2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：6-2一元二次不等式及其解法

[课 时 跟 踪 检 测]　
[基 础 达 标]
1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝的定义域，则1
x －1A ∩B 等于( )
A ．(1,2)
B ．[1,2]
C ．[1,2)
D ．(1,2]
解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D
2．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (
－x )的图象为( )
解析：由根与系数的关系得＝－2＋1，－＝－2，得1a c
a a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，顶点为.
(12，
94)
答案：B
3．(2018届昆明模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．[－1,4]
B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)
C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D ．[－2,5]
解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.
答案：A
4．不等式<1的解集是( )2
x ＋1A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)
D ．(－1,1)解析：∵<1，∴－1<0，即<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>2
x ＋12
x ＋11－x
x ＋10，∴x <－1或x >1.
答案：A
5．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}
D ．{a |0≤a ≤4}
解析：集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，等价于ax 2－ax ＋1<0无解．
当a ＝0时，原不等式可化为1<0，满足条件；当a ≠0时，由ax 2－ax ＋1<0无解，得Error!即Error!解得0<a ≤4，综上可知，0≤a ≤4.答案：D
6．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根大于－2且小于0，另一个根大于1且小于3，则( )
A ．a <2
B ．a >－12
C ．－22<a <0
D ．－12<a <0
解析：设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则由题意有Error!即Error!解得－12<a <0.故选D.答案：D
7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈恒成立，则a 的最小值为( )
(0，
1
2]A ．0
B ．－2
C ．－
D ．－3
52解析：解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈，所以a ≥－
.(0，12](x ＋1
x )因为f (x )＝x ＋在上是减函数，1x (0，1
2]所以max
＝－.所以a ≥－.
(－x －1x )5252解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－.a
2①Error!⇒a ≥0.(如图1)②Error!⇒－1<a <0.(如图2)
③Error!⇒－≤a ≤－1.(如图3)
5
2综上①②③，a ≥－.故选C.5
2答案：C
8．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )
A ．(1,3)
B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：记g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，a ∈[－1,1]，依题意，只需Error!⇒Error!⇒x <1或x >3，故选B.答案：B
9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．
解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.∴a >4或a <－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
10．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.
解析：因为关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(－2a,4a )，又x 2－2ax －8a 2<0(a >0)解集为(x 1，x 2)，则x 1＝－2a ，x 2＝4a ，
由x 2－x 1＝6a ＝15，得a ＝.
5
2答案：52
11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)>0；
(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－2<a <3＋2.
33∴原不等式的解集为{a |3－2<a <3＋2}．
33(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，
等价于Error!
解得Error!
12．(1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥2恒成立，求a 的取值范围；
(2)对于满足|a |≤2的所有实数a ，求使不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的取值范围．
解：(1)解法一：令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．
当－<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥2，
a
2所以a ≤，与a >4矛盾，所以a 不存在．
5
3当－2≤－≤2，即－4≤a ≤4时，a
2g (a )＝f ＝－－a ＋3≥2，(－a
2)a 2
4－－2≤a ≤2－2，22所以－4≤a ≤－2.
2当－>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥2，a
2所以a ≥－5，所以－5≤a <－4.综上所述－5≤a ≤－2.
2解法二：在x ∈[－2,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥2恒成立⇔a (x －1)
≥－x 2－1恒成立，当x ＝1时，a ∈R ；当1<x ≤2时，a ≥；当
－x 2－1
x －1－2≤x <1时，a ≤.
－x 2－1
x －1接下来通过恒成立问题的等价转化，变成最值问题即可求解．
(2)原不等式转化为(x －1)a ＋x 2－2x ＋1>0，设g (a )＝(x －1)a ＋x 2－2x ＋1，则g (a )在[－2,2]上恒大于0，故有Error!即Error!
解得Error!所以x <－1或x >3.
[能 力 提 升]
1．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0成立的x 的范围．
解：因为a·b ＝x 2＋x －x 2＝x ，
所以m (a·b )2－(m ＋1)a·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1<0.①当m ＝0时，不等式等价于x >1；
②当m ≠0时，不等式等价于m
(x －1)<0.(x －1
m )a ．m <0时，不等式等价于x >1或x <；
1
m b ．0<m <1时，不等式等价于1<x <；1
m c ．m ＝1时，不等式等价于x ∈∅；
d ．m >1时，不等式等价于<x <1.1
m 综上所述，原不等式成立的x
的范围为
2．已知函数f (x )＝的定义域为R .ax 2＋2ax ＋1(1)求a 的取值范围；
(2)若函数f (x )的最小值为，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.2
2解：(1)∵函数f (x )＝的定义域为R ，ax 2＋2ax ＋1∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，
则需Error!解得0<a ≤1，
综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝＝，ax 2＋2ax ＋1a (x ＋1)2＋1－a 由题意及(1)可知0<a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝，
1－a ＝，
1－a 2
2∴a ＝，
12∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －<0.
3
4解得－<x <，
1
23
2∴不等式的解集为.
(－12，
32)。