第2章 测试装置的响应特性

b)比例性 常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的 常数倍，即: 若 x(t) → y(t) 则 kx(t) → ky(t)
c)微分性 系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微 分，即 若 x(t) → y(t) 则 x'(t) → y'(t) d)积分性 当初始条件为零时，系统对原输入信号的积 分等于原输出信号的积分，即 若 x(t) → y(t) 则 ∫x(t)dt → ∫y(t)dt
an y (t ) an1 y
n
n 1
(t ) ...a1 y(t ) a0
m1
bm x (t ) bm1 x
m
(t ) ...b1 x(t ) b0
一般在工程中使用的测试装置都是线性系统。
线性系统性质：
a)叠加性 系统对各输入之和的输出等于各单个输入的 输出之和，即 若 x1(t) → y1(t)，x2(t) → y2(t) 则 x1(t)±x2(t) → y1(t)±y2(t)
该系统的输 出波形与输入信 号的波形精确地 一致，只是幅值 放大了A0倍，在 时间上延迟了t0 而已。这种情况 下，认为测试系 统具有不失真的 特性。 时域条件
A
y(t)=A0x(t) y(t)=A0x(t- t0) x(t)
t
做拉普拉斯变换 y(t)=A0x(t-t0) Y(s)=A0e-st0X(s) 不失真测试系统条件的幅频特性和相频特性 应分别满足 A(ω)=A0=常数 φ(ω)=-t0ω
静态测量时，测试装置表现出的响应特 性称为静态响应特性。 a)灵敏度
当测试装置的输入x有一增量△x,引起输出y发生相 应变化△y时,定义: S=△y/△x y △y △x x
灵敏度就是曲线的斜率； 曲线时可以采用拟合的方式； 灵敏度越高，越容易受到干扰，稳定性越差。
b)非线性度
标定曲线与拟合直线的偏离程度就是非线性度。
分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了
解高阶、复杂系统传输特性的基础。
传递函数:直观的反映了测试系统对不同频率成分 输入信号的扭曲情况。
A

传递函数的测量(正弦波法)
依据：频率保持性 若 x(t)=Acos(ωt+φx) 则 y(t)=Bcos(ωt+φy) 依次用不同频率 fi 的简谐信号去激励被测系统， 同时测出激励和系统的稳态输出的幅值、相位， 得到幅值比Ai、相位差φi。

在系统传递函数已知情况下，令H(s)中s=jω便可求得。
频率响应函数
频率响应函数是在频率域中描述和考察系统特性的。 与传递函数相比较，频率响应的物理概念明确，也易通 过实验来建立； 利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函数。 因此频率响应函数是实验研究系统的重要工具。
一阶系统
如图，装置分属于力学、电学范畴，但均属于一阶系统。
Z(S)
H (sΒιβλιοθήκη Baidu
Y (s) X (s)

Z (s) Y (s) X (s) Z (s)
H 1(s)H 2(s)
H (s)
对几个环节串联组成的系统，有
H
i 1
n
i
(s)
并联时
因
Y (s) Y1(s) Y 2 (s)
Y (s) X (s)
H (s)

H 1 s H 2 s
令S=1，即：

d y t dt

y t

x t

两侧拉普拉斯变换：
s Y (s ) Y s
传递函数：

X s

1 1
2
1 H s s 1
1 j 1
频率响应函数： H j
A
arctan
H(s)
案例:镗杆固有频率测量
实验：悬臂梁固有频率测量
案例:桥梁固频测量
原理：在桥中设置一三角形障碍物，利用汽车通过障碍时的冲击对桥梁 进行激励，再通过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。
阶跃响应函数
若系统输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)， 则X(s)=1/s，此时Y(s)=H(s)/s
又因为：x(t)=Xcos(ωt+φx)
则：x``(t)=-ω2Xcos(ωt+φx) 即：x``(t)+ω2x(t)=0 对应：y``(t)+ω2y(t)=0 则：y(t)=Ycos(ωt+φy)
传递函数
线性系统可以用常系数线性微分方程来描述：
an y (t ) an1 y
m
n
n 1
(t ) ...a1 y(t ) a0
幅频特性、相频特性和频率响应函数
H A e
j

定常线性系统在简谐信号的激励下，系统的频率特性：
A Y A A X 相频特性：稳态输出对输入的相位差。记为φ(ω)。
Y X
幅频特性：稳态输出信号和输入信号的幅值比。记为A(ω)。
Y1 ( s ) X1(s)

Y2 ( s ) X 2 (s)
由n个环节并联组成的系统，有
H (s)
H
i 1
n
i
(s)
同样，令s=jω代入上式，即可得到n个环节串联、 并联时系统的频率响应函数。 任何分母中s高于三次（n>3）的高阶系统都可以 看作是若干个一阶环节和二阶环节的并联（也自然 可转化为若干一阶环节和二阶环节的串联）。
m1
bm x (t ) bm1 x
n n-1
(t ) ...b1 x(t ) b0
对两侧进行拉普拉斯变换：
(an s + an-1s
m
+ ...a1s + a0 )Y(s)
= (bm s + bm-1s
m-1
+ ...b1s + b0 )X(s)
传递函数：H ( s) Y ( s) /
二阶系统
ux
L
R C
uy
2
k
\
c
传递函数
n H s 2 2 s 2 n s n
H j 1 2 1 j 2 n n
m
y(t) x(t)
频率响应函数
A
1 2 1 4 n
测试系统基本要求
理想的测试系统应该具有单值的、确定的输 入－输出关系。对于每一输入量都应该只有单一 的输出量与之对应。知道其中一个量就可以确定 另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。
线性 y 线性 y 非线性y
x
x
x
线性系统(时域描述)
系统输入 x(t) 和输出 y(t) 间的关系可以用常系 数线性微分方程来描述：
脉冲信号：x(t)=δ(t),X(s)=1,Y(s)=H(s)X(s)=H(s)
1 一阶系统传递函数为： H ( s ) s 1 1 t 则： h (t ) e 其图形为：
二阶系统传递函数为：
h (t )
n H s 2 2 s 2 n s n
频域定义
一阶系统不失真测试的频率范围 对于一阶系统 来说，如果时间 常数愈小，则测 试系统的响应速 度愈快，可以在 较宽的频带内有 较小波形失真误 差。所以一阶系 统的时间常数愈 小愈好。 ω<1/τ
二阶系统不失真测试 的频率范围
阻 尼 比 ζ=0.7 时 ，
ω<0.58ωn, 幅频特性A(ω)的变 化 小 于 5% ，相频 特 性也接近于直线。
优点：简单， 信号发生器， 双踪示波器 缺点：效率 低
从系统最低测量频率 fmin 到最高测量频率 fmax，逐步 增加正弦激励信号频率 f，记录下各频率对应的幅值 比和相位差，绘制就得到系统幅频和相频特性。
案例：音响系统性能评定
改进：脉冲输入/白 噪声输入，测量输 出，再求输出频谱。
飞机模态分析
本章学习内容：
1.静态响应特性 2.动态响应特性 3.不失真测试条件
4.典型输入信号响应
测试系统是执行测试任务的传感器、仪器 和设备的总称。
简单测试系统(光电池)
V
复杂测试系统(轴承缺陷检测)
加速度计
带通滤波器
包络检波器
静态响应特性: 如果测量时，测试装置的输入、输出 信号不随时间而变化，则称为静态测量。
R x(t) C y(t)
c k
均可用一阶微分方程来描述： a 一阶微分方程为改写为：
dy t 1
y(t) (位移）
τ
dy t dt
dt
式中 a 1 个常数。
+ y t = Sx t
+ a0 y t = b0 x t
x(t) (力）
a 0 为时间常数； S = b a 为系统灵敏度，是一 0 0
e)频率保持性 若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统 的稳态输出将为同一频率的谐波信号，即 若 则 x(t)=Acos(ωt+φx) y(t)=Bcos(ωt+φy)
线性系统的这些主要特性，特别是符合 叠加原理和频率保持性，在测量工作中具有 重要作用。
e)频率保持性证明 证：设x(t)→y(t) 则：ω2x(t)→ω2y(t) x``(t)→y``(t) [x``(t)+ ω2x(t)]→[y``(t)+ ω2y(t)] 比例性 微分性 叠加性 =-ω2x(t)
X ( s)
+ ...b1 s + b0
=
bm s + bm-1s an s + an-1 s
n
m
m-1
n-1
+ ...a1 s + a0
传递函数H(s)与输入x(t)的具体表达式无关；
不同的物理系统可以有相同的传递函数； 液柱温度计与RC低通滤波器均为一阶系统； 弹簧-质量-阻尼与RLC振荡器均为二阶系统。 传递函数与微分方程是等价的。
2 2 n 2
2 n arctan 2 1 n
环节的串联和并联
两个传递函数各为 H 1 ( s ) 和 H 2 ( s ) 的环节， 串联时 系统的传递函数H(s) 在初始条件为零时为：
非线性度=B/A×100% y B
x 最小二乘法，计算方法。
c)回程误差
测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过 程中，对于同一个输入量所得到的两个数值不同的 输出量之间差值最大者为 hmax ，则定义回程误差为 : (hmax/A)×100% y 弹性元件； A
磁性元件； 机械摩擦； 配合间隙； 灰尘积塞。 x hmax
x(t)
输入量
卷积分
h(t)
系统特性
y(t)
输出
y(t)=x(t)*h(t)
系统分析中的三类问题： x(t)
h(t)
y(t)
1)当输入、输出是可测量的(已知)，可以通 过它们推断系统的传输特性。(系统辨识) 2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过 它们推断导致该输出的输入量。 (反求) 3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和 估计系统的输出量。(预测)
H(s)
时域波形参数识别
阶跃响应函数测量
实验求阶跃响应函数简单明了，产生一个阶 跃信号，再测量系统输出就可以了。
案例：桥梁固有频率测量
原理：在桥中悬挂重物，然后突然剪断绳索，产生阶跃激励，再通 过应变片测量桥梁动态变形，得到桥梁固有频率。
设测试系统的输出y(t)与输入x(t)满足关系 y(t)=A0x(t-t0)
d) 静态响应特性的其他描述
精度：是与评价测试装置产生的测量 误差大小有关的指标 灵敏阀：又称为死区，用来衡量测量 起始点不灵敏的程度。
分辨力：指能引起输出量发生变化时输入量的最 小变化量，表明测试装置分辨输入量微小变化的 能力。
测量范围：是指测试装置能正常测 量最小输入量和最大输入量之间的 范围。
稳定性：是指在一定工作条件下， 当输入量不变时，输出量随时间 变化的程度。
可靠性：是与测试装置无故障工作时间长短有关 的一种描述。
案例：物料配重自动测量系统的静态参数测量
灵敏度=△y/△x
回程误差=(hmax/A)×100%
非线性度=B/A×100% 测量范围：0-45kg
无论复杂度如何，把测量装置作为一个系统 来看待。问题简化为处理输入量 x(t) 、系统传输 特性h(t)和输出y(t)三者之间的关系。
y(t)=x(t)*h(t) Y(f)=X(f)H(f)
脉冲响应函数
若装置的输入为单位脉冲δ(t)，因δ(t)的拉谱拉 斯变换为1，有： Y(s)=H(s)，或y(t)=L-1[H(s)] 记为h(t)，称它为脉冲响应函数。
H(s)
δ(t)
固频、阻尼参数
h(t)
优点：直观 缺点：简单系统识别
拉普拉斯 变换