九年级数学车轮为什么做成圆形、圆的对称性北师大版知识精讲

初三数学车轮为什么做成圆形、圆的对称性北师大版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

1. 车轮为什么做成圆形

2. 圆的对称性

3. 圆周角和圆心角的关系

二. 教学目标：

1. 认识圆的轴对称性和中心对称性

2. 理解并熟练掌握垂径定理；圆心角、弧、弦之间相等关系的定理及圆周角和圆心角的关系定理

三. 教学重点、难点：

1. 圆的轴对称性和中心对称性

2. 垂径定理；圆心角、弧、弦之间相等关系的定理及圆周角和圆心角的关系定理

四. 课堂教学：

[知识要点]

1. 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点为圆心，定长为半径的长（通常也称为半径）．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”

2. 点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．

3. 点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径．

4. 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

5. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

6. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

7. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

8. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

9. 圆心角、弧、弦之间相等关系的定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

10. 顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫做圆周角．

11. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

12. 圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

90的圆周角所对的弦是直径．

13. 直径对的圆周角是直角；

【典型例题】

例1. 直径为30cm的⊙O中，有两条平行弦AB和CD，AB=18cm，CD=24cm，则弦AB和CD的距离为_______．

答案：21cm或3cm

例2. 如图，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，则cos BPD等

于（） A.

73

B.

3

4

C.

4

3

D.

53

C

D P

A O B

答案：B

例3. 以锐角为顶角的等腰三角形，其底为半圆的直径，半圆被两腰截得的三条弧之比是1：2：1，则这个等腰三角形顶角的度数为_______． 答案：45︒

例4. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一个动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD AB ⊥，垂足为D ．CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合． （1）求证：∆∆AHD CBD ∽；

（2）连结HO ．若CD AB ==2，求HD HO +的值．

解：（1）证明：如图， AB 是⊙O 的直径， ∴∠=︒AEB 90，即AE BC ⊥ ∴∠+∠=︒BAE ABE 90 又 CD AB ⊥

∴∠+∠=︒BCD CBD 90 而∠=∠ABE CBD ∴∠=∠BAE BCD 又∠=∠ADH CDB ∴∆∆AHD CBD ∽

（2） O 点是圆心，CD AB ==2，设OD x =， ∴==+=-AO AD x BD x 111,,， ∆∆AHD CBD ∽，

∴

=

HD BD AD

CD ， ∴-=

+HD x x

112

， ∴=-HD x 1

2

12()

下面分两种情况讨论： ∴①当HD 、HO 重合时，

x HO HD ===

012

，

满足HD HO +=1；

∴②当HD 、HO 不重合时，

在Rt HDO ∆中，由勾股定理得：

HO OD HD x x x =+=+-=+22

22221

2

11

2

1[()]()

也满足HD HO +=1．

∴综上所述，HD HO +的值总是1．

例5. 如图，点P 是圆上的一个动点，弦AB =3，PC 是∠APB 的平分线．∠=︒BAC 30．

（1）当∠PAC 等于多少度时，四边形PACB 有最大面积？最大面积是多少？ （2）当∠PAC 等于多少度时，四边形PACB 是梯形？说明你的理由．

B

C

解：如图①

C

①

（1） PC 是∠APB 的平分线

∴⋂=⋂AC BC

当PC 是圆的直径，即∠=︒PAC 90时，四边形PACB 面积最大． 在Rt PAC ∆中，∠=︒APC 30． AP PB AB PC AP ===∴=︒=⋅=3

3032

3

2

cos ∴==

⋅S S PC AB PACB

ACP 四边形21

2∆

=⨯⨯=1

2233

（2）如图②，当∠=︒PAC 120时，

②

四边形PACB 是梯形

PC 是∠APB 的平分线

∴∠=∠=∠=︒

∴∠=︒

∴∠+∠=︒

APC BPC CAB APB PAC APB 3060180 ∴AC PB //．且AP 与BC 不平行． ∴四边形PACB 是梯形．

如图③，当∠=︒PAC 60时，四边形PACB 是梯形

C

③

AC BC AC BC ⋂=⋂

∴=, 又 ∠=︒BAC 30 ∴∠=︒ACB 120

∴∠+∠=︒PAC ACB 180

∴BC AP //且AC 与PB 不平行． ∴四边形PACB 是梯形．

例6. 在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆周长上，其他两边分别为6和8，现要建一个内接于∆ABC 的矩形水池DEFN ，其中DE 在AB 上，如图所示的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求∆ABC 中AB 边上的高h ；

（2）设DN x =，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．