人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题测试提优卷试卷

人教版高三数学第二学期平面向量多选题单元 易错题测试提优卷试卷
一、平面向量多选题
1．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l
分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ） A ．
23
+ B ．
33
+ C ．
323
+ D ．
423
+ 【答案】ABC 【分析】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出13
77
OM OA OB =+，设
OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出
13177x y λμ+=
+=，然后将λμ+与13
77λμ
+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】
先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.
充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即
()
OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，
因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立； 必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，
所以，()1OM xOE x OF =+-，即()
OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =， 所以，E 、F 、M 三点共线.
本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：
D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且1
2
DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即6
7
AC AN =，
//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴
==，6
7
AM AD ∴=， 1
2
AD OD OA OB OA =-=-，
6611
37727
7OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+
=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.
OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，
所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得173
7x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由1x y +=可得
13177λμ+=， 由基本不等式可得
(
)131********μλ
λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
=
当且仅当μ=
时，等号成立.
所以，λμ
+
ABC 选项均不满足47
λμ++≥
. 故选：ABC. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线
(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出
13
177λμ
+=； （2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.
2．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ） A ．()a b a +⊥
B ．|2|5a b +=
C ．向量a 在向量
b 上的投影是2
D ．向量
a
的单位向量是55⎛
⎝⎭
【答案】ABD
【分析】
多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】
(2,1),(3,1)a b ==-
对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；
对于B:
222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；
对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；
对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭
，故D 正确．
故选：ABD ． 【点睛】
多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
3．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，
2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）
A ．0OC EO +=
B ．0AB CE ⋅=
C ．3OA OB OC O
D +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为
7
6
【答案】BD 【分析】
可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】
因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，
所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，
则()0,0E ，()1,0A -，()10
B ,，(3
C ， 由2A
D DC =可得2
22333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭
， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且1
2
GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,
2O ⎛ ⎝⎭
， 对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；
对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭
，
所以1
3,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭
，所以2
3OA OB OC OD +++=，故C 错误； 对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以ED 在BC 方向上的投影为1
2
7326BC ED BC
+⋅==，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.
4．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且
AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）
A ．0AC BD ⋅=
B ．0OA OE ⋅=
C ．3OA OB OC ++=
D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为
712
【答案】BCD 【分析】
根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】
由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，
||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，
B C =，
同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.
2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.
如图建立坐标系，30,2A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫
⎪⎝⎭，13,63D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，解得30,4O ⎛ ⎝⎭
， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；
1323,,,2233AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，AC BD ⋅=12331=023236⨯--≠，故A 错误； 3
2OA OB OC OA OE OE ++=+==
，故C 正确； 13,63ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭
，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD.
【点睛】
如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式
a b b
⋅进行求解.
5．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =
C ．若a b >，则1k <
D ．若a b a b +=-，则a b ⊥
【答案】AD 【分析】
先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式
4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据
a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.
【详解】
解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，
故选项B 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得
11k -<<，故选项C 错误；
因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以
a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】
本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.
6．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++= C ．若
3||||||
AB AC AD
AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量
D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18
【答案】BCD
【分析】
对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BP
tBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得
到12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩
，从而得到21111()()2228
t
y
t t ，即可判断选项D 正确. 【详解】 如图所示：
对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误. 对选项B ，111
()()()222
DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-
+-+-+ 111111
222222
AB AC BA BC CA CB =------
111111
0222222
AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确.
对选项C ，
||AB AB ，||AC AC ，||
AD
AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：
||||
AB AC
AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为
3||||||
AB AC AD
AB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：
BA 在BC 的投影为cos BD BA
B
BA
BD BA
，
所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：
因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BP
tBA t BD ，01t ≤≤.
又因为1
2BD BC =
，所以(1)2
t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t
t λμ=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
，01t ≤≤.
令21111()2
228
t y
t
t ， 当12t =时，λμ取得最大值为1
8.故选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.
7．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】AD
【分析】
由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】
平面向量,,a b c 两两夹角相等，
∴两两向量所成的角是0︒或120︒.
当夹角为0︒时，
,,a b c 同向共线，
则4a b c ++=； 当夹角为120︒时，
,a b 为单位向量，
1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，
又
2c =，
1a b c ∴++=.
故选：AD. 【点睛】
本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.
8．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=，
则||2a b +=，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯， 所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
22
2
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
9．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b += B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
【答案】CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒. 由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()2
2
221243a b
a a
b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；
由()()2
144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
10．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（ ）
A ．22a -
B ．232a -
C ．243a -
D ．2a -
【答案】BCD
【分析】
通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系.
设(),P x y ，又()
3A a ，(),0B a -， (),0C a ，则()
3PA x a y =--， (),PB a x y =---，(),PC a x y =--.
则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=-
即()2,2PB x y PC --+=
所以 (
)(
)()32,2x a PA PB P y x y C =--⋅--⋅+ 则()PA PB PC ⋅+22223x y ay =+- 即()PA PB PC ⋅+222332222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝
⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232
a ≥-
故选：BCD.
【点睛】
本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.。