菱形的判定
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§19.2 菱形的判定
复习与引入
菱形的定义： 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 菱形的性质：
菱 形 的 性 质 菱形的两组对 菱形的 对 菱形的两条对 菱形的两条对 条对 相平分 相 平分 组对 . 分别相等 边 菱形的两组对边分别平行 菱形的四条边相等
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
应用与提高
如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点， 如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到 ABCD各边的中点 四边形EFGH 求证:四边形EFGH是菱形. EFGH， EFGH是菱形 四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形.
证明：连接BD、AC. ∵在矩形ABCD中, ∴ AC=BD, 又 E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
应用与提高
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点 的对角线AC 相交于点O 例3 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形 是菱形. AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形.
想一想
如果一个四边形是一个平行四边形， 如果一个四边形是一个平行四边形， 则只要再有什么条件就可以判定它是 一个菱形？依据是什么？ 一个菱形？依据是什么？
根据菱形的定义可知： 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. 一组邻边相等的条件即可 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. A
∴ ∴
EF = FG= GH = EH,
1 1 1 1 EF = BD , FG = AC , GH = BD , EH = AC , 2 2 2 2
∴ 四边形EFGH是菱形.
随堂练习
练习1： 练习 ： 判断下列说法是否正确？为什么？ 判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳ 对角线互相垂直的四边形是菱形； 对角线互相垂直的四边形是菱形 (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 对角线互相垂直， 对角线互相垂直 的四边形是菱形； 的四边形是菱形； ╳ (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 两条邻边相等， 两条邻边相等 组对角的四边形是菱形． 组对角的四边形是菱形． ╳
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（定义） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定义） 邻边相等 叫做菱形 对角线互相垂直 平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 互相垂直的 是菱形 （对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 对角线互相垂直平分 四边形是菱形. 互相垂直平分的 是菱形 四条边相等的四边形是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 四边形是菱形
猜想： 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言如下： 几何语言如下： 已知： 已知：在 求证： 求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD 是菱形 B A O C D
证明： 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ∵四边形 是平行四边形 ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ABCD是菱形 ∴ 是菱形 菱形的一个判定定理： 菱形的一个判定定理：
D 证明： 证明： ∵ AB=5，AO=4，BO=3， ∴ AB 2 = AO 2 + BO 2 , ∴ ∠AOB= 900 AC⊥BD ∴ ABCD是菱形 A O B C
探究与归纳2 探究与归纳
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心， 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B 为圆心， AB AB为半径画弧 得到两弧的交点C 连接BC CD， 为半径画弧， BC、 AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得 到了一个四边形. 到了一个四边形. （1）观察画图的过程，你能说明得到的四边 ） 形为什么是菱形吗? 形为什么是菱形吗 原因：该四边形四条边相等，即有 A 两组对边相等，它首先是一个平行 四边形，又有一组邻边相等，根据 菱形定义即可判定该四边形是菱形. （2）你能得到什么结论 ）你能得到什么结论?
教科书第100页练习题 教科书第100页练习题 第2 、 3题 一课一练、 一课一练、芝麻开花 相关练习
下课了!
想一想
任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明 你发现的结论吗？
这个四边形总是平行四边形 依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形 依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边 形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
观察发现： 观察发现： 当木条转动到相互垂直的位置时， 当木条转动到相互垂直的位置时，这个四边形变成 菱形. 菱形.
小试牛刀
√
随堂练习
练习2： 练习 ：填空。
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ABCD的对角线AC与BD相交于点 的对角线AC 相交于点O
ABCD是 （1）若AB=AD，则□ABCD是 AB=AD， ABCD是 （2）若AC=BD，则□ABCD是 AC=BD， 菱 形； 矩 形； 矩 菱 C O A B 形； 形。
D
C B
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形
四条边相等的四边形是菱形. 四条边相等的四边形是菱形
几何语言如下： 几何语言如下： 已知：在四边形ABCD中 已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA, ABCD 求证：四边形ABCD是菱形. 求证：四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 证明： 证明： ∵在四边形ABCD中， 在四边形ABCD中 ABCD AB=CD，BC=DA， AB=CD，BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 AB=BC， 又 AB=BC， 四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的另一个判定定理： 菱形的另一个判定定理： A B D C
Байду номын сангаас
Q 在 ABCD中，AB = AD ∴ ABCD是菱形.
D
B
C
探究与归纳1 探究与归纳
如图，用一长一短两根细木条， 如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固 定一个小钉子，做成一个可转动的十字架， 定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围 上一根橡皮筋，做成一个四边形. 上一根橡皮筋，做成一个四边形
ABCD是 （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 ABC是直角， 是直角 ABCD是 （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 BAO=∠DAO， D
评价与反思
１、通过探究，本节课你得到了哪些结论? 通过探究，本节课你得到了哪些结论 有什么认识？ 有什么认识？ 2 、菱形的判定方法有哪些？ 菱形的判定方法有哪些？
复习与引入
菱形的定义： 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的性质： 菱形的性质：
菱 形 的 性 质 菱形的两组对 菱形的 对 菱形的两条对 菱形的两条对 条对 相平分 相 平分 组对 . 分别相等 边 菱形的两组对边分别平行 菱形的四条边相等
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形.
应用与提高
如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点， 如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到 ABCD各边的中点 四边形EFGH 求证:四边形EFGH是菱形. EFGH， EFGH是菱形 四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形.
证明：连接BD、AC. ∵在矩形ABCD中, ∴ AC=BD, 又 E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
应用与提高
如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点 的对角线AC 相交于点O 例3 如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且 AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形 是菱形. AB=5，AO=4，BO=3，求证: ABCD是菱形.
想一想
如果一个四边形是一个平行四边形， 如果一个四边形是一个平行四边形， 则只要再有什么条件就可以判定它是 一个菱形？依据是什么？ 一个菱形？依据是什么？
根据菱形的定义可知： 根据菱形的定义可知： 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. 一组邻边相等的条件即可 所以只要再有一组邻边相等的条件即可. A
∴ ∴
EF = FG= GH = EH,
1 1 1 1 EF = BD , FG = AC , GH = BD , EH = AC , 2 2 2 2
∴ 四边形EFGH是菱形.
随堂练习
练习1： 练习 ： 判断下列说法是否正确？为什么？ 判断下列说法是否正确？为什么？ (1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳ 对角线互相垂直的四边形是菱形； 对角线互相垂直的四边形是菱形 (2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等 对角线互相垂直， 对角线互相垂直 的四边形是菱形； 的四边形是菱形； ╳ (4)两条邻边相等，且一条对角线平分一 两条邻边相等， 两条邻边相等 组对角的四边形是菱形． 组对角的四边形是菱形． ╳
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（定义） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 定义） 邻边相等 叫做菱形 对角线互相垂直 平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 互相垂直的 是菱形 （对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 对角线互相垂直平分 四边形是菱形. 互相垂直平分的 是菱形 四条边相等的四边形是菱形. 四条边相等的四边形是菱形. 四边形是菱形
猜想： 猜想： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言如下： 几何语言如下： 已知： 已知：在 求证： 求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD 是菱形 B A O C D
证明： 证明： 四边形ABCD是平行四边形 ∵四边形 是平行四边形 ∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ABCD是菱形 ∴ 是菱形 菱形的一个判定定理： 菱形的一个判定定理：
D 证明： 证明： ∵ AB=5，AO=4，BO=3， ∴ AB 2 = AO 2 + BO 2 , ∴ ∠AOB= 900 AC⊥BD ∴ ABCD是菱形 A O B C
探究与归纳2 探究与归纳
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心， 先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B 为圆心， AB AB为半径画弧 得到两弧的交点C 连接BC CD， 为半径画弧， BC、 AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得 到了一个四边形. 到了一个四边形. （1）观察画图的过程，你能说明得到的四边 ） 形为什么是菱形吗? 形为什么是菱形吗 原因：该四边形四条边相等，即有 A 两组对边相等，它首先是一个平行 四边形，又有一组邻边相等，根据 菱形定义即可判定该四边形是菱形. （2）你能得到什么结论 ）你能得到什么结论?
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想一想
任意转动木条，这个四边形总有什么特征？你能证明 你发现的结论吗？
这个四边形总是平行四边形 依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形 依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
继续转动木条，观察什么时候橡皮筋周围的四边 形变成菱形？你能证明你的猜想吗？
观察发现： 观察发现： 当木条转动到相互垂直的位置时， 当木条转动到相互垂直的位置时，这个四边形变成 菱形. 菱形.
小试牛刀
√
随堂练习
练习2： 练习 ：填空。
□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ABCD的对角线AC与BD相交于点 的对角线AC 相交于点O
ABCD是 （1）若AB=AD，则□ABCD是 AB=AD， ABCD是 （2）若AC=BD，则□ABCD是 AC=BD， 菱 形； 矩 形； 矩 菱 C O A B 形； 形。
D
C B
四边相等的四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形
四条边相等的四边形是菱形. 四条边相等的四边形是菱形
几何语言如下： 几何语言如下： 已知：在四边形ABCD中 已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA, ABCD 求证：四边形ABCD是菱形. 求证：四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 证明： 证明： ∵在四边形ABCD中， 在四边形ABCD中 ABCD AB=CD，BC=DA， AB=CD，BC=DA， ∴四边形ABCD是平行四边形. 四边形ABCD是平行四边形. ABCD是平行四边形 AB=BC， 又 AB=BC， 四边形ABCD是菱形. ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是菱形. 菱形的另一个判定定理： 菱形的另一个判定定理： A B D C
Байду номын сангаас
Q 在 ABCD中，AB = AD ∴ ABCD是菱形.
D
B
C
探究与归纳1 探究与归纳
如图，用一长一短两根细木条， 如图，用一长一短两根细木条，在它们的中点处固 定一个小钉子，做成一个可转动的十字架， 定一个小钉子，做成一个可转动的十字架，四周围 上一根橡皮筋，做成一个四边形. 上一根橡皮筋，做成一个四边形
ABCD是 （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 ABC是直角， 是直角 ABCD是 （4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 BAO=∠DAO， D
评价与反思
１、通过探究，本节课你得到了哪些结论? 通过探究，本节课你得到了哪些结论 有什么认识？ 有什么认识？ 2 、菱形的判定方法有哪些？ 菱形的判定方法有哪些？