人教版八年级数学上册第十三章课题学习最短路径问题

B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
运用新知
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处 前往山脚下的Q 处接游客，然后将 游客送往河岸BC 上，再返回P 处， 请画出旅游船的最短路径．
C
Q 山
河岸
P
A
大桥
B
运用新知
基本思路：
由于两点之间线段最短，所以首先 可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短 路径中的必经线路．将河岸抽象为
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
引入新知
引言：
前面我们研究过一些关于“两点 的所有连线中，线段最短”、 “连接直线外一点与直线上各点 的所有线段中，垂线段最短”等 的问题，我们称它们为最短路径 问题．现实生活中经常涉及到选 择最短路径的问题，本节将利用 数学知识探究数学史中著名的 “将军饮马问题”．
桥MN和PQ在中间，且方向不 能改变，仍无法直接利用“两 点之间，线段最短”解决问题， 只有利用平移变换转移到两侧 或同一侧先走桥长.
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都Biblioteka Baidu移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
你能将这个问题抽象为数学问 题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打 算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点， 将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图,在直线l 上任取一点C'(与 点C 不重合）,连接AC', BC', B'C'.则
此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G
H B1 B
同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、 ６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平 移转化桥长来解决问题．
例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点
依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．， An,平移距离分别等于各自河宽， AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥 MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近 B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...， 连接M1A交第一条河近B点河岸于N1， 建桥M1N1,此时所走路径最短.
在△Ａ1Ｎ1B中，A1N1+BN1＞A1B
因此AM1+M1N1+BN1＞ AM+MN+BN
问题延伸一
如图，A和B两地之间
A
有两条河，现要在两
条河上各造一座桥MN
和PQ.桥分别建在何处
才能使从A到B的路径
最短？（假定河的两
岸是平行的直线，桥
要与河岸垂直）
B
思维分析
如图，问题中所走总路径是
A
AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．
M
P
N
P
Q Q
连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把 A
Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ
１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝
A1 A2
ＰＱ ； M
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻
河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ； 连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸
N P
于Ｎ点，建桥ＭＮ；
Q
从Ａ点到Ｂ点的最短路径
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′． B
在△AB′C′中，
·
A
·
AB′＜AC′+B′C′， C′
l
C
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
探索新知
回顾前面的探究过程，我们是通
过怎样的过程、借助什么解决问题
4、把桥平移到和B相连.
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽， 连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时 路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.
理由；另任作桥M1N1， A 连接AM1,BN1, A1N1. A1 由平移性质可知， AM＝A1N, AM1＝A1N1. AA1＝MN＝M1N1，
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
∴AM+MN+BN=AA1＋A1B， AM1+M1N1+BN1=AA1＋A1N1＋BN1.
A
M N
P Q
G
H
B3
B2
B1
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平移 至A１，使AA１＝MN，平移B点至 B1、B2 ,使BB1＝GH，B1B2 =PQ ； 连接A1B2交第一条河与A点相对河 岸于N点，交第二条河与N相邻河岸 于P点，建桥MN、PQ； 连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸 的G点，建桥GH； 此时从A到B点路径最短.
A A1
M
N P
Q G
H B2 B1 B
问题解决
A
沿垂直于河岸方向依次把A点平移 A1 至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１ A2 Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1 ＝GH ； 连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对 河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻 河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ； 连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸 的Ｎ点，建桥ＭＮ；
A
M
N
P
Q
B2
B1
B
问题延伸二
A
如图，A和B两地之间 有三条河，现要在两 条河上各造一座桥MN、 PQ和GH.桥分别建在 何处才能使从A到B的 路径最短？（假定河 的两岸是平行的直线， 桥要与河岸垂直）
B
思维分析
A
如图，问题中所走总路径是 AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．
桥MN、PQ和GH在中间，且方
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
A A1
B
2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ： （1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ. （2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.
A A1 A2
P
Q
B
3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题 可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.
A A1
A A1
一条直线BC，这样问题就转化为 “点P，Q 在直线BC C
的同侧，如何在BC 山 Q
河岸
上找到一点R，使PR
P
与QR 的和最小”．
A
大桥
B
造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥MN.桥造在何 处才能使从A到B的路径AMNB最 短？（假定河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直）
A
B
思路分析
1.如图假定任选位置
造桥ＭＮ，连接ＡＭ A
和ＢＮ，从A到B的
Ｍ
路径是AM+MN+BN，
Ｎ
那么怎样确定什么情
B
况下最短呢？
2.如何利用线段公理解决问 题我们遇到了什么障碍呢？
我们能否在不改变 AM+MN+BN的前提下把桥转化到 一侧呢？什么图形变换能帮助我 们呢？
1、把A平移到岸边.
2、把B平移到岸边. 3、把桥平移到和A相连.
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚 城里有一位久负盛名的学者，名叫 海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问 题：从图中的A 地出发，到一条笔 直的河边l 饮马，然后到B地．到河 边什么地方饮马
可使他所走
B
的路线全程 A
最短？
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思 索，利用轴对称的知识回答了这个 问题．这个问题后来被称为“将军 饮马问题”．
M
向不能改变，仍无法直接利用 “两点之间，线段最短”解决
N P
问题，只有利用平移变换转移 到两侧或同一侧先走桥长.
Q G
H
平移的方法有四种：三个桥长都平移
到A点处；都平移到B点处；MN、PQ
B
平移到A点处；PQ、GH平移到B点处
问题解决
A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ， A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.