24.3(3)三角形一边的平行线

只与被截得的线段有关，与平行线段无关！
E A
D
A
A
D B
E C
B D C E
B
C
如图，∵ DE//BC ，可得到哪些对应线段成比例？ AD AE DB EC AD AE ∴ …… ； ； = = = DB EC AB AC AB AC
三角形一边的平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例 . 问1：三角形一边的平行线性质定理的逆命题是什么？ → 如果一条直线截三角形两边所在的直线所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 问2：我们如何证明这个文字命题呢？ 先画出符合题意的图形，在写出 “已知”、“求证”，然后“证明”
B
( 课本P.18练习 ) 2. 已知：如图，点A1、B1、C1分别在射线OA、OB、 OC上，且AB//A1B1，BC//B1C1 . 求证：AC//A1C1 . OA OB = AA1 BB1 O AB//A1B1
A B A1 B1
? ?
C C1
BC//B1C1
OB OC = BB1 CC1 OA OC = AA1 CC1 AC//A1C1
( 图2 )
如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的 延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边.
A
符号表达式之一： AD AE ∵ = DB EC
E
E A
D
B D
C
∴ DE//BC
( 图2 ) ( 图1 ) 适时小结： 三角形一边的平行线判定定理及其推论，为我们 提供了一种全新的两直线平行的判定方法!
B D
C
E A
D
E
B
C
3. 可利用“线段的比例关系”推出 “两直线的平行关系”， 又多了一种判定两直线平行的方法 . 4. 利用中间比来过渡是证明线段比例关系的一种重要思路.
如图，在△ABC中，AD为中线，AE=AC， 若EF:FC=3:5，EB=8，求AC.
G
A
D C E
F D
E C
B
A
B
F D
? ?
E C
AD AE ∴ ( ? ) = AB AC AF AD 又 = AD AB AF AE ∴ = AD AC
∴ EF//DC . ( ? )
( 课本P.18练习 )
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (1) AD=3cm，DB=4cm，AE=1.8cm，CE=2.4cm ； A
A
D
E C
已知：如图，在△ABC中，点D、E AD AE 分别在AB、AC边上，且 . = DB EC 求证：DE//BC
A D
A
E C
F
D B
E C
F
B
问：当点 D、E分别是AB、AC的中点时， 曾记否？当年我们如何证明 我们能否用同样的 AD AE 方法证明本题？ 三角形的中位线定理？ = 是否依然成立？ 此时DE是△ABC DB EC 的什么重要线段?
B
C
→ 议一议：
如图，在△ABC中，点D、E分别 DE AD 在边AB、AC上，如果 , = D BC AB 能否推出DE//BC，为什么？
B
A
E’
E C
适时小结： 三角形一边的平行线性质定理推论的逆命题 是不成立的!
利用中间比来过渡是证明线段比例关系的一种重要思路.
已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在 AF AD 边AC上，且DE//BC ， . = AD AB 求证：EF//DC . AD AE = AB AC
第二种情况： 如果点D、E分别在AB、AC的延长线上(如图1)； 或在它们的反向延长线上(如图2)，且具备： BD CE AD AE AD AE ① ,② ,③ = = = AB AC DB EC AB AC 的条件之一，那么也可以用上述同样的方法推出 DE//BC .
A
E
D
A
B D
C E
B
C
( 图1 )
A
要证明 //DC，只要证得对应线段成比例就 DEEF //BC OK！证哪些对应线段成比例比较好呢？
F D
E C
? ?
AF AE = AD AC
B
已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在 AF AD 边AC上，且DE//BC ， . = AD AB A 求证：EF//DC . 证明：∵ DE//BC //DB，CF=DB .
∴ 四边形BCFD是□ . ∴ DF//BC，即：DE//BC .
说明：根据比例的性质可知， AD AE 在关系式：① ， = DB EC BD CE AD AE = ② ，③ = AB AC AB AC 中，由其中一个可推出其余两个. 因此，以关系式①、②、③之一 为已知条件，都可推出DE//BC .
4 B D 3 解：DE与BC平行 . 理由：∵ AD=3cm，DB=4cm， 1.8 AE=1.8cm，CE=2.4cm ； E AD 3 AE 1.8 3 2.4 ∴ = = = . ， DB 4 EC 2.4 4 C AD AE ∴ = DB EC ∴ DE//BC .
( 课本P.18练习 )
B
A
D
E C
可见三角形一边的平行线性质定理的逆命题是成立的 . 这样，我们就得到以下定理：
如果一条直线截三角形的两边 所得的对应线段成比例，那么 这条直线平行于三角形的第三边 .
符号表达式之一： AD AE ∵ = DB EC
A D
E C
B
∴ DE//BC (三角形一边的平行线判定定理) 适时小结： 定理中是截三角形两边的对应线段成比例， 与平行线段无关 !
( 课本P.18练习 )
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (4) AB=2BD，AC=2CE .
A D
解：DE与BC平行 . 理由：∵ AB=2BD，AC=2CE ；
E C
BD 1 CE 1 ∴ = 2 ， = . AB 2 AC BD CE ∴ = AB AC ∴ DE//BC .
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (2) AD=6cm，DB=9cm，AE=4cm，AC=10cm ；
解：DE与BC平行 . A 理由：∵ AD=6，DB=9， 4 AE=4，AC=10 ；∴ AB=15 . E 10 AD 6 2 ∴ = = ， AB 15 5 C AE 4 2 = = AC 10 5 . AD AE ∴ ∴ DE//BC . = AB AC
9 B
D
6
( 课本P.18练习 )
1. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (3) AD=8cm，AC=16cm，AE=6cm，AB=12cm ；
A 12 8 D B 6 E 解：DE与BC不平行 . 理由：∵ AD=8，AB=12， 16 AE=6，AC=16 ； AD 8 2 ∴ = = ， AB 12 3 C AE 6 3 = = AC 16 8 . AD AE ∴ ∴ DE与BC 不平行. ≠ AB AC
已知：如图1，在△ABC中，点D、E AD AE 分别在AB、AC边上，且 . = DB EC 求证：DE//BC A 证明：过点C作CF//AB,交DE 的延长线于点F . AD AE 则： = CF EC AD AE 又 = DB EC AD AD ∴ = CF DB ∴ CF=DB .
中 间 比
如果一条直线截三角形两边所在的直线所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
这个命题可以分为两种情况来讨论： 第一种情况： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 已知：如图，在△ABC中，点D、E AD AE 分别在AB、AC边上，且 . = DB EC 求证：DE//BC . AD AE 不妨以 为例 B = DB EC
→ 这节课你有什么收获和感悟？
A D B
A
E C
1. 三角形一边的平行线判定定理： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形 的第三边 .
2. 三角形一边的平行线判定定理推论： 如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两 边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段 成比例，那么这条直线平行于三角形的第三 边.
如果一条直线截三角形的两边的延长线这两边的延长线在第三边的同侧所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三角形的第三可利用线段的比例关系推出两直线的平行关系又多了一种判定两直线平行的方法
E
D
A
A
A
D B
E C B
D C B E
C
还记得：三角形一边的平行线性质定理吗？
→ 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例 .