个衍生品定价，只需要组合出一个和它未来回报相同的投资组合，然后看它的价钱即可。

那么首先，我们定义一种self-financing strategy:
可以看出，这里定义的self-financing strategy如果在T时刻等于期权的回报，在0时刻的价格就应该是期权的定价（根据前面讲的无套利原则），也就是说，我们只需解出V0即可得出欧式期权的当前价格。

我们有：Black-Scholes公式即是上述随机微分方程的解，随机微分方程如下（把u替换成V，X替换成S，u1'前正负号差别只是衍生品假设不同）：
{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0
Black-Scholes-Merton给出的解是：
{\begin{aligned}C(S,t)&=N(d_{1})S-N(d_{2})Ke^{-r(T-
t)}\\d_{1}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}
C表示的是Call option的定价，N是正态分布的cdf。

Put option 的定价可以由Call-Put parity给出：
C(S, t) + k*exp(-r(T-t)) = P(S, t) + S
这是因为如果我们构建两个投资组合A（one share call + k share zero-coupon）和B（one share put + one share underlying），他们是等值的，因此应该是等价的。

当然，这个解看起来并不显然，下一节将给出对这个解的一种理解。

九、风险中性测度下理解Black-Scholes公式
1. 变换测度的含义
理解Black-Scholes-Merton模型
f1架起了两个概率测度之间的桥梁，如果存在这样的非负f1，则Q 对P绝对连续。

如果P对Q绝对连续，Q对P也绝对连续，那么P和Q就是等价概率测度。

事实上，等价概率测度在哪些事情可能发生上持相同意见即可。

或者说，如果对所有F上的集合A：（1）P(A) = 0则Q(A) = 0且（2）Q(A) = 0则P(A) = 0，则P和Q是等价概率测度。

2. 风险中性的含义
回顾一下二叉树模型，我们用股票和无风险资产构建了一个资产组合，它的价值在“好”的情况下和“不好”的情况下都和期权的回报相同。

我们叫它“replicated portfolio”。

在某个概率Q下，它未来期望价值的折现就是当前价值，即“无套利”。

其实，这个原理是普遍成立的：一个资产价格无套利，等价于存在概率测度Q，使得价格在Q下折现是鞅。

（FTAP1）
我们用无套利价格给一个衍生品定价是十分合理的，因为衍生品可以用基础资产组合出来，它的定价自然应和这组基础资产相同。

对于衍生品无套利定价为什么与真实概率无关，也可用此理解。

下图展示了用风险中性策略对衍生品进行定价：
理解Black-Scholes-Merton模型
可以发现，真实概率很可能不是风险中性的，那么我们就需要一个定理保证这种风险中性概率的存在，即下章所讲Girsanov定理
3. Girsanov定理
理解Black-Scholes-Merton模型
理解Black-Scholes-Merton模型
Girsanov定理保证了存在一个概率测度Q，使得dWt弯是一个布朗运动（如果dWt是布朗运动）
dW_t = d\tilde{W}_t - \frac{\mu -r}{\sigma} \, dt,
这就完美了，我们找到了风险中性概率测度，下面可以来推导Black-Scholes公式了。