2020-2021学年上海市宝山区上海大学附属中学高二年级上学期10月份月度考试数学学科试卷

2020-2021学年上海市宝山区罗店中学高三年级上学期期中考试数学学科试卷
（满分150分 完成时间：90分钟）
一．填空题（本大题共有12题，1-6每题4分，7—12每题5分，共54分）请在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 若直线l 经过点)3,2(-P ，且与向量)3,2(-=n
垂直，则l 的点方向式方程为 . 【答案】2
3
32+=
-y x 【解析】
2. 函数）
4
2tan(π
-=x y 的最小正周期为 . 【答案】
2
π 【解析】利用最小正周期的公式|
|ωπ
=
T 即可求得 3. 若函数2
)(+=x x
x f 反函数是)(1
x f -，则=-)3(1
f
.
【答案】3
-
【解析】由反函数的性质可知，若原函数经过()b a ,，则反函数一定经过()a b ,
4. 已知集合{
}023|2
≤+-=x x x A ，}{a x x B 3|-=.若B A ⊆，则实数a 的取值
范围 . 【答案】 【解析】
5. 若等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1442=+a a ，707=S ，则数}{n a 的通项公式为 . 【答案】 【解析】
6. 已知}{n a 是首项为1a 、公比为q 的无穷等比数列，且4
1
lim =
∞
→n n S ，则首项1a 的取值范围是 . 【答案】 【解析】
7. 用数学归纳法证明“)1,(1
2131211* n N n n n ∈-++++
”时，由()1 k k n =不等式成立，推证1+=k n 时，左边应增加的项数共 项.
【答案】 【解析】
8. 在ABC ∆中，C B A 、、所对边分别为c b a 、、，已知32=a ，2=c ，
01
cos 200sin sin =-A
c b B C ，则ABC ∆的面积为 . 【答案】
【解析】9. 关于y x 、的二元一次方程组⎩⎨
⎧
=+=+2
cos sin 1
3θθy x y x ，()πθ,0∈无解，则
=θ .
【答案】 【解析】
10. 如图，矩形ABCD 中，点P 在矩形边上运动，若PC DP 2=,μλ+=,则
22μλ+的值为
【答案】 【解析】
11. 已知函数⎩⎨⎧≤+--++=0
,20,1)(2
x ax x x x a x x f 的最小值为1+a ，则实数a 的取值范围
为 . 【答案】 【解析】
12. 已知数列}{n a 满足2
11-
=a ，132
1++=+n n n a a a ，若21+=n n a b ，设数列}{n b 的
前n 项和为n S ，则使得k S -2019最小的整数k 的值为 . 【答案】
【解析】
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分） 13. 已知R x ∈，则“0≥x ”是“3>x ”的（ ）
【A 】充分非必要条件 【B 】必要非充分条件 【C 】充要条件 【D 】既非充分又非必要条件 【答案】 【解析】
14. 已知)0,5(),,(-==n m ，且向量在向量方向上的投影是2-，则（ ） 【A 】2-=m ，n 取任意实数 【B 】2,2=-=n m
【C 】2=m ，n 取任意实数 【D 】2,2-==n m 【答案】 【解析】
15. 已知⎪⎩⎪
⎨⎧≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<-=-2012212012
121n n n a n n ，，,n S 数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是（ ）
【A 】n n a ∞
→lim 和n n S ∞
→lim 都存在 【B 】n n a ∞
→lim 和n n S ∞
→lim 都不存在
【C 】n n a ∞
→lim 存在,n n S ∞
→lim 不存在 【D 】n n a ∞
→lim 不存在,n n S ∞
→lim 存在
【答案】
【解析】
设函数1212)(--+=x In x In x f ，则)(x f （ ）
【A 】是偶函数，且在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，
21单调递增 【B 】是奇函数，且在⎪⎭⎫
⎝
⎛2121-，单调递减 【C 】是偶函数，且在），（21--∞单调递减 【D 】是奇函数，且在），（2
1--∞单调递减 【答案】
【解析】
三、解答题（本大题共有5小题，满分共76分） 17. （本题满分14分） 已知向量)1,(),2,1(x ==
（1）若)2()2-⊥+（时，求x 的值；
（2）若向量与向量的夹角为锐角，求x 的取值范围 【答案】 【解析】
18.（本题满分14分）
在数列{}n a 中，32,111-==+n n a a a
（1）求证：数列{}3-n a 是等比数列； （2）若123-+=n a b n n ,求n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）13-=n
n a ； （2）2
9
32322--+=+n n T n n . 【解析】（1）由231+=-n n a a ,得()1311+=+-n n a a ,311=+a ,所以{}1+n a 是以3为首项,3
为公比的等比数列,所以13-=n
n a ；
（2）由123-+=n a b n n 可得4231
-+=+n b n n ,所以通过错位相减法计算可得
2
932322--+=+n n T n n .
19.（本题满分448+=分）
某养渔场,据统计测量,第一年鱼的产量增长率为%200,以后每年的增长率为前一年的一半
（1）饲养5年后,鱼产量预计是原来的多少倍?
（2）如因死亡等原因,每年约损失预计产量的%10,那么,经过几年后,鱼的总产量开始下降?
【答案】（1）7.12；（2）经过5年后,鱼的产量开始下降. 【解析】（1）设鱼原来的产量为
a ,2%200==q ,()q a a +=11,()⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2112112q q a q a a ,
()()a a a 7.1232
4052112112111121325≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴.
（2）由（1）知()()%101211-⋅+=-n n n a a ,令11<-n n
a a ,即110
921%20011
<⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+-n ,则182
1
>-n ,5>n ,即经过5年后,鱼的产量开始下降.
20. （本题满分444++分）
若数列{}n a 的每一项都不等于零,且对于任意的*
N n ∈,都有
q a a n
n =+2
,（q 为常数）,则称数列{}n a 为“类等比数列”.已知数列{}n b 满足：b b =1（R b ∈,0≠b ）,对于任意的*
N n ∈,
都有1
12++=⋅n n n b b .
（1）求证：数列{}n b 是“类等比数列”；
（2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）若{}n b 是单调递增数列,求实数b 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=-
-是偶数是奇数
n b
n b b n n n ,24,22
22
1
；（3）[
2,]2.
【解析】（1）证明1
12++=⋅n n n b b ,2
212
+++=⋅∴n n n b b ,22
212
1212==⋅⋅=∴++++++n n n n n n n n b b b b b b ,∴数
列{}n b 是“类等比数列”；
（2）b b =1 ,1
12++=⋅n n n b b ,b b b 42122==∴,⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=∴--是偶数
是奇数n b
n b b n n n ,24,222
2
1
； （3）因为{}n b 是单调递增数列,12212+-≤≤∴k k k b b b ,即k
k k b b
b 224211⋅≤⋅≤⋅--,解得
22≤≤b ,故实数b 的取值范围为
[
2,]2.
21. （本题满分543++分）
已知数列{}n b ,以及函数()x f ,设()0x b f a n n =,R x ∈0；
（1）若n b n =,*
N n ∈,()x x f 1=
,写出一个0x 使得2
1<n a 对所有的*
N n ∈恒成立； （2）已知n n b b 21=+,*
N n ∈,21=b ,10≥x ,()x x f =,证明：2
5
1≥+
n n a a ,*N n ∈； （3）若()x x f cos =,n n b 2=,*N n ∈,求出所有的0x ,使得0<n a 对所有的*
N n ∈恒成立.
【答案】（1）00=x ；（2）见解析；（3）{
ππ
k x x x 23
20+±
==,}Z k ∈. 【解析】（1）证明：
()001nx nx f a n ==,2
1<n
a 对所有的*
N n ∈恒成立,211210<<-∴nx ,解得
210n x <对所有的*N n ∈恒成立,等价于2
1
10<x ,则在(∞-∈x ,)(22⋃-,)∞+范围内任取一个数即可.
（2）()
0022x x f a n
n n == ,()10≥x ,n n n n x x a a 2
12100⋅+⋅=+
∴,*
N n ∈,10≥x ,令
2
20≥⋅=n x t ，25
1≥+∴t t ,命题得证.
（3）依题意()
2cos 0<⋅n
x 对所有的*
N
n ∈恒成立，可得
ππ
ππ
k x k 22
3220+<
<+,Z k ∈.由于n 取任意正整数得区间长度小于周期,故0x 是一个
数值而非范围,经验证可得{ππ
k x x x 2320+±==,}Z k ∈.。