2021高中数学第2章平面解析几何初步第一节直线的方程2直线方程的几种形式学案苏教版必修2

2021高中数学第2章平面解析几何初步第一节直线的方程2直线方程的几种形式学案苏教版必修2

知识点课标要求题型说明

直线方程的几

种形式

1. 把握直线方程的几种形式；

2. 能利用几种形式求直线的方

程；

3. 依照确定直线位置的几何要

素，探究并把握直线方程几种形式

之间的关系。

选择题

填空题

解答题

1. 明白得数形结合的

思想，把握直线方程的

几种形式，会依照已知

条件求直线方程；

2. 会依照直线的特点

量画直线，研究直线性

质。

二、重难点提示

重点：直线方程的五种形式。

难点：直线方程的五种形式的适用条件及其形式特点。

考点一：直线方程的几种形式

（1）直线的点斜式方程和斜截式方程

①过点P1（x1，y1）且斜率为k的直线方程y－y1＝k（x－x1）叫做直线的点斜式方程。

②过点P1（x1，y1）且与x轴垂直的方程为x＝x1，即由横坐标为

1

x的所有点组成的直线。

③当直线通过点P（0，b），且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋b，它称为直线的斜截式方程。其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距。

（2）直线的两点式方程和截距式方程

①已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则其方程为11

2121

y y x x

y y x x

--

=

--

（x1≠x2且y1≠y2），称为直线的两点式方程。

当x1＝x2时l的方程是x＝x1；当y1＝y2时直线l的方程是y＝y1。

②已知直线过点A（a,0）、B（0，b），其中a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距，则直线的方程为

x

a

＋

y

b

＝1（a≠0，b≠0），称为直线的截距式方程。

当ab＝0时直线l的方程是x＝a或y＝b。

（3）关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A、B不全为0）叫做直线的一样式方程。

技巧点拨：

名称方程适用范畴

点斜式

y －y 0＝k （x －x 0）

不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b

不含垂直于x 轴的直线 两点式 11

2121

y y x x y y x x --=--

不含直线x ＝x 1（x 1≠x 2）和直线y ＝y 1（y 1≠y 2） 截距式 x

a

＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过

原点的直线 一样式

Ax ＋By ＋C ＝0 （A 2＋B 2

≠0）

平面直角坐标系内的直

线都适用

例题1 （求直线的方程）

求过点（4，－3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程。

思路分析：要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程。

答案：法1：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 。

①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为

x a ＋y

b ＝1。 ∵点（4，－3）在直线上，∴4a ＋3

b

-＝1，

若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1。

若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，现在直线的方程为x －y ＝7。 ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点（4，－3）， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0。

综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0。 法2：设直线l 的方程为y ＋3＝k （x －4）， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝

43

k k

+。 又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|43k k +|，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－3

4

。 技巧点拨：

1. 由于直线的截距式方程不表示过原点的直线，因此解法1第一考虑过原点的专门情形，截距为0的直线专门容易被遗忘，应引起重视。

2. 求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距。

3. 直线方程的确定只需两个量，一点一斜或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要转化为直线的一样式方程。

4. 在把其他形式的方程化为一样式方程时，一样是将x 的系数化为正数。

例题2 （直线方程间的综合应用）

设直线l 的方程为（a ＋1）x ＋y ＋2－a ＝0（a ∈R）。 （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；

（2）是否存在实数a，使直线l不通过第二象限？若存在，求实数a的取值范畴；若不存在，请说明理由。

思路分析：（1）分直线“过原点”和“只是原点”两类分别求解。

（2）分“斜率为零”和“斜率不为零”两类分别求解。

答案：（1）直线l可化为a（x－1）＋x＋y＋2＝0，令x－1=0，x＋y＋2＝0

则x=1，y＝－3，因此直线l恒过（1，－3）。

当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，即截距相等，

∴a＝2时满足条件，现在l的方程为3x＋y＝0；

当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不合题意；

当a≠－1，且a≠2时，由

2

1

a

a

-

+

＝a－2，即a＋1＝1，即a＝0。

现在直线在x轴、y轴上的截距都为－2，l的方程为x＋y＋2＝0。

综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0时，l在两坐标轴上的截距相等。

（2）假设存在实数a，使直线l不通过第二象限。将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a －2，

则有

(1)0

20

a

a

-+>

⎧

⎨

-≤

⎩

或

(1)0

20

a

a

-+=

⎧

⎨

-≤

⎩

，解得a≤－1。

技巧点拨：

1. 本题（1）在求解过程中，常因忽略直线l过原点的情形而产生漏解；本题（2）在求解过程中，常因漏掉“－（a＋1）＝0”的情形而漏解。

2. 解答此类综合问题，常采纳分类讨论（或数形结合）的思想求解。解题时应结合具体问题选好切入点，以防增（漏）解。

坐标法在实际问题中的应用

【满分训练】如图所示，某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形土地（不改变方向）建筑一幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积。（精确到1 m2）

思路分析：本题考查坐标法的应用和二次函数的最值问题，关键是确定点P的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解。