上海市建平中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题

建平中学高一期末数学试卷

2021.01

一、填空题

1

．函数y =________．

2．已知集合1

2A x y x ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭

，{}

2

1x B x e

-=<，则A B ⋂=________． 3．已知函数(

)

2

()1x

f x a =-，若函数在(,)-∞+∞严格增函数，则实数a 的取值范围是________．

4．函数22

1()2x x f x --⎛⎫=

⎪⎝⎭

的单调递增区间为________．

5．对于任意实数a ，函数31

()2

x f x a +=+（0a >且1a ≠）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．

6．如图是一个地铁站入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为16cm ，双翼的边缘54cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30PCA BQD ∠=∠=︒，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．

7．已知函数2

()(0)f x x x =≤，则()y f x =的反函数为________．

8．已知a 、b 都是正数，且(1)(2)16a b ++=，则a b +的最小值为________． 9．已知31log 5a

=

，57b

=，则用a 、b 的代数式表示63log 105=________． 10．当|lg ||lg |a b =，a b <时，则3a b +的取值范围是________．

11．如图所示，已知函数2()log 4f x x =图像上的两点A 、B 和函数2()log f x x =上的点C ，线段AC 平

行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时，设点B 的坐标为(,)p q ，则2q

p

的值为________．

12．已知函数2

2||,2()(2)2

,x x f x x x -≤⎧=⎨

->⎩，函数()(2)g x b f x =--，如果()()y f x g x =-恰好有两个零点，

则实数b 的取值范围是________．

二、选择题

13．函数2

lg ||

()x f x x =

的大致图像为（ ）． A ． B ． C ． D ．

14．若函数21

()x a f x x e

-=+

是偶函数，则实数a 的值是（ ）． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不唯一 15．已知cos170m ︒=，则tan10︒的值为（ ）．

A

．m B

．m - C

D

．16．已知n m <，函数12

2|1|log (1),1()2

3,x x x n

f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩的值域是[1,1]-，有下列结论：

①当0n =时，1

,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ②当10,2n ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭

时，(,2]m n ∈；

③当10,2n ⎡⎫

∈⎪⎢⎣⎭时，[1,2]m ∈； ④当12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦

； 其中正确结论的序号是（ ）．

A ．①②

B ．①③

C ．②③

D ．③④

三、解答题

17．（1）已知cos()tan()

()cot()sin(2)

f παπαααπα+-=

-+，求

3f π⎛⎫

⎪⎝⎭

的值； （2）已知1tan 2

θ=

，求22

sin sin cos cos θθθθ+-的值．

18．设函数1

()()1x x

a e f x a e

⋅-=∈+R 是R 上的奇函数． （1）求a 的值，并求函数()f x 的反函数1

()f

x -解析式；

（2）若k 为正实数，解关于x 的不等式11()ln

x

f x k

-+>． 19．某校数学建模小组研究发现：在40分钟的一节课中，高一年级学生注意力指标S 与学生听课时间t （单

位：分钟）之间的函数关系为2

31646,013

483log (5),1340

t t t S t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩．

（1）在上课期间的前13分钟内（包括第13分钟），求注意力的最大指标；

（2）根据研究结果表明，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的20分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？ 20．已知幂函数223

()()m m f x x

m -++=∈Z 是奇函数，且()f x 在(0,)+∞为严格增函数．

（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；

（2）求2212

log ()log [2()]y f x f x =-，

1,22

x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

的最值，并求出取得最值时的x 取值． 21．已知函数()2()x

f x x =∈R ，记()()()

g x f x f x =--． （1）解不等式：(2)2()3f x f x -≤；

（2）设t 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得()()2

0021g x t g

x =⋅-成立，求t 的取值范围；

（3）记()(22)()H x f x af x b =+++（其中a 、b 均为实数），若对于任意的[0,1]x ∈，均有1|()|2

H x ≤，求a 、b 的值．

参考答案

一、填空题