线性隐写码的性质与构造

明了线性最大长度可嵌入码与线性完备纠错码有 １１ — 对应关系。
关 键 词 ：隐写 术 ：隐 写 码 ； 最 大 长 度 可 嵌入 码 ：完 备 码
分类号： ＡＭＳ２０ ） ９ ０ ；４ ２ （００ ９ Ｂ ５ ９Ａ ４
中图分类号： Ｎ １； Ｎ １． Ｔ ９８ Ｔ ９１ ２ ２
文献标识码： Ａ
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第２卷 第３ ４ 期
２ ０ 年 Ｏ 月 ０７ ６
工
Baidu Nhomakorabea
程
数
学
学
报
Ｖ １２ Ｎ ． ｏ ４ ｏ３ ．
Ｊ ｎ ０ ７ ｕ ｅ２ ０
ＣＨＩ ＮＥＳＥ Ｊ ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩ Ｏ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
并对线性隐写码 的性质与构造做 了初步探讨。
２ 隐 写码 的 定 义
ＧＦ（） ｑ 表示 ｑ元有 限域 ，对于 向量 ∈ＧＦ （） ｑ，用 Ｗｔｘ 表示其 Ｈ ｍｍｉｇ重量 。 （） ａ ｎ 定义１ ＧＦ（） 的 （， ｔ ｑ上 ｎ ， ）隐写码 函数是 ＧＦ（）上的一个 ｎ元 维 向量函数 ｑ Ｈ（） ｈ（）ｈ（）… ， （） ： ｑ 一 ＧＦ （） ｘ ＝（ｉ ，２ ， ） ＧＦ （） ｑ 满足：对任给 的 ∈ＧＦ （） Ｙ∈ＧＦ （） ｑ 和 ｑ，都存在 Ｚ∈ＧＦ （） ｑ，Ｗｔｚ ｔ （） ，使得 Ｈ（ ４ ｘ－ － ｚ ＝Ｙ ） 。如果 Ｈ（） ｘ 的每个分量 函数都是线性函数，则称其 为线性隐写码函数。 定义２ 令 Ｈ（）为 ＧＦ（）上 的 （， ｔ ｘ ｑ ｎ ，）隐写 码 函数 ，对 Ｙ∈ ＧＦ （） ｑ，记 日一（）＝ ｛：Ｈ（） ） ｘ ＝ ，则称集合 ５ ＝ ｛ （ Ｈ ）：Ｙ∈Ｇ ｑ Ｆ（ ）且 日 （）≠ ）为 Ｇ （ Ｆｑ ）上一 个 （， ｔ ｎ ， ）隐写码 。如果 Ｈ（） ｘ 是线性函数 ，则称对应 的 ５ 为线性 隐写码 。
写码的一个优点是编码 算法简单 、易于实现 。 用上述定义 ，Ｆ ［ 中的矩阵编码事实上 是一个 （ 一１ｋ １ ５Ｊ ３ ２ ）线性 隐写码，而二值 图象隐写 术 ＣＰ ［是一个 （ 一１ｋ ２ Ｔ２ Ｊ ２ ， ，）非线性码的例子 。我们 重点讨论线性 隐写码 ， 由定义易得到线
其中
ｈ（） ａｌｌ ｉ ２ ｉ ＝ ｉ ＋ａ２ ＋… ＋ａｎ ｎ １ ｉ ｋ ｘ Ｘ ｘ ｉｘ ， 可 以用 ＧＦ（） 的一个 ｋ×ｎ系数矩阵 Ｈ ＝ （ｉ ｑ上 ａ） ｊ 表示。称 日 为 （，，）隐写码矩 阵。线 ｎ ｋｔ
１ 引言
隐写 术研 究如 何把秘 密 消息 嵌入 普通载 体ｆ 如数 字 图像 、音频 、视 频等） 中，从而 实现 隐
蔽传输 。信息 的嵌 入一般 需 要对 载体 作修 改 ，为 了达到 好 的隐蔽 性 ，希望 能对 载体 做尽 量 少 的修 改而 隐藏 尽 可 能 多 的消 息 ，这 可通 过 编 码 技术 来 实现 。Ｃ ａ ｄ ｌ 】 ｒｎ ａｌ 首先 提 出用 矩 阵 ［ 编 码来提 高嵌入 效率 。基于 二值 图像 的隐写方 案 Ｃ Ｔ 给 出 了一 个较好 的编码 方法（ ，可 以 Ｐ ２ 】 在 ２ 一１比特载体中至多修 改 ２比特嵌 入 比特 消息 ；基于 Ｊ Ｅ 图像的 Ｌ Ｂ隐写算法 Ｆ 采 ｋ Ｐ Ｇ Ｓ ５ 用了 Ｃ ａ ｄ ｌ 的矩 阵编码【 ，可 以在 ２ ｒｎ ａｌ ３ 】 一ｌ比特载体 中至多修改 ｌ 比特 嵌入 比特 消息 。 本文从 隐写术的上述需求 中抽象 出一个一般的编码 问题 ，称为 “ 隐写码” ，给出了严格 定义
性隐写码 函数有如下的充分必要条件 。
定理１ 若 日 是 ＧＦ（） 的线性 多输 出函数 ，则 日 是 （，，）隐写码 函数的充分必要条 ｑ上 ｎｋｔ 件是任给 Ｙ∈Ｇ 口，都存在 Ｚ∈ＧＦ （） Ｆ （） 口 满足 Ｗｔｚ ｔ且 Ｈ（） 。 （） ｚ ＝Ｙ Ｇ ｑ 上的 （ ，，） Ｆ（） ｎ ｋｔ 线性隐写码函数 Ｈ（） （ｉ ） （）… ，ｋｘ） ｘ ＝ ｈ （ ， ， ｈ （） ２
文章编￣： ０—０５２０ ）３０４—４ －０ ５３８（０ ７０—５ ７ １ ０
线性 隐写码 的－ 质 与构 造术 Ｉ ＇ ｌ
张卫明１ 李信然 李世取 ， ２ ，
ｆ一 海 大 学 通 信 与 信 息 工 程 学 院 ， 上 海 ２ ０ ７ １上 ００２ ２ 信 息 工 程 大 学 电子 技 术 学 院 ， 郑 州 ４ ０ ０ ） 一 ５０ ４ 摘 要 ：本 文 从 隐 写 术 的安 全 性 需 求 出发 抽 象 出一 个 新 的 编 码 问题 ，称 之 为 隐写 码 。利 用 线 性 空 间 的直 和 分 解 得 到 了一 种 线 性 隐 写 码 的 构 造 方 法 。 通 过 引 入线 性 空 间 ｔ阶维 数 的概 念 将 线 性 隐 写码 问题 转 化 成 了＿ 个 代 数 问题 ，从 而 得 到 了线 性 隐 写 码 长 度 的 上 界 ， 并 由此 定义 了最 大 长 度 可 嵌 入码 。证 。
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第 ２ 卷 ４
用 （ ， ，） ｎ ｋ ｔ 隐写码可实现在 ｎ长码字（ 载体） 中通 过最多修改 ｔ个而嵌入 ｋ长 的消息 。隐写 码可 由隐写码函数确定 ，所 以后面讨论构造方法时，我们 一般对这两个概念不加区分。但是 隐
写码函数本质上是一个解码 函数 ，欲使用 ＧＦ ｑ 上 的 （，，） （） ｎｋｔ 隐写码函数 Ｈ（） ｘ 来隐藏消息 ， 还需要一个对应 的编码算法 ，一般而言 ，编码算法 都可通过查一个对应 的编码表实现 ，线性 隐
收稿 日期： ０ ５０ —４ 作者简介：张卫 明（９ ６ １ 月生） ２ ０ —６１ ． １７年 １ ，男，博士． 究方向：密码学和信息隐藏 研 基金项目： 国家 自 然科学基金（Ｏ ７Ｏ ２；河南省 自然科学基金（５ １１３¨． ６４ ３２ ） Ｏ １Ｏ １Ｏ ） Ｄ
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