高中数学学业水平考试复习必修1导学案

必修１ 第一章
§1-1 集合及其运算
【自主学习】
1．元素与集合的关系:用 或 表示；
2．集合中元素具有 、 、
3．集合的分类：
①按元素个数可分： 限集、 限集 ；②按元素特征分：数集，点集等
4．集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；
②描述法
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R;
5．集合与集合的关系:
6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n
个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n
－2个.
7．集合的运算（用数学符号表示）
交集A∩B= ;
并集A ∪B= ；
补集C U A= ，集合U 表示全集.
8.集合运算中常用结论: ;A B A B A ⊆⇔=I A B A B B ⊆⇔=U
【典例讲解】边听边练边落实
例1．集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，求A B U ，A B I ，()R C A B I
例2． 已知集合M=2{|1}y y x =+，N={|x y =
x ∈R}，求M∩N
例3．集A ＝{－1，3，2m －1}，集B ＝{3，2m }．若B A ⊆，则实数m ＝
【及时练习】
1．下列关系式中正确的是（ ）
A. 0∈∅
B. 0{0}∈
C. 0{0}⊆
D. {0}⊂∅≠
2．设{}
220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( )
A ．{a }=M
B ． M Ü{a }
C ．{a }∉M
D ．M ⊇{a } 3． 方程3231
x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解集为______.
4．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，{1,2,3}A ={2,5,6,7}B =，则A B U ＝ ，A B I ＝ ，()I C A B I ＝
【课后作业】
1．已知全集,U R =且{}|12,A x x =->
{}2|680,B x x x =-+<则()U C A B I 等于=（）
A ．[1,4)-
B ．(2,3)
C ．(2,3]
D ．(3,4) 2．设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,B y y x ==-，则()R C A B I 等于（ ）
A ．(,0]-∞
B ．{}
,0x x R x ∈≠ C ．(0,)+∞ D ．∅
3．已知全集U Z =，{1,0,1,2}A =-，2{|}B x x x ==则U A C B I 为 4．{}
2|60A x x x =+-=，{}|10B x mx =+=，且A B A =U ，满足条件的m 集合是______
5．已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a 2－a ＋2｝，如果{}1U A =-ð，那么a 的值为____ 必修１ 第一章
§1-2 函数的概念及定义域
【自主学习】
1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ，记作：
2．函数的三要素 、 、
3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法；
4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 .
5．求函数定义域的依据：
① 分式分母有意义，即分母不能为0；
② 有意义集合是{|0}x x ≥
③ 00无意义
④ 指数式、对数式的底a 满足：{|0,1}a a a >≠,对数的真数N 满足：{|0}N N >
【典例讲解】边听边练边落实
例1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( ） ⑴3
)5)(3(1+-+=
x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(，2)(x x g =
；
⑷()f x
()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。

A ．⑴、⑵
B ．⑵、⑶
C ．⑷
D ．⑶、
例2.设2 2 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若()3f x =，则x =
例3.已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x
【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．函数)13lg(13)(2
++-=x x x x f 的定义域是（ ） A.),31(+∞- B. )1,31
(- C. )31,31(- D. )31,(--∞
2. 设⎩⎨⎧<+≥-=)
10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
3
．求函数y =
【课后作业】
1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）
A ．21x +
B ．21x -
C ．23x -
D ．27x +
2．函数4
22--=x x y 的定义域 3．设)(x f 232x x =-+，求(1)f x +
4．已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .
§1-3 函数的表示与值域
【自主学习】
1．函数的表示法： ， ，
2．函数的值域：{f (x )|x ∈A}为值域。

3．求值域的常用的方法：
①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反解法；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数
法.
4. 常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

① 函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R;
② 二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=
当0>a 时值域是2
4[,)4ac b a
-+∞, 当0<a 时值域是(,-∞a
b a
c 442-]； ③ 反比例函数)0,0(≠≠=x k x
k y 的值域为}0|{≠y y ； ④ 指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；
⑤ 对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R ；
⑥ 函数sin ,cos ()y x y x x R ==∈的值域为[-1，1]；
⑦ 函数 2
k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R ； 【课后作业】
1．如图示：U 是全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是：
A ．()M P S I I
B ．()M P S I U
C ．()U M P S I I ð
D ．()U M P S I U ð
2．求223y x x =++的值域
7. 求223([2,3])y x x x =-++∈的值域
必修１ 第一章
§1-4 函数的单调性
【自主学习】1．设函数的定义域为，区间
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在
)(x f y =A A I ⊆I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y
=
区间上是 ，称为的
2．对函数单调性的理解
（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨
论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2） 函数单调性定义中的，有三个特征：一是任意性；二是大小，即12x x <；三是同 属于一个
单调区间，三者缺一不可；
（3）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明在某区间上的单调性，那么就要用严格的四
个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。

但是要注意，不能用区间上的两个特殊值来代替。

而要证明在某区间上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间上两个特殊的，，若，有即可。

（4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和
（5）一些单调性的判断规则：①若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“异减同增”
【典例讲解】
例1．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列
关系式中成立的是
A ．)2()1()23(f f f <-<-
B ．)2()2
3
()1(f f f <-<-
C ．)23()1()2(-<-<f f f
D ．)1()23()2(-<-<f f f 例2.函数x x x f -=2
)(的单调递减区间是____________________
例3. 求函数22log (23)y x x =--单调递增区间
【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
I I )(x f y =1x 2x )(x f y =I I )(x f y =I I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f ≥x
y 1=
)0,(-∞),0(+∞),0()0,(+∞-∞Y x y 1=)0,(-∞),0(+∞)(x f )(x g )()(x g x f +
1． 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函
数，则k 的取值范围是
A ．(],40-∞
B ．[40,64]
C ．(][),4064,-∞+∞U
D ．[)64,+∞
2．设()y f x =图象如下，完成下面的填空
增区间有： 减区间有： 【课后作业】 1．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是
A ．x y =
B ．x y -=3
C ．x
y 1= D ．42+-=x y 2．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）
A.2a ≤-
B.2a ≥-
C.6-≥a
D.6-≤a
必修１ 第一章
§1-5 函数的奇偶性
【自主学习】
1．函数的奇偶性的定义：
① 对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为 . 奇函数的图象关于 对称。

② 对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为 . 偶函数的图象关于 对称。

③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2．.函数的奇偶性的判断：
可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式
,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性. 注意： ①若,则既是奇函数又是偶函数,若,则是偶函数；
)(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f )0)((1)
()(0)()()()(≠±=-⇔
=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 0)(=x f )(x f )0()(≠=m m x f )(x f -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3
②若是奇函数且在处有定义，则
③若在函数的定义域内有，则可以断定不是偶函数，同样，若在函数的定义域内有，则可以断定不是奇函数。

3．奇偶函数图象的对称性
（1）若是偶函数，则的图象关于直线对称；
（2）若是偶函数，则的图象关于点中心对称；
【典例讲解】
例1．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则 则2(6)(3)f f -+-=__________。

例2.设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且
1()()1
f x
g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.
【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）
A ．{}|303x x x -<<>或
B ．{}|303x x x <-<<或
C ．{}|33x x x <->或
D ．{}|3003x x x -<<<<或
2． 若函数2()1
x a f x x bx +=
++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________ 【课后作业】
1．函数lg y x = ( )
A ． 是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增
)(x f 0=x 0)0(=f )(x f )()(m f m f ≠-)(x f )(x f )()(m f m f -≠-)(x f )(x a f y +=⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f a x =)(x b f y +=⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f )0,(b
B ． 是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减
C ． 是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增
D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减
2．函数()log 1a f x x =-在(0,1)上递减，那么()f x 在(1,)+∞上（ ）
A ．递增且无最大值
B ．递减且无最小值
C ．递增且有最大值
D ．递减且有最小值
3．设()f x 是R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =______。

必修１ 第一章
§1-6 指数式及运算性质
【自主学习】
1．⑴一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中 .
⑵ 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做 。

2． 当n 为奇数时，=n n a ；
当n 为偶数时，=n n a .
3． 我们规定： ⑴=m n
a ；其中（ ）
⑵=-n a ；其中（ ）
⑶0的正分数指数幂 ，0的负分数指数幂 .
4． 运算性质：
⑴=s r a a ( )；
⑵()=s r a ( )；
⑶()=r
ab ( )。

【典例讲解】边听边练边落实
例1．化简1
327()125
-的结果是（ ）. A. 35 B. 53
C. 3
D.5 【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．计算(122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的结果是 ( )
A B ． Ｃ．
2 D ．2- 2．若102,103m n ==，则3210_______m n -=．
必修１ 第一章
§1-7 对数式及运算性质
【自主学习】阅读教材P62-68完成下面填空
1．⇔=N a x ；
2．=N a a log ；
3．=1log a ，=a a log .
4．当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：
⑴()=MN a log ； ⑵=⎪⎭⎫
⎝⎛N M a log ；
⑶=n
a M log .
5．换底公式：=b a log .
()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .
6．a
b b a log 1
log =
【典例讲解】边听边练边落实
例1．已知a >0,b >0,且,9b a a b b a ==，则a 的值为 ( )
A
．9 D ．1
9
例2．已知11
25111
1
log log 33
x =+,则x 的值应在区间 ( )
A ．(－2,－1)
B ．(1,2) C(－3,－2) D ．(2,3)
例3．已知lga ，lgb 是方程2x －4x ＋1 = 0的两个根，则(lg )的值是( )
． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
例4．计算：lg14－2lg 37
+lg7－lg18
2b a 2
【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．lg ,lg ,lg x y z 用表示下列各式：
();(1)lg xyz 2
(2)lg ;xy z
2．计算（1）()
()32log 32-+＝ 。

（2）2
(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+＝ 。

3．利用对数的换底公式化简下列各式：
()()
23454839(1)log 3log 4log 5log 2;(2)log 3log 3log 2log 2•••++
【课后作业】 自主落实，未懂则问 1． 11
log log a
a
b b
-之值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2log a b D ．2log a b - 2．若log [ log ( log x)] = 0，则x 为( )．
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 计算：
(1) ２5log 25＋３2log 64 (2)3log 8log 4log 843⋅⋅
7322
1-3
213
31214
2
必修１第一章
§1-8 指数函数及性质与简单幂函数【自主学习】
1
．函数叫做指数函数。

2.指数函数的图象和性质
x
a
y=0 < a < 1 a > 1
图象
性
质
定义
域
值域
定点
单调
性
对称
性
x
y a
=和x
y a-
=关于对称
3．几种幂函数的图象：
【典例讲解】边听边练边落实
例1．如图，设a,b,c,d>0，且不等于1，y=a x , y=b x , y=c x ,y=d x在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d的大小顺序（）
A．a<b<c<d B．a<b<d<c C．b<a<d<c D．b<a<c<d
例2．求下列函数的定义域、值域：
（1）
1
21
8x
y-
=（2）
1
1()
2
x
y=-y=d x
y=c x
y=b x
y=a x
O
y
x
【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．幂函数()f x
的图象过点
（，则()f x 的解析式是_____________。

2． 若指数函数y a x
=+()1在()-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A ． 01<<a B ．-<<10a C ． a =-1D ． a <-1
3．若函数(1)x
y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ） A ．1a >且1b < B ．01a <<且1b ≤ C ．01a <<且0b > D ．1a >且0b ≤ 【课后作业】 自主落实，未懂则问
1．函数y=1
21
2+-x x 是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶函数
D.非奇非偶函数
2．若指数函数x
a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （ ）
A ．
251+ B ．251+-C ．251±D ． 2
1
5± 3．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax
=的图象只可能是
（ ）
4．函数⎪⎩⎪
⎨⎧>≤-=-0
,0
,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围
（ ）
A ．)1,1(-
B ． ),1(+∞-
C ．}20|{-<>x x x 或
D ．}11|{-<>x x x 或
必修１ 第一章
§1-9 对数函数及性质
【自主学习】
1．一般地，函数 叫做对数函数； 2．对数函数的图象和性质
【典例讲解】边听边练边落实 例1．函数22()log (2)
x
f x x =
-的定义域是 ．
例2．设函数421()log 1
x x f x x x -⎧<=⎨>⎩, 求满足()f x =41
的x 的值．
例3．求函数)64(log 2
2+-=x x y 的定义域、值域、单调区间
【及时练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题
1．已知f(x)=(a 2－1)x
在区间(－∞,+∞)内是减函数,则实数a 的取值范围是 （ ） A.|a|＜1 B.|a|＞1 C.|a|＜2 D.1＜|a|＜2
2．若在上是减函数,
则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.函数)813
1
(log 3≤≤=x x y 的反函数的定义域为( )
A ．),0
(+∞ B ．)81,3
1( C ．)4,1( D ．)4,1(- 4．在区间),0(+∞上不是增函数的是 （ ） A ．
2x y = B.y = C.x
y 2=
D.2
21y x x =++ 【课后作业】 自主落实，未懂则问 1．函数(21)
log x y -= （ ）
)2(log ax y a -=]1,0[a )1,0()2,0()2,1(),2(+∞
A ．()2,11,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭U B ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
2．函数212
log (617)y x x =-+的值域是 （ ）
A ．R
B ．[)8,+∞
C ．(),3-∞-
D ．[)3,+∞
3．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是
（ B ）
A ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡43,0 C ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-∞,4
3]0,(Y
4．求函数y =)23(log 2
2
1+-x x 的递增区间。

5.已知f (x )=log a 1+x
1-x (a ＞0，且a ≠1)、
（1）求f (x )的定义域；
（2）判断f (x )的奇偶性并予以证明； （3）求使f (x )＞0的x 的取值范围、
必修１ 第一章
§1-10 函数的应用---根与零点及二分法
【自主学习】
1．方程()0=x f 有实根⇔ ⇔
2．零点定理：如果函数()x f y =在区间 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，
函数()x f y =在区间 内有零点，即存在()b a c ,∈，使得 ，这个c 也就是方程()0=x f 的根.
3．二分法求函数()x f y =零点近似值的步骤： ⑴确定区间 ，验证 ，给定 。

⑵求 ； ⑶计算 ；
①若 ，则 ； ②若 ，则令 ；
③若 ，则令 。

⑷判断 【典例讲解】边听边练边落实
例1．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上 ( ) A ．一定没有零点 B ．至少有一个零点 C ．只有一个零点 D ．零点情况不确定
例2．如果二次函数)3(2
+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞U 例3．函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 。

例4．设()833-+=x x f x
，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得
()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定 【及时练习】
1．下列函数中有2个零点的是 ( )
A ．lg y x =
B ．2x y =
C ．2y x =
D ．1y x =-
2．若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( ) A ．至少有一个零点 B ．只有一个零点 C ．没有零点 D ．至多有一个零点
3．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根 的区间是 。

【课后作业】 自主落实，未懂则问
1．求132)(3
+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4。