导数概念及练习题

t
t
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0 )
如教材中的自由落体运动，其位移函数为 s(t) 1 gt 2 ,则有 2
s
1 2
g (t0
t )2
1 2
gt
2 0
1 2
g (2t0 t
t2 )
v(t0 )
lim v
t 0
lim s t0 t
lim 1 2 t 0
3. 讨论函数 f (x)= |x| 在点 x=0 的连续性和可导性。
解 lim f (x) lim x 0
y
x0
x0
lim f (x) lim(x) 0
y x
x0
x0
f (0) 0 即 f (0 0) f (0 0) f (0)
O
x
故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 连续
f
(x) x
f (x0) x0
f
(x0) o(1)(x
x0 )
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) o(x x0 )(x x0 )
lim xx0
f
(x)
f
(x0 ),即f
(x)在x0连续
而如例7所示, f (x) x 在x 0连续,但不可导
注：称式 f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) o(x x0 )(x x0 )
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的 数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一 点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导 函数 f ( x)在x0 处的函数值．
f (x0 ) x0
0
当x x0时,有f (x) f (x0 ) 0,即f (x) f (x0 )
当x x0时,有f (x) f (x0 ) 0,即f (x) f (x0 )
导数的概念练习题
1. 已知
f
(x)
sin
x
tan x
( x 0)
2
, 求 f (0).
(0 x )
lim
f (x) f (1) lim
1 3
x
2 3
1
1
x1
x 1
x1 x 1
3
f (x)在x 1处可导,且有f (1) 1 3
例7 判别f (x) x 在x 0点是否可导
解： Q lim f (x) f (0) lim x lim x 1
x0 x 0
x x x0
x0
f (x) f (0)
设点Q的坐标为Q(x0 x, f (x0 x)), x 0,则有
割线斜率kPQ
y x
f (x0 x) x
f (x0 )
而Q P x 0
Y
k切线
lim
x0
kPQ
P
y f (x)
QT
lim f (x0 x) f (x0 )
X
x0
x
O
x0 x0 x
总结：上述两个问题虽然是不同性质的问题，但最终均归结为函数 值的差与自变量的差商的极限，即简称为差商极限，这就是我们要定义 的导数。
因为y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )是y f (x)在点x x0处的切线
4、性质3
设f (x)在x0点可导,且f (x0 ) 0(或f (x0 ) 0),则O (x0 ), 使得当x O (x0 )时有
(1)当x x0时,有f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 )) (2)当x x0时,有f (x) f (x0 )(或f (x) f (x0 ))
2
解
因为
f(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
sin x sin 0 lim
x0 x 0
sin x lim 1
x x0
f(0)
lim
x0
f (x) f (0) x0
lim x0
tan x 0 x0
lim tan x 1 x x0
所以 f(0) f(0) 1 ，从而 f (0) 1
为函数在可导点处的有限增量公式
因此当f (x0 ) 0时, f (x0 )(x x0 )就是f (x) f (x0 )的主部
有f (x) f (x0 ) ~ f (x0 )(x x0 )(x x0 )
上述结论说明y f (x)在点x0附近的性质与
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )很接近
3x
lim
lim
x0 x 0
x x0
1 lim
x x0 3 2
f (x)在x 0不可导
又Q lim f (x) f (1) lim 3 x 1
x1
x 1
x1 x 1
3 x 1 lim
x1 ( 3 x 1)( 3 x2 3 x 1)
lim
1
1
x1 3 x2 3 x 1 3
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
所以
5.设
在
在
处连续, 且
处可导.
证：因为
存在，则有
又在 所以 即
处连续, 故
lim f (x) f (0)
x0
x
在
处可导.
存在，证明:
思考题
函数 f ( x)在某点x0 处的导数 f ( x0 ) 与导函数 f ( x)有什么区别与联系？
2. 求双曲线
y 1在点 x
1 2
,
2
处的切线的斜率，并写出曲
线在该点处的切线方程和法线方程。
解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为
k1
y
x1 2
1 x2
x1 4 2
所以，所求切线方程为 y 2 4(x 1) 即 4x y 4 0 2
所求法线的斜率为
k2
1 k1
1 4
所求法线方程为 y 2 1 (x 1) 即 2x 8y 15 0 42
g
2t0t t2 t
gt0
（2）莱布尼兹切入点（几何问题） 曲线在某点处切线斜率 曲线在某点处切线含义
设c为y f (x)的曲线,点P(x, f (x))为c上一定点,在c上P点附近
任取一点Q,作割线PQ,当Q沿曲线 P时,若割线PQ有极限
位置PT , 则称直线PT为曲线c在点P处的切线
现研究上述曲线在点P处切线的斜率
x
x
lim
lim lim 1
x0 x 0
x x x0
x0
f(0) f(0)
因此f (x) x 在x 0点不可导
3、性质2 可导与连续的关系
可导
连续
即连续是可导的必要而不充分的条件，可导一定连续，连续不一定可导
证明：
Q lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 ),
f (x) f (0)
f(0)
lim x0
x0
x lim 1
x x0
f(0)
lim x0
f (x) f (0) x0
x lim 1
x x0
连续是可 导的必要非 充分条件
故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 不可导 函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。
4. 设
存在, 且
此时对x D,有唯一的f (x)与之对应,从而形成了函数关系,
称此函数为f (x)在D上的导函数,简称为导数,记作
f (x), y, df (x) , dy
dx
dx
根据导数定义有
f (x) lim f (x x) f (x) lim f (x h) f (x)
x0
x
h0
h
f (x0 ) f (x) xx0
当f (x0 ) 0时, O (x0 ) \{x0}, 使得当x O (x0 ) \{x0}时,
有f (x) f (x0 )
证明： Q f (x0 ) 0,
lim f (x) f (x0 ) 0
x x0
x x0
依据函数极限的局部保号性有
0,使得当x O
(x0 ) \{x0}时,有
f
(x) x
x0
x
2sin x sin(x x)
lim
2
2
x0
x
sin x ~ x (x 0) 22
sin x
上述例题的结论均是公式，要记住！
二、函数在可导点的局部性质
1、单侧导数的概念
（1）左导数
若f
(x)在(x0
,
x0
]有定义,
且
lim
x0
y x
lim x0
f (x0 x) x
f (x0 )
存在,则称f (x)在x0左可导,极限值称为左导数,记作 f(x0 )
x0
x
1 1
lim x x x
x0
x
1 lim
x0 x(x x)
1 x2
,
x (,0) U(0, )
源自文库
例5 求下列函数的导函数
(1) y C(C为常数)
(2) y x ( 0为常数)
(3) y ax (a 0, a 1为常数) (4) y sin x
(5) y cos x
解：（1）
导数的概念及练习题
一、导数的定义 二、函数在可导点的局部性质
一、导数定义
1、问题引入 牛顿与莱布尼兹的切入点 （1）牛顿的切入点（物理问题） 变速直线运动的瞬时速度
设某质点位移函数为s s(t),求速度v(t0 )
若t在t0处有增量t 0,则有 s s(t0 t) s(t0 )
所以在时间t内的平均速度为 v s s(t0 t) s(t0 )
2、导数定义
若y
f
(
x)在O(
x0
)有定义,
且极限
lim
x0
y x
lim
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
lim f (x) f (x0 ) 存在,
x x0
x x0
则称f (x)在x0处可导,并称上述极限值
为f (x)在 x0处的导数,记作
f (x0 ), y
df (x) , xx0 dx
dy xx0 , dx
x x0
根据定义，上述引例中的问题均可归结为导数，即
v(t0 )
lim
t 0
s(t0
t) t
s(t0 )
s(t0 )
k切线
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
f
(x0 )
若上述极限不存在,在称f (x)在x0处不可导
3、导函数
若y f (x)在D上每一点都可导,则称f (x)为D上的可导函数,
ax lim ax 1 x0 x
ax 1 ~ x ln a(x 0) ax ln a
(4)(sin x) lim sin(x x) sin x
x0
x
2sin x cos(x x)
lim
2
2
sin x ~ x (x 0) 22
cos x
x0
x
(5)(cos x) lim cos(x x) cos x
(C) lim C C 0 x0 x
(2)(x )
lim
(x x)
x
x
lim
(1
x ) x
1
x0
x
x0
x
t x , x 0 t 0 x
x lim (1 t) 1
x0
tx
x1 lim (1 t) 1
t0
t
Q (1 t) 1 : t(t 0)
x 1
(3)(ax ) lim axx ax x0 x
（2）右导数
若f
( x)在[ x0 ,
x0
)有定义,且 lim x0
y x
lim x0
f (x0 x) x
f (x0 )
存在,则称f (x)在x0右可导,极限值称为右导数,记作 f(x0 )
左右导数统称为单侧导数
2、性质1 左右导数与导数关系结论 f (x)在x0可导 f (x)在x0既左可导,又右可导,且有f(x0 ) f(x0 ) f (x0 )
4、利用导数定义求有关基本初等函数的导数举例
例3 求y f (x) x的导函数
解： y f (x) (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
lim (x x) x 1, x (, )
x0
x
例4 求y f (x) 1 的导函数,并求它在x 2处的值
x
解： y f (x) lim f (x x) f (x)
此性质的结论常用于判别分段函数在分段点处的可导性，如
例6 设 f (x)
x3 , 3 x, 1 x 2, 33
x0 1 x 0 x 1
判别f (x)在x 0和x 1处是否可导
f (x) f (0)
x3
解： Q lim
lim
lim x 0
x0
x0
x x0
x0
f (x) f (0)