2015-2016年山西省晋城市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2015-2016学年山西省晋城市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题(本题包括10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2﹣1≤0B．∃x0∈R，x02﹣1＞0
C．∃x0∈R，x02﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0
2．（3分）双曲线=1的渐近线方程为（）
A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x 3．（3分）一个物体运动的位移和时间的关系为s=t2﹣t，其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）
A．5米/秒B．6米/秒C．7米/秒D．8米/秒4．（3分）直线2x﹣3y=12在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=6，b=4B．a=﹣6，b=﹣4C．a=﹣6，b=4D．a=6，b=﹣4
5．（3分）下列命题中的真命题是（）
A．若|a|≠|b|，则a≠b
B．y=cos2x的最小正周期为2π
C．若M⊆N，那么M∪N=M
D．在△ABC中，若•＞0，则B为锐角
6．（3分）直线y=x被圆x2+（y+2）2=4截得的弦长是（）
A．2B．2C．D．2
7．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
8．（3分）设抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A
为垂足，如果直线AF的倾斜角等于30°，那么||等于（）
A．2B．4C．D．2
9．（3分）三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB：A1B1=1：2，则三棱锥A1﹣ABC，B﹣A1B1C，C﹣A1B1C1的体积之比为（）
A．1：1：1B．1：1：2C．1：2：4D．1：4：4 10．（3分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）圆C2：x2+y2=b2，在椭圆C1上存在点P，过点P作圆C2的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若，的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．[，1）B．[，]C．[，1）D．[，1）
二、填空题(本题包括8个小题，每小题3分，共24分)
11．（3分）抛物线y2=16x的焦点坐标是．
12．（3分）直线x+2y=5与直线x+2y=10间的距离是．
13．（3分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．
14．（3分）函数y=x3﹣3x2﹣9x（0＜x＜4）的极小值是．
15．（3分）曲线y=在点（1，0）处的切线是．
16．（3分）已知命题p：x2+x﹣2＞0；命题q：x＞m．若￢q的一个充分不必要条件是￢p，则实数m的取值范围是．
17．（3分）若AB为过椭圆+=1中心的线段，点A、B为椭圆上的点，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，则四边形F1AF2B面积的最大值是．
18．（3分）已知双曲线﹣=1，直线l与双曲线相交于M、N两点，MN的中点为（﹣，﹣），则直线l的方程是．
三、解答题（本题包括5个小题，共46分）解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤.
19．（8分）已知圆C：x2+y2=r2过定点M（0，2）
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）求过点（3，2）与圆C相切的直线方程．
20．（8分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P﹣AMN的体积．
21．（10分）已知命题p；方程x2+2x﹣a=0有两个不等实数解，命题q：不等式a2﹣a≥6，若p与q有一个正确，求实数a的取值范围．
22．（10分）已知函数f（x）=x3+kx2﹣x+m，k，m∈R
（Ⅰ）若k=f′（），求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求k的范围．
23．（10分）已知曲线C上每一点到点F（2，0）的距离与到直线x=﹣2的距离相等
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）直线过点p（a，0）a＞0，且与曲线C有两个焦点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值．
附加题
24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，F1，F2是椭圆
C的两个焦点，P是C上任意一点，且△PF1F2的周长为8+4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，﹣3）在线段AB的垂直平分线上，求弦AB的长．
25．（10分）设函数f（x）=x2﹣2tlnx，t＞0
（Ⅰ）若t=1，求曲线f（x）在x=1处的切线方程
（Ⅱ）当t＞e时，试判断函数f（x）在区间（1，e）内的零点个数．
2015-2016学年山西省晋城市高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题(本题包括10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（3分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x2﹣1≤0B．∃x0∈R，x02﹣1＞0
C．∃x0∈R，x02﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x0∈R，x02﹣1≤0，
故选：C．
2．（3分）双曲线=1的渐近线方程为（）
A．y=±B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【解答】解：由题意，a=4，b=3，渐近线方程为y=±x，
故选：C．
3．（3分）一个物体运动的位移和时间的关系为s=t2﹣t，其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）
A．5米/秒B．6米/秒C．7米/秒D．8米/秒
【解答】解：s′=2t﹣1，
当t=3时，v=s′（3）=2×3﹣1=5，
故选：A．
4．（3分）直线2x﹣3y=12在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（）A．a=6，b=4B．a=﹣6，b=﹣4C．a=﹣6，b=4D．a=6，b=﹣4
【解答】解：直线2x﹣3y=12化为：=1．
∴a=6，b=﹣4．
故选：D．
5．（3分）下列命题中的真命题是（）
A．若|a|≠|b|，则a≠b
B．y=cos2x的最小正周期为2π
C．若M⊆N，那么M∪N=M
D．在△ABC中，若•＞0，则B为锐角
【解答】A．若|a|≠|b|，则a≠b且a≠﹣b，故A正确，
B．y=cos2x=cos2x，则函数的周期是π，故B错误，
C．若M⊆N，那么M∪N=N，故C错误，
D．在△ABC中，若•＞0，
则•=||•||cos（π﹣B）=﹣||•||cosB＞0，即cosB＜0，则B为钝角，故D错误，
故选：A．
6．（3分）直线y=x被圆x2+（y+2）2=4截得的弦长是（）
A．2B．2C．D．2
【解答】解：圆x2+（y+2）2=4的圆心坐标为（0，﹣2），半径为2
∵圆心到直线y=x的距离为=
∴直线y=x被圆x2+（y+2）2=4截得的弦长为2=2
故选：B．
7．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线BC1与EF所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，2，0），C1（0，2，2），
=（﹣2，0，2），=（0，1，1），
设直线BC1与EF所成角为θ，
则cosθ=|cos＜，＞|===．
∴直线BC1与EF所成角的余弦值是．
故选：B．
8．（3分）设抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的倾斜角等于30°，那么||等于（）
A．2B．4C．D．2
【解答】解：抛物线x2=4y的焦点为F（0，1），
准线为l：y=﹣1，
设P（m，n），由题意可得A（m，﹣1），
由直线AF的倾斜角等于30°，
可得k AF==，
解得m=﹣2，
n=m2=3，
由抛物线的定义可得||=n+1=4．
故选：B．
9．（3分）三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB：A1B1=1：2，则三棱锥A1﹣ABC，B﹣A1B1C，C﹣A1B1C1的体积之比为（）
A．1：1：1B．1：1：2C．1：2：4D．1：4：4
【解答】解：由题意可知，三棱锥A1﹣ABC，C﹣A1B1C1的体积中，高相等，底面积的比为1：4，所以二者体积比为1：4；
而B﹣A1B1C，C﹣A1B1C1的体积中底面面积相同，B与C1到底面A1B1C高的比1：2，所以体积比为1：2；
所以三棱锥A1﹣ABC，B﹣A1B1C，C﹣A1B1C1的体积之比为1：2：4；
故选C．
10．（3分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）圆C2：x2+y2=b2，在椭圆C1上存在点P，过点P作圆C2的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若，的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．[，1）B．[，]C．[，1）D．[，1）【解答】解：设P（m，n），
∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0）圆C2：x2+y2=b2，在椭圆C1上存在点P，
过点P作圆C2的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，，的夹角为，∴PA=PB=AB==，
∴，
∴b2m2=a2b2﹣a2n2=a2﹣a2n2=a2•，
∴=，
∴e===，
∵﹣a≤m≤a，∴m=a时，e min=，∴，e min=．
又0＜e＜1，∴e∈[，1）．
故选：A．
二、填空题(本题包括8个小题，每小题3分，共24分)
11．（3分）抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．
【解答】解：由y2=16x，得2p=16，
则p=8，，
∴抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
12．（3分）直线x+2y=5与直线x+2y=10间的距离是．
【解答】解：根据题意，直线x+2y=5可以变形为x+2y﹣5=0，直线x+2y=10可以变形为x+2y﹣10=0，
则两直线的距离d==，
即直线x+2y=5与直线x+2y=10间的距离是；
故答案为：．
13．（3分）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是1．
【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图中的直角三角形，棱锥的高为1．
∴三棱锥的体积V==1．
故答案为1．
14．（3分）函数y=x3﹣3x2﹣9x（0＜x＜4）的极小值是﹣27．
【解答】解：由已知得f′（x）=3x2﹣6x﹣9，
f′（x）=0⇒x1=﹣1（舍），x2=3，
又函数f（x）的定义域是（0，4），则x变化时，f′（x）的变化情况如下：
当0＜x＜3时，f′（x）＜0函数f（x）是减函数，
当3＜x＜4时，f′（x）＞0函数f（x）是增函数，
∴当x=3时，函数f（x）取得极小值为﹣27．
故答案为：﹣27．
15．（3分）曲线y=在点（1，0）处的切线是y=x﹣1．
【解答】解：∵y=，
∴y′=，
∴曲线y=在点（1，0）处的切线的斜率为：k=1，
∴曲线y=在点（1，0）处的切线的方程为：y=x﹣1，
故答案为：y=x﹣1．
16．（3分）已知命题p：x2+x﹣2＞0；命题q：x＞m．若￢q的一个充分不必要条件是￢p，则实数m的取值范围是m≥1．
【解答】解：命题p：x2+x﹣2＞0，解得x＞1或x＜﹣2．
命题q：x＞m．
∵￢q的一个充分不必要条件是￢p，
∴q是p的充分不必要条件，
∴m≥1．
故答案为：m≥1．
17．（3分）若AB为过椭圆+=1中心的线段，点A、B为椭圆上的点，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，则四边形F1AF2B面积的最大值是8．
【解答】解：椭圆+=1的a=2，b=2，c==2，
即有|F1F2|=2c=4，
设A（m，n），B（﹣m，﹣n），
由椭圆的对称性可得四边形F1AF2B为平行四边形，
则四边形F 1AF2B面积为S=2=2••|F1F2|•|n|
=4|n|，
由椭圆的范围可得|n|的最大值为2，
即有S的最大值为8．
故答案为：8．
18．（3分）已知双曲线﹣=1，直线l与双曲线相交于M、N两点，MN的中点为（﹣，﹣），则直线l的方程是y=x﹣1．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），
代入双曲线的方程可得
﹣=1，﹣=1，
相减可得=，
由题意可得x1+x2=﹣，y1+y2=﹣，
代入上式，可得k MN====1，
即有直线l的方程为y+=x+，
即为y=x﹣1．
由y=x﹣1代入双曲线的方程可得3x2+4x﹣12=0，
由判别式为16+144＞0，则直线存在．
故答案为：y=x﹣1．
三、解答题（本题包括5个小题，共46分）解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤.
19．（8分）已知圆C：x2+y2=r2过定点M（0，2）
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）求过点（3，2）与圆C相切的直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）把M（0，2）代入圆C：x2+y2=r2，∴r=2，
∴圆C的方程为x2+y2=4；
（Ⅱ）将点P（3，2）代入圆的方程得22+32=13＞4，∴点P在圆外，
设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，
∴=2，解得k=0或．
故所求切线方程为y=2或12x﹣5y﹣26=0．
20．（8分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P﹣AMN的体积．
【解答】解：（I）MN∥平面PAC．
证明：∵M，N是PD，PC的中点，
∴MN∥PC，
∵PC⊂平面PAC，MN⊄平面PAC，
∴MN∥平面PAC．
（II）S
==，
△ADN
V棱锥P﹣ADN==，
V棱锥M﹣ADN==．
∴V
=V棱锥P﹣ADN﹣V棱锥M﹣ADN=．
棱锥P﹣AMN
21．（10分）已知命题p；方程x2+2x﹣a=0有两个不等实数解，命题q：不等式a2﹣a≥6，若p与q有一个正确，求实数a的取值范围．
【解答】解：若方程x2+2x﹣a=0有两个不等实数解，
则判别式△=4+4a＞0，得a＞﹣1，即p：a＞﹣1，
若不等式a2﹣a≥6，得则a2﹣a﹣6≥0，得a≥3或a≤﹣2，即q：a≥3或a≤﹣2，
∵p与q恰有一个正确，
∴若p真q假，则，即﹣1＜a＜3，
若p假q真，则，即a≤﹣2，
综上﹣1＜a＜3或a≤﹣2．
22．（10分）已知函数f（x）=x3+kx2﹣x+m，k，m∈R
（Ⅰ）若k=f′（），求f（x）的单调区间
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，求k的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2kx﹣1，
由f′（）=k，解得：k=﹣1，
∴f′（x）=（3x+1）（x﹣1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣，
令f′（x）＜0，解得：﹣＜x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）递增，在（﹣，1）递减；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，2）上单调递增，
则f′（x）≥0在（1，2）恒成立，
即2k≥=﹣3x在（1，2）上恒成立，
而﹣3x在（1，2）递减，
∴2k≥﹣2，
解得：k≥﹣1．
23．（10分）已知曲线C上每一点到点F（2，0）的距离与到直线x=﹣2的距离相等
（Ⅰ）求曲线C的方程
（Ⅱ）直线过点p（a，0）a＞0，且与曲线C有两个焦点A，B，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C上的每一点到定点F（2，0）的距离与到定直线l：x=﹣2的距离相等，
∴轨迹为焦点在x轴上，以F（2，0）为焦点的抛物线
标准方程为：y2=8x
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+a，代入抛物线方程，可得：y2﹣8my﹣8a=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣8a，
∴△AOB的面积=•a•|y1﹣y2|=•aπ≥2a，
即m=0，△AOB的面积最小值为2a．
附加题
24．（10分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，F1，F2是椭圆
C的两个焦点，P是C上任意一点，且△PF1F2的周长为8+4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（﹣a，0），点Q（0，﹣3）在线段AB的垂直平分线上，求弦AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，
由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，
△PF1F2的周长为2a+2c=8+4，
解得a=4，c=2，
b===2，
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）由A（﹣4，0），可设AB的方程为y=k（x+4），k≠0，
代入椭圆方程，可得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，
设B（x2，y2），AB的中点坐标为M（x0，y0），则
x0==，y0=k（x0+4）=，
则M（，），由k MQ=﹣，可得4k2﹣4k+1=0，解得k=，
此时M（﹣2，1），|AB|=2|MA|=2；
当k=0时，AB的中垂线为y轴也合题意，此时|AB|=8．
综上可得，AB的长为8或2．
25．（10分）设函数f（x）=x2﹣2tlnx，t＞0
（Ⅰ）若t=1，求曲线f（x）在x=1处的切线方程
（Ⅱ）当t＞e时，试判断函数f（x）在区间（1，e）内的零点个数．
【解答】解：（Ⅰ）若t=1，则f（x）=x2﹣2lnx，
f（x）的导数为f′（x）=2x﹣，
f（x）在x=1处的切线斜率为2﹣2=0，
切点为（1，1），
可得f（x）在x=1处的切线方程为y=1；
（Ⅱ）f′（x）=2x﹣=，x＞0，
当x ＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x ＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x=处取得最小值f （）=t﹣tlnt，
由t＞e，可得lnt＞1，即有f
（）＜0，
又f（1）=1＞0，f（e）=e2﹣2t，
由f（e）＞0，可得e＜t ＜，则f（x）在（1，e）内有两个零点；
由f（e）≤0，可得t ≥，f（x）在（1，e）内有一个零点．
综上可得，当e＜t ＜，f（x）在（1，e）内有两个零点；
当t ≥，f（x）在（1，e）内有一个零点．
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去
一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
y
x
o
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。