等差数列的前n项和公式(1)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册 (1)

= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) = × = .
问题2：你能用上述方法计算 + + + ⋯ + 吗？
需要对项数的奇偶进行讨论
（1）当是偶数时， 有 + = + − = ⋯ = + + ，
且 ≠ .任取若干组，，，在电子表格中计算
l
， ， ， ， 的
值(图表示 = ， = ， = 的情况)，观察数列{ }的特点，研究它
是一个怎样的数列，并证明你的结论.
结论：已知数列{ }的前项和为 = + + (，，为常数


例题精讲
课本例6.已知数列{ }是等差数列.
l = ，求 ；
(1)若 = ，

(2)若 = ， = ，求 ；
(3)若 =

，


=

− ，

= −，求.
解(1)：因为 = ， = ，根据公式 =
=
×(+)
所以 = 12.
(−1)
1 +
，得
2
课本例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是
1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
追问：还有其他方法吗？
解: =310, =1220,
把它们代入公式 = +
+ =
且 ≠ )，则当 = 时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 时，数列{ }
从第二项起为等差数列.
已知数列 { }的前项和为 = + + (，，为常数且 ≠ )，
则当 = 时，数列{ }为等差数列；当 ≠ 时，数列{ }从第二项起为

因此，第1排应安排21个座位.
课本例9 已知等差数列{}的 项和，若 ＝，公差 ＝ − ， 是
否存在最大值？若存在，求 的最大值及取得最大值时 的值；若不存在，
请说明理由.
= +
( − )



+ ( − )
=



当取与 接近的整数即5或6时最大，最大值为30.
情境导入
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
+ + + ⋯ + =?
l
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯
却用巧妙的方法迅速算出了正确答案：
+ + + ⋯ + + + =
( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) = ×
∴ = − + ，此时数列{ }为等差数列，且公差为.
(2)当 ≠ 时， = + + 不符合 − + ，
+ + ， = ，
∴ =
此时数列{ }从第二项起为等差数列，
− + ， ≥ .
且公差为.
课本例8 某校新建一个报告厅, 要求容纳800个座位，报告厅共有
两式两边分别相加，得
2Sn= (a 1＋a n)＋(a 2＋a n－1)＋(a 3＋a n－2)＋…… ＋(a n ＋a 1)
= n (a 1＋a n)
由此得到等差数列{ }的前项和的公式
n(a1 an )
Sn
2
等差数列的前项和公式
如果等差数列{}的首项，公差为 ，那么该等差数列的前

= .
(2)因为 = ， =
可得
( + )
，可得

= ×

，∴

=
×(−)
+


.根据公式



× =

.

= +
(−)
，

课本例6.已知数列{ }是等差数列.
(1)若 = ， = ，求 ；
4.2.2等差数列前项和公式
新知探究
问题1：你能用上述方法计算 + + + ⋯ + + 吗？
+ + + ⋯ + + =
+ + + + + + ⋯ + + +
= × + =
所以， = + + + ⋯ + =
(+)
.

问题3：上述方法能够推广到求一般的等差数列{ }的前项
和吗？
（小组合作完成）
设等差数列{ }的前项和为，公差为，即
Sn=a 1＋a 2＋a 3＋…… ＋ a n
将项的次序反过来，可以写成
倒序相加法
Sn=a n＋a n－1＋a n－2＋…… ＋a 1

课堂小结
1.倒序相加法推导等差数列前项和公式
2. 等差数列前项和公式
已知
量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
选用
( + )
=

( − )
= +


公式
l
等差数列.
证明：当 ≥ 时，
= − − = ( + + ) − [( − ) +( − ) + ]
= − + .
当 = 时， = = + + .
(1)当 = 时， = + 符合 − + ，
一束，底阔八束．问共几束？
他的计算方法如右图所示．
{
8
层
{
l
9束
设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，
这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束．
追问：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求前个
正整数的和吗？
l
= + + + ⋯ +

(2)若 = ， = ，求 ；
(3)若 =

，

解(3)：把1 =
1
2
−5 = +

=

− ，1源自，2(−1)2
=
= −，求.
1
− ，
6
= −5代入 =
1
6
× (− ) .
整理，得2 − 7 − 60 = 0.
解得， = 12，或 = −5(舍去).
= .
追问：为什么 ( + ) = ( + ) = ⋯ = ( + ) ？这是巧合吗？
试从数列的角度给出解释.
= + + + ⋯ + =?
设 =
则 = ， = ， = ⋯ =
+ = + = + = ⋯ = +

于是有 = + + + ⋯ + − + − +


= ( + ) + [ + ( − )] + ⋯ + [ + ( + )]


= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + )
=
(+)



个

问题2：你能用上述方法计算 + + + ⋯ + 吗？
(−)


( + )

出发，你能用其他方法得到公式
吗？
= + + + ⋯ +
= + ( + ) + ( + ) + ⋯ [ + ( − )]
= + [ + + + ( − )]
= +
(−)
追问：还有其他方法求 + + + ⋯ + + 吗？
l
法2 原式= ( + + + ⋯ + ) +
= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) + = × +
= .
法3 原式= + + + + ⋯ + +
20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.
问第1排应安排多少个座位？
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排
成一列，构成数列{}，其前项和为.
根据题意，数列{}是一个公差为 2 的等差数列，且
＝
× (−)
由 = +
× = ，可得 =
（2）当 是奇数时，
有 = + + + ⋯ + − + − +
+
+
+
= ( + ) + [ + ( − )] + ⋯ + [(
− ) + (
+ )] +



= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) +
=
−
倒序相加法
次序反过来
= + ( − ) + ( − ) + ⋯ + ,
将上述两式相加，可得：
= ( + ) + [( − ) + ] + [( − ) + ] + ⋯ + ( − )
= ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + )
= ( + )，

∙ ( + )
+
+

−

=
+

个
(+)
.

所以，对任意正整数，都有 = + + + ⋯ + =
(+)
.

思考：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，
比较麻烦.能否避免分类讨论？
我国南宋数学家杨辉提出了这样
一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上
项和公式为
= ＋(－)
n(n 1)
n(a1 an )
Sn
2
Sn na1
2
d.
此公式表明，等差数列的前项和可由首项、公差和项数唯一确定．
等差数列的通项公式和前项和公式中，共有“， ，， ，”
五个量，故知三可求其二．
思考：不从公式 =
= +
得
+ =
=
解方程组，得
=
(−)


利用等差数列前 项和的特征：
一元二次函数 = +
( − )
= +




= + ( − )


问题4：已知数列的前项和为 = + + ，其中，，为常数，