2023-2024学年安徽省区域高考数学5月联考模拟试题(三模)含解析

2023-2024学年安徽省区域高考数学5月联考模拟试题
（三模）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
,R M x x x x ==∈，则
M =R ð（
）A.
(),0∞- B.
(],0-∞ C.
()
0,∞+ D.
[)
0,∞+【正确答案】A
【分析】解方程得到[)0,M =+∞，从而得到补集.
【详解】{}
[),R 0,M x x x x ∞==∈=+，故(),0M =-∞R ð.故选：A
2.若复数1i z =-，实数a ，b 满足0b
z a z
+-=，则a b +=（）
A.2
B.4
C.1
- D.2
-【正确答案】B
【分析】法一：化简得到102
102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，得到2a =，2b =，4a b +=；
法二：化简得到20z az b -+=，由韦达定理进行求解.【详解】法一：∵1i z =-，∴()1i 1i 1i 11i 01i 222b b b b a a a +⎛⎫
-+
-=-+-=-++-+= ⎪-⎝⎭
，∴102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
,
解得2a =，2b =，4a b +=.法二：∵0b
z a z
+
-=，
∴20z az b -+=，
因为1i z =-，故1i z =+也满足20z az b -+=，由韦达定理可得1i+1+i 2a =-=，()()1i 1+i 2b =-=，故4a b +=.故选：B
3.已知非零向量a ，b ，c 满足1a = ，()()
1a b a b -⋅+=- ，1a b ⋅= ，2c b =-
.则向量a 与c
的夹角（）
A.45°
B.60°
C.135°
D.150°
【正确答案】C
【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.
【详解】∵()()
1a b a b -⋅+=- ，22
1a b -=- ，
∴b ∵1a b ⋅= ，
∴2cos ,2a b a b a b ⋅==⋅
，[]0,πθ∈，则π,4
a b = ，
设向量a 与c 的夹角为θ，2,c b c =- 与b
反向,则π3π
π44
θ=-=.故选：C.
4.图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C 的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系xOy 内，已知该抛物线上点P 到底部水平线（x 轴）距离为125m ，则点到该抛物线焦点F 的距离为（
）
A.225m
B.275m
C.330m
D.380m
【正确答案】A
【分析】设抛物线为22x py =且0p >，根据(250,156.25)在抛物线上求p ，利用抛物线定义求P 到该抛物线焦点F 的距离.
【详解】令抛物线方程为22x py =且0p >，
由题设(250,156.25)在抛物线上，则2
312.5250p =，得2250
200312.5
p ==，
又(),P P P x y 且125P y =，则P 到该抛物线焦点F 的距离为1251002252
P p
y +=+=米.故选：A
5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，
()g x 在[)0,∞+上单调递减，则（
）
A.()()()()23f
f f f > B.()()()()23f
g f g <C.()(
)()(
)
23g g g g > D.()()()
(
)
23g f g f <【正确答案】D
【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.
【详解】因为()f x ，()g x 在[
)0,∞+上单调递减，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，()f x 在(],0-∞上单调递增，
对于A ，()()23f f >，但无法判断()()2,3f f 的正负，故A 不正确；对于B ，()()23g g >，但无法判断()()2,3g g 的正负，故B 不正确；
对于C ，()()23g g >，()g x 在R 上单调递减，所以()()()()
23g g g g <，故C 不正确；对于D ，()()23f f >，()g x 在R 上单调递减，()()()()
23g f g f <，故D 正确.故选：D
.
6.若两条直线1l ：y x m =+，2l ：y x n =+与圆22220x y x y t +--+=的四个交点能构成矩形，则m n +=（）A.0
B.1
C.2
D.3
【正确答案】A
【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.
【详解】由题意直线12,l l 平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆22220x y x y t +--+=的圆心为：()1,1，圆心到1:l y x m =+的距离为：
1d =
=
，
圆心到2:l y x n =+的距离为：
2d =
=
，
m n =⇒=，
由题意m n ≠，
所以0m n m n =-⇒+=，故选：A.
7.已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则()()P A P C =的充要条件是（）
A.()()()P A C P A P C =+
B.()()P AB P BC =
C.()()P A B P B C =
D.()()
P AC P AC
=【正确答案】D
【分析】根据和事件的概率公式判断A 、C ，根据积事件的概率公式判断D ，根据相互独立事件的概率公式判断B.
【详解】对于A ，因为()()()()P A C P A P C P A C =+- ，由
()()()P A C P A P C =+ ，
只能得到()0P
A C ⋂=，并不能得到()()P A P C =，故A 错误；
对于B ，由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，
若A ，B ，C 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，则由()()P AB P BC =可得()()P A P C =，
故由()()P AC P BC =无法确定()()P A P C =，故B 错误；对于C ，因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ，
()()()()P B C P B P C P B C =+- ，
由()()P A B P B C = ，只能得到()()()()P A P A B P B P B C -⋂=-⋂，由于不能确定A ，B ，C 是否相互独立，故无法确定()()P A P C =，故C 错误；对于D ，因为()()()P AC P A P AC =-，()
()()P AC P C P AC =-，又()()
P AC P AC =，所以()()P A P C =，故D 正确；故选：D.
8.若m ∃∈R ，对于[],x a b ∀∈恒有2
π2sin204m x m x ⎛⎫
-+
⋅+≤ ⎪⎝
⎭，则b a -的最大值是（）
A.
3π4
B.π
C.
4π3
D.2π
【正确答案】B
【分析】把不等式化简可得m 的范围，求出b-a 最大值即可.
【详解】由2
π2sin204m x m x ⎛⎫
-+
⋅+≤ ⎪⎝
⎭
，得()2sin cos sin cos 0m x x m x x -+⋅+⋅≤，即()()sin cos 0m x m x --≤,
由几何意义可知，函数y m =的图像在函数sin y x =，cos y x =的图像之间，
如下图所示，22
m -
≤≤
，
要使b a -达到最大，仅需要2
m =-
或2
2m =，此时π3ππ44b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知()()01111122n
n n x a a x a x ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭
，3n ≥，*n ∈N ，若3i
a a ≥（0,1,2,,i n =L ），则n 的可能值为（
）
A.6
B.8
C.11
D.13
【正确答案】BC
【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案.
【详解】依题意，()11122121n n
x x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎫+ ⎝⎭⎦
⎛⎪，
所以()()()111C 1C 122i
i
i
i i
i
i n
n a x x x ⎡⎤⎛⎫-=⋅-=⋅⋅- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，依题意，111
1
11C C 2211C C 22y y y y n n y y y y n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩，其中1,2,3,,1y n =- ，化简得111C C 2
1C C 2y y n n y y n n
-+⎧⨯≥⎪⎪⎨⎪≥⨯⎪⎩，继续化简得()()()()()()1!!2!!1!1!!1!!!21!1!n n y n y y n y n n y n y y n y ⎧⨯≥⎪⋅--⋅-+⎪⎨⎪≥⨯⎪⋅-+⋅--⎩，
即1
123
,2223n y
n y y y n y n y +⎧≥⎪-+≥⎧⎪⎨⎨+≥--⎩⎪≥
⎪⎩
，
依题意，3i a a ≥，所以1
33
233n n +⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩
，解得811n ≤≤.
故选：BC
10.如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列{}n a 的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（
）
A.24620222023a a a a a ++++=
B.135********a a a a a ++++=
C.2
2
2
2
123202320232024
a a a a a a ++++= D.
132435202120231220222023
111111a a a a a a a a a a a a ++++=- 【正确答案】BCD
【分析】由已知11n n n a a a -++=且2n ≥，利用22121n n n a a a +-=-及累加法判断A ；利用
21222n n n a a a ++=-及累加法判断B ；利用21121n
n n n n a a a a a ++++=-及累加法判断C ；利用
2112
111
n n n n n n a a a a a a ++++=-及累加法判断D.
【详解】由题设11n n n a a a -++=且2n ≥，
由21a a =，453a a a =-，675a a a =-，...，22121n n n a a a +-=-，所以2462132121...1n n n a a a a a a a a ++++++=-+=-，则246202220231a a a a a ++++=- ，A 错误；
由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，...，21222n n n a a a ++=-，
所以1352122n n a a a a a ++++++= ，则135********a a a a a ++++= ，B 正确；
由12n n n a a a ++=-，则2
1121n n n n n a a a a a ++++=-，
所以22222
1232023123123423()()a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++
202320242022202320232024()a a a a a a -=，C 正确；
由
1221212112
111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-===-，所以
13243520212023
1111a a a a a a a a ++++
122323342021202220222023
111111a a a a a a a a a a a a =
-+-++- 1220222023
11
a a a a =
-，D 正确.故选：BCD.
11.如图，正三棱锥E PBD -和正三棱锥C PBD -
，2BD =.若将正三棱锥E PBD -绕BD 旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，1A 处，且A ，B ，C ，D 四点共面，点A ，C 分别位于BD 两侧，则（
）
A.PA BD
⊥ B.1PA BD
∥C.多面体1PA ABCD
D.点P 与点E 旋转运动的轨迹长之比
【正确答案】AD
【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理结合正三棱锥的性质可判断A ，B ；由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积可判断C ；由题意E 转动的半径长为1EM =，P
转动的半径长为PM =可判断D .
【详解】取BD 的中点为M ，连接,EM PM ，由,EB ED CB CD ==，所以,PM BD EM BD ⊥⊥，
又= EM PM M ，,EM PM ⊂平面EMP ，所以BD ⊥平面EMP ，将正三棱锥E PBD -绕BD 旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，1A 处，所以PA ⊂平面EMP ，所以BD PA ⊥，故A 正确；因为1PA ⊂平面EMP ，所以1BD PA ⊥，故B 不正确；
因为A ，B ，C ，D 四点共面，1112,2AD AA AB A D A B ===
==，
可得：22211AA AB BA +=，222
11AA AD DA +=，
所以11,,,,AA AB AA AD AB AD A AB AD ⊥⊥⋂=⊂平面ABCD ，
所以1AA ⊥平面ABCD ，同理PC ⊥平面ABCD ，由已知ABCD 为正方形，所以可将多面体1PA ABCD 2的正方体，
则多面体1PA ABCD 2的正方体的外接球，外接球的半径为62
，表面积为6π，选项C 不正确；
由题意E 转动的半径长为1EM =，P 转动的半径长为3PM =，
所以点P 与点E 3D 正确.故选：AD.
12.已知
11ln e e 1
0βαγαβγ
-+-==>，则（）
A.αγ
B.βγ
C.2βαγ-
D.
2βαγ
+ 【正确答案】AB
【分析】分别绘制函数()()()11ln e e 1
,,x x x f x g x h x x x x
-+-===
，通过三个函数的图像彼此之间的位置关系逐项分析.
【详解】设()()()11ln e e 1
,,x x x f x g x h x x x x
-+-===
，则()'
2
ln x f
x x
-=
，当1x ＞时，()()'0,f x f x ＜单调递减，当01x ＜＜时，()()'
0,f x f x ＞单调递增，∴()()()
1
max 11,e
0f x f f -===，()
()1'
2
1e x x g x x -+=-
，当x ＞0时，()()'
0,g x g x ＜单调递减，()11g =；()()'2
10,h x h x x
=
单调递增，并且()1
e 0h -=，()1e 11h =-＞；()()(),,
f x
g x
h x 的大致图像如下：
又
11ln e e 10t βαγαβγ
-+-===＞，并且1ln 1α
α+≤，()g x 是减函数，()11,1g β=∴≥，()h x 是增函数，11e 1h ⎛⎫= ⎪
-⎝⎭
，∴1
1e e 1γ-≤-＜，()f x 不是单调的函数，对于01t ＜≤，对应1α和2α，并且1201,1αα≤≥＜，
又设()()()11ln ln 2
e e x x k x h x
f x x x x
++=-=-
-=-，()'2
1ln x k x x
+=
，当1e x -＞时，()()'0,k x k x ＞单调递增，10e x -＜＜时，()()'0,k x k x ＜单调递减，()()1
min e
0k x k -==，
即当1e x -＞时，()()h x f x ＞，1γαβ∴＜＜，AB 正确；
对于选项CD ，由于不能确定()f x t =对应的自变量是1α还是2α，所以不能确定其正确性.故选：AB.
画出函数图像，大致确定三条曲线彼此之间的位置是解题的关键
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在某地A 、B 、C 三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A 、B 、C 三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______.【正确答案】0.03
【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.
【详解】设事件D 为此人患流感，1A ，2A ，3A 分别代表此人来自A 、B 、C 三个地区，根据题意可知：
()1410P A =
，()2310
P A =，()3310P A =，
()13100P D A =
，()22100P D A =，()34
100
P D A =，()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++4332343030.031010010100101001000100
=
⨯+⨯+⨯===.故0.03
14.如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值：______.
【正确答案】37（答案不唯一）
【分析】如图，在正方体ABCD EFGH -中，若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ,据此计算即可得解.
【详解】如图，在正方体ABCD EFGH -中，
若要使液面形状不可能为三角形，
则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ,
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设正方体内水的体积为V ，而G EHD B AFC V V V V --<<-正方体，而2
6=1166332
G EHD B AFC V V --=⨯
⨯⨯=（升），3636180B AFC V V --=-=正方体（升）
所以V 的取值范围是()36,180.故()
36,18015.已知()1,0F c ，()2,0F c -分别是双曲线τ：22221x y
a b
-=0a >0b >的左、右焦点，点
P 在双曲线上，12PF PF ⊥，圆O ：2223x y c +=，直线1PF 与圆O 相交于A ，C 两点，直线2PF 与圆O 相交于B ，D 两点.若四边形ABCD 2151b ，则τ的离心率为______.【正确答案】
153
【分析】由弦长公式可得222211223AB r d c d =-=-，
2222
22
223CD r d c d =-=-ABCD 的面积为1
2
AB CD ⋅，再由勾股定理结合双曲线的定义解得44425c b =，可求双曲线的离心率.
【详解】因为四边形ABCD 2151b ，因为12PF PF ⊥，所以AC BD ⊥，
设12,d d 分别为O 到直线,AB CD 的距离，
所以222211223AB r d c d =-=-，2222
22
223CD r d c d =-=-，所以()()
2
2222121
2331512
ABCD S AB CD c
d c d b =
⋅=--=，
∴()4
2
22
22
1
21
293c c d d d d -++⋅4
1514
b
=①，
∵122PF d =，212PF d =，且12PF PF ⊥，
∴222
12d d c +=，由双曲线的定义可得：1221222PF PF d d a -=-=，
平方可得：222
1
2
214484d d d d a +-⋅=，所以2
122
b d d =代入①，
可得：44425c b =，
即2225c b =，令22b =，则25c =，23a =，2
23b a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
双曲线的离心率为2
1513c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭
.
故答案为.
15
3
16.完美数（Perfectnumber ）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）
的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数()*
:n n σ∈N ，()n σ为n 的所有真因数之
和，如()2812471428σ=++++=，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为______；()2160σ=______.【正确答案】
①.6（或496，8128，等）
②.5280
【分析】根据()n σ为n 的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析()n σ的正因素的特点，求解即可.
【详解】()61236σ=++=，
432160235=⨯⨯，2160的所有真因数的个数为542139⨯⨯-=，
()()()()012340123012160222223333552160744021605280
σ=++++++++-=-=，故6；5280
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边
ABC ，若2DF =，sin 14
BAD ∠=
.
（1）求sin CAF ∠；（2）求ABC 的面积.【正确答案】（1）
5314
（2）
493
4
【分析】（1）在ACF △中，由sin ACF ∠及AFC ∠求得sin CAF ∠；
（2）在ABD △中，设AF DB t ==（0t >），则2AD t =+，由正弦定理求得7
3
AB t =，然后利用余弦定理即可求解.【小问1详解】
由ACF ABD BCE △≌△≌△知，ACF BAD ∠=∠，DEF 为正三角形，
120120AFC ADB ∠=∠= ，，
∵sin 14
BAD ∠=
.
∴33
sin 14
ACF ∠=
，13cos 14ACF ∠=，
(
)
131sin sin 6021421414
CAF ACF ∠=-∠=
⨯-⨯=
.【小问2详解】
设AF DB t ==（0t >），则2AD t =+，
由正弦定理：sin sin BD AB BAD ADB =∠∠333
142=7
3
AB t =，ABD △中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，
即
()222491(2)2292t t t t t ⎛⎫
=++-+⨯- ⎪⎝⎭
，则3t =，7AB =，
所以177sin 6024
ABC
S =
⨯⨯=
.18.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，1CC 的中点
.
（1）求多面体1CEFADD 的体积；
（2）求直线1BD 和平面1AEFD 所成角的正弦值.【正确答案】（1）
7
3
（2）
39
【分析】（1）运用棱台体积公式计算；（2）建立空间直角坐标系，运用数量积计算.【小问1详解】
∴1//EF BC ，11//BC AD ，∴1//EF AD ，∴A ，E ，F ，1D 四点共面，易知多面体1CEFADD 是一个三棱台，
(11-1
3
CEF DAD CEF DAD V S S CD =
++⋅△△
117
22323⎛=++⨯= ⎝；【小问2
详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系如上图，则()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B C E D ，
()()()111,2,0,2,0,2,2,2,2AE D A D B =-=-=-
，
设平面1AEFD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则有1·0
·0
m D A m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即22020x z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则()2,2,2,1,2x z m ==∴=
，
设直线1BD 与平面1AEFD 的夹角为θ
，则11sin 9m
D B m
D B
θ==
；
综上，多面体1CEFADD 的体积为
73，直线1BD 与平面1AEFD
的夹角的正弦值为9
.19.甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第n （*N n ∈）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为n a ，在丙手中的方法数为n b .
（1）求证：数列{}1n n a a ++为等比数列，并求出{}n a 的通项；（2）求证：当n 为偶数时，n n a b >.
【正确答案】（1）证明见解析，22(1)3
n n
n a +-=
（2）证明见解析
【分析】（1）首先确定第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为2n ，再结合条件列出关于数列{}n a 的递推公式，即可证明数列
{}
1n n a a ++是等比数列，并且变形
()
()()
1
1
1112n n n n n a a ------=-后，利用累加求和，即可求解数列的通项公式；
（2）首先由条件确定22n
n n a b +=，再根据（1）的结果，确定数列{}n b 的通项公式，再比较大小.【小问1详解】
由题意知：第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为2n ，
第1n +次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为1n a +，若第n 次抛沙包后沙包在甲手中，则第
1n +次抛沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n 次抛沙包后沙包在乙或丙手中，
故()
10212n
n
n n n n a a a a +=⨯+-⨯=-，且10
a =故12n n n a a ++=，
()1
122n n n n
a a n a a +-+=≥+，
所以数列{}1n n a a ++为等比数列，
由1
12n n n a a --+=，得()
()()
1
1
1112n n n n n a a ------=-，
()
()()1
21
12112a a ---=-，()
()()2
3
2
23112a a ---=-，
()()()3
43
34112a a ---=-，
……………，
()
()()
1
1
1112n n
n n n a a ------=-以上各式相加，()()()1
112121112
n n n
a a -⎡⎤---⎣⎦
---=
+可得22(1)3
n n
n a +-=；
【小问2详解】
由题意知：第n 次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为n b ，则22n
n n a b +=，
∵当n 为偶数时，22(1)222333n n n n
n a +-+==>，2223
n n n n a b -=<
∴n n a b >.
20.为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据(),i i x y （1,2,,40i = ），部分数据如下：x … 2.7 3.6 3.2 3.9…y
…
50.6
63.7
52.1
54.3
…
经计算得：
40
1
160==∑i
i x
，40
1
2400==∑i i y ，()40
2
1
160=-=∑i i x x ，()()40
1
1280=--=∑i i i x x y y .
（1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；
（2）该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为1k ，2k ，比较1k ，2k 的大小关系，并证明.
附：y 关于x 的回归方程 y a
bx =+ 中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx
==-⋅
=-∑∑，a y bx =-$$，n
i i
x y nx y
r -=
∑【正确答案】（1） 828y x =+（2）12k k <，证明见解析
【分析】（1）根据最小二乘法计算公式求解；（2）根据相关系数1r ≤证明.【小问1详解】
160440x =
=，24006040y ==，12808160
b == ， 603228a =-=，
故回归方程为 828y x =+；【小问2详解】
x 关于y 的线性回归方程为 11x a b y =+ ，()()
()
1
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b y y ==--=-∑∑
()()
()
40
1
140
2
1
i
i
i i
i x x y y k b
x x ==--==-∑∑ ，()
()()
2
40
1240
1
1
1
i
i i
i
i y y k b x x y y ==-==
--∑∑ ，
则()()
()()
2
4012140222
1
i i i i i
i x x y y k r k x x y y ==⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦==--∑∑，r 为y 与x 的相关系数，又1r ≤，1k ，20k >，故1
2
1k k ≤，即12k k ≤，下证：12k k ≠，若1
2k k =，则1r =，即()8281,2,,40i i y x i =+= 恒成立，
代入表格中的一组数据得：50.68 2.728≠⨯+，矛盾，故12k k <.
综上，y 关于x 的回归方程为 828y x =+.
21.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点1F
与圆220x y ++=的圆心
重合，过右焦点2F 的直线与C 交于A ，B 两点，1ABF 的周长为8.（1）求椭圆C 的方程；
（2）若C 上存在M ，N 两点关于直线l ：2230kx y -+=对称，且OM ON ⊥（O 为坐标原点），求k 的值.
【正确答案】（1）221
4
x y +=（2）2
k =±【分析】（1）根据圆心求出焦点坐标再根据定义求出a ，可得标准方程；
（2）先由M ，N 两点关于直线l ：2230kx y -+=对称设出直线方程，再由垂直得出
12120,0,OM ON x x y y ⋅=+=
最后结合点差法求值即可.
【小问1详解】
由220x y ++=
，得()1F
，∴c =根据椭圆定义，又因1ABF 的周长为8，∴48a =，2a =，
∴2
2
2
1b a c =-=，椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
【小问2详解】
设线段MN 的中点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y
，
由直线3
:02
l kx y -+
=，且l MN ⊥，设MN :l x ky m =-+，则联立22
,
44,
x ky m x y =-+⎧⎨+=⎩得(
)
2
22
4240
k y kmy m +-+-=()()()()
2
2222Δ2444164km k m k m =-+-=+-12224km y y k +=+，2122
4
4m y y k -=+()22121212
x x m km y y k y y =-++∵OM ON
⊥∴12120,0,OM ON x x y y ⋅=+= ，即()()22
121210
m km y y k y y -+++=∴(
)
2
2
541
m k =+①
22
112
222
1,41,
4
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22
22
121204x x y y -+-=，即
12121212104y y y y x x x x -++⋅=-+，∴121211
4
y y k x x +⋅=+，∵00132x k y =-，012120
y y y x x x +=+，∴001
342
y y =
-，得021y =-，
∴
2214
km
k =-+②
联立①②，消去m 得，421124800k k --=，∴24k =，2k =±，∴2,2,k m =⎧⎨=-⎩或2,2,k m =-⎧⎨=⎩经验证，满足Δ0>，∴2k =±.
22.已知正实数1012a b <≤
≤<，函数()1x x f x a b -=+，[]0,1x ∈，()g x 为()f x 的导函数.
（1）若1a b +=，求证：()0g b ≤；
（2）求证；对任意正实数m ，n ，1m n +=，有n m m n m n m n +≤
+≤+.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析【分析】（1）化简要证明的不等式后构造()()()ln 1ln 1h x x x x x =---结合函数的单调性求出最值证明即可；
（2）由（1）知，应用单调性证明可得.
【小问1详解】
()1ln (1)ln e e x x x a x b f x a b --=+=+，
()()ln (1)ln e ln e ln x a x b f x g x a b
--'==()ln 2(1)ln 2e ln e ln 0
x a x b g x a b -=+>'∴()g x 在[]0,1上单调递增，得()()1ln ln b b g x g b a a b b -≤=-要证：()0
g b ≤只需证.1ln ln b b a a b b -≤即11ln ln a b a a b b
--≤即证：ln ln a b
a b a b a b
≤令()ln x x x ϕ=，()0,1x ∈，()21ln 0x x x ϕ'-=>∴()x ϕ在()0,1上单调递增
故证a b a b ≤，即()()ln ln 1ln 1a a b b a a ≤=--令()()()ln 1ln 1h x x x x x =---，10,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，()()
22ln e h x x x '⎡⎤=-⎣⎦
21e ln 024h ⎛⎫=> ⎪'⎝⎭，219e ln 010100h ⎛⎫='< ⎪⎝⎭
，()h x '在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增∴存在唯一010,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
使，()00h x '=()h x 在()00,x 上单调递减，在01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增∴()()(){}max 0,10
h x h h ≤=∴a b a b ≤，故原不等式成立，即()0g b ≤；
【小问2详解】
由（1）知，()f x 在[]0,1上单调递减
∴()()12f b f f a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即b a a b a b a b +≤≤+由于1m n +=，且m ，n 为正实数，不妨令1012m n <≤
≤<
∴n m m n m n m n +≤≤+.。