双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2.2双双双双双双双双双双(2)
一、单选题
1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2
214
x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，
则直线l 的方程为 ( )
A. 21y x =
B. 21y x =
C. 35
y x = D. 35
y x =2. 已知圆2
2
3
(1)4
x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)
x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )
A. 3)
B. (1,2]
C. 3,)+∞
D. [2,)+∞
3. 设12,F F 是双曲线22
:-=145
x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，
则12PF F 的面积为( )
A. 3
B.
72
C.
53
2
D. 5
4. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，12||23F F =，
6
00(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )
A. 33(
B. 33(
C. 2222(33-
D. 2323
( 5. 若直线2y x =与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>有公共点，则双曲线的离心率的
取值范围为( )
A. 5)
B. 5,)+∞
C. 5]
D. 5,)+∞
6. 已知双曲线方程为2
2
14
y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )
A. 4条
B. 3条
C. 2条
D. 1条
7. 已知双曲线C ：2
212
x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同
的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )
A. 1
(,0)(3,)3
-⋃+∞
B. (3,)+∞
C. (,0)(3,)-∞⋃+∞
D. 1(,3)
3-
二、多选题
8. 已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂
直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )
A.
141
B.
6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分
别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作
12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )
A. 2//OQ PF
B. ||OQ a =
C. 22||||2PF PF b ⋅=
D. 2
max
()
ABQ S
a =
三、填空题
10. 若直线0x y m -+=与双曲线2
2
12
y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆22
5x y +=上，则m 的值为__________.
11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双
曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.
12. 已知双曲线C ：22
145
x y -
=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.
13. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、
右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则2
1
S S =__________. 四、解答题
14. 设A ，B 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长
为43 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线3
2y x =
-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.
15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射
的电波为直线，测量得60MOQ ︒
∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运
行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.
(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；
(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，
求出电波所在直线斜率k 的取值范围.
16. 已知双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点
(2,3)P 为E 上一点．
(1)求E 的标准方程；
(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的
两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．
17. 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2，过点
且斜率为
1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=
(1)求双曲线C 的标准方程.
(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是
否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
解：设直线l 的方程为y x m =+，，
由22
14y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=， 则21244
3m x x +=，1283
m x x +=-，
又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2
214
x y -=右支的交点， 所以
，且803
m
-
>， 即
，且0m <，
解得221m =，且0m <， 所以21m =-，
所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B
2.【答案】B
解：由题意，圆心到直线的距离23
1
d k =
=
+，3k ∴= 圆2
2
3
(1)4
x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，
与其中一条渐近线b
y x a
=
斜率比较即可， 3b a
∴，2
2
14b a
+，
∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].
故答案选：.B
11(,)A x y
3.【答案】D
解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，
由||3OP =，得2
2
9x y +=， 所以2
2
9x y =-，
代入
22145x y -=，解得5.3
y =± 所以1212115
||||6||5223
F F P
S
F F y =
=⨯⨯±=， 故选.D
4.【答案】A
解：由题意，3c =2a =
1b =，
∴双曲线方程为2
2 1.2
x y -=
120MF MF ⋅<，
220030x y ∴+-<， 2
20022x y =+， 20310y ∴-<，
033
33
y ∴-
<<， 故选：.A
5.【答案】B
解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b
y x a
=±，
由双曲线与直线2y x =有交点， 则有
2b
a
>， 即有222
21()145c a b b e a a a
+===+>+=
则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B
6.【答案】B
解：由题意可得：双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为：2y x =±， 点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；
过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条， 所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B
7.【答案】A
解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由
，
则①，
且122
412mk
x x k
+=-，21222(1)12m x x k -+=-， 设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =
-，02
12m
y k
=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，
，
G 为MN 的中点，
AG MN ∴⊥，
2
1212m k k km
+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，
由①②得1
03
m -<<或3m >， 故选.A
8.【答案】BC
解：由题意得直线 l 垂直于渐近线b
y x a
=
，则2OA BF ⊥， 由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，
由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：
在Rt BOA 中，2tan b BOA a
∠=
， 由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a
∠=， 因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠
2222222tan 21tan 1b
AOF b a b AOF a a
⨯
∠=-=-
=-∠-，化简得2b a =，
故离心率2
213b e a
=+=；
当||4AB b =时，如图：
在2Rt AOF 中，2tan b AOF a
∠=
，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，
因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2
241()b
b a b a a
⨯
=
-， 化简得21
()2b a =，故离心率2
261.2
b e a =+=
综上所述，离心率e 的值为3或6
.2
故选.BC
9.【答案】ABD
解：如图所示：
A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，
因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥， 故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，
又因为1
2||||FO F O =，即O 为12F F 的中点， 故OQ 为12F F C 的中位线， 所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ， 又因为P 、2F 、C 共线， 故2//OQ PF ，故A 正确；
B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=， 因为1||||F P P
C =，而12||||2F P PF a -=， 故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =， 故1
||22
OQ a a =
⨯=，故B 正确； C 选项，若2
12||||2PF PF b ⋅=，
则2222222
12121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，
则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =， 当OQ x ⊥轴时，2max
1()22
ABQ S
a a a =⨯⨯=，故D 正确.
故选：.ABD
10.【答案】1±
解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由
得2
2
220(0)x mx m ---=∆>，
则2
12122,2x x m x x m +==--，
12
02
x x x m +∴=
=，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆2
2
5x y +=上，
22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±
故答案为 1.±
11.【答案】
1±
解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2
2
31x y -=，得2
2
(3)220k x kx ---=， 因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2
2
03k -<- 解得33;k -<<
(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，
1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，
即2
1212(1)()10k x x k x x ++++=，
222
22(1)1033k
k k k k -∴+⋅
+⋅+=--， 整理得2
1k =，符合条件，
1.k ∴=±
故答案为
； 1.±
12.【答案】3
解：
24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，
当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入
22145x y -=得52
y =±，则||5AB =，满足， 若A 、B 分别在两支上，
2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，
∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，
综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.
13.【答案】4
解：离心率为2c
e a
=
=，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，
设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，
可得2
2
2
12(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-， 由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方， 显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小， 由OP ：a
y x b
=-
，即33y x =-330x y a -+=， 可得33(,)44P a a -
，即2
11332242
S c a a =⋅⋅=， 当P 与N 重合时，可得||OP 最大， 可得221
2232
S c b a =
⋅⋅=， 即有2
22
123 4.3S a S a ==
故答案为：4.
14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为b
y x a
=±
，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为
，
又243a =，
23a ∴=，
双曲线的方程为22
1.123
x y -=
(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，
由
得： 2163840x x -+=，
1212123
163,()4123
x x y y x x ∴+=+=
+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，
有，
又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()
1123t t ∴-=，
解得216t =，
点D 在双曲线的右支上，
0t ∴>，
4t ∴=，此时点(43,3).D
15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标
系，
则(2,0),(2,0)P Q -，
设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=， 所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支， 由题得22,2,1a c a ===， 所以2413b =-=，
所以动点N 的轨迹方程为2
2
1(1).3
y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，
设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，
联立直线和2
2
1(1)3
y x x -=， 消去y 得2222
(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=
当230k -=时，若3k =
当3k =
当230k -≠时，由0∆<得2222
(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，
所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <
所以电波所在直线斜率k 的取值范围
16.【答案】解：(1)当3b
a =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =
故E 的标准方程为2
2
1.3
y x -=
(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2
2
13y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=
由题意，3k ≠2222
44(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=
设1122(,),(,)A x y B x y ，
将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =
-；与3y x =-联立，解得23x k
=
+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|
AOB
t S OA OB AOB x x x x k ︒
∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.
17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以
223b c a a -=，
从而双曲线C 的方程可化为22
2213x y a a
-=，
由
得2
2
226630x x a ---=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 因为
，
所以126x x +=，2
12332
x x a ⋅=--
， 因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=， 于是2
1212326()62(3)66632
x x x x a ++=⨯--
=，解得1a =， 所以双曲线C 的标准方程为2
2
13
y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为
，
设为双曲线C 右支上一点，
当02x =时，因为290QFM QMF ︒
∠=∠=， 所以45QMF ︒
∠=，于是
，所以 1.t =-
当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=-
-，0
0tan QM y QMF k x t
∠==-， 因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002
000221()y y x t
y x x t
⨯
--=---， 将22
0033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，
所以
，解得 1.t =-
综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。