2018高中数学必修1课件：3-1-1 方程的根与函数的零点 精讲优练课型 精品
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第三章 函数的应用 3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
【知识提炼】 1.函数的零点 (1)概念:函数f(x)的零点是使_______的实数x.
f(x)=0 (2)函数的零点与函数的图象、对应方程的根的关系:
f(x)=0 x轴
2.函数零点的判断
(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是_连__续__不__断__的一条曲 线.②___________<0.
【变式训练】(2015·六安高一检测)在区间(3,5)上有零点的函数
是( )
A.f(x)=2xln(x-2)-3
B.f(x)=-x3-3x+5
C.f(x)=2x-4
D.f(x)=- +2
1
【解析】选A.对于A,f(x)在(3,5)上有x意义,且f(3)=-3<0,f(5)=
【总结提升】 1.对函数零点概念的三点说明 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一 个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. (2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有 实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如 函数y=5,y=x2+1就没有零点.
内存在零点,不一定有图象连续不断,也不一定有f(a)·f(b)<0.
【题型探究】
类型一 函数零点的概念及求法
【典例】1.(2015·长治高一检测)函数y=4x-2的零点是 ( )
A.2
B.(-2,0)
C.
2.若函数y=-x+2m的零点是2,则m=(12 ,0)
D.
1 .2
3.(2015·临汾高一检测)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求a
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.
【方法技巧】确定函数零点个数的方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几 个零点. (2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数. (3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断 的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的 个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题.
【方法技巧】函数零点的求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点, 否则函数不存在零点. (2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐 标即为函数的零点.
【变式训练】(2015·沧州高一检测)求函数f(x)=-x2-2x+3的零点,并 画出它的图象. 【解题指南】解方程-x2-2x+3=0可得函数f(x)的零点,即得函数f(x) 的图象与x轴的交点的横坐标,再求出函数图象的顶点坐标,用平滑的曲 线连接这三点即可粗略地画出函数f(x)的图象.
(3)两个条件:①在[a,b]上函数图象连续不断;②端点函数值异号即
f(a)·f(b)<0,缺一不可.如f(x)= 1,有f(-1)·f(1)<0,但f(x)在
(-1,1)上没有零点,原因是f(x)= x的图象在(-1,1)上不是连续不 1
断的.
x
(4)不可逆性:对函数零点的判断方法,反过来不成立,即f(x)在(a,b)
区间?
提示:可令lnx- 2=0,则lnx= ,2可转化为函数h(x)=lnx,g(x)= , 2
利用其图象的交x点位置进行判断x .
x
2.典例2中表中的数值如何利用?
提示:观察表中的数值,可知f(-3)=6>0,
f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根;
又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
【总结提升】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下 三条: ①图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③f(x)在[a,b]上是单调函数.
(2)有多个零点:
此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.
2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ln(x-1)+0.01x”,又如何判断该 函数零点的个数? 【解析】方法一:因为f(3)=ln2+0.03>0,f(1.5)=-ln2+0.015<0,所 以f(3)·f(1.5)<0, 说明函数f(x)=ln(x-1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点. 又y=ln(x-1)与y=0.01x在(1,+∞)上都是增函数,所以该函数只有一 个零点.
2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=x2-lg 1 ”,又如何判断函数零点
的个数?
x
【解析】由f(x)=x2-lg 1=0,得x2=lg 1, 即x2=-lgx,令h(x)=x2,gx(x)=-lgx(x>0x),
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示:
由图象可知两函数图象只有一个交点,
【解析】1.选D.令4x-2=0,解得x=1 ,函数的零点是实数,故函数 2
y=4x-2的零点是1 . 2.由于函数y=-x+2 2m的零点是2,故-2+2m=0,解得m=1.
答案:1 3.由函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2,3. 所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根, 由根与系数的关系可得:2+3=-(-a),2×3=-b, 所以a=5,b=-6.
4.函数f(x)=x2-5x的零点是
.
【解析】令x2-5x=0,解得x1=0或x2=5, 所以函数f(x)=x2-5x的零点是0和5.
答案:0和5
【知识探究】 知识点1 函数的零点 观察图形,回答下列问题:
问题:如图为函数f(x)在[-4,4]上的图象,根据函数的图象,你能否得 出方程f(x)=0的根的个数?方程的根与对应函数的图象有什么关系?
和b的值.
【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.
【解析】1.选B.首先结合y=lnx和y=2 的图象知交点只有一个,且交 x
点横坐标在区间(1,e)上,可以排除C,D.然后由f(1)=-2<0,f(2)=ln2-
1<0,f(3)=ln3- 2 >0,得f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有零点. 2.选A.结合图表中3 的数据.
因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根,又f(2)=-4<0,
f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
结合选项可判断选A.
【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无 零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
f(a)·f(b) (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得
_______,这个c也就是方程f(x)=0的根.
f(c)=0
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)函数的零点是一个点吗? 提示:不是.函数的零点是一个实数,不是一个点. (2)任何函数都有零点吗? 提示:不是.如果函数的图象与x轴没有交点,则该函数就没有零点,如 函数f(x)= 就没有零点.
x -3 -2 -1
0
1
2
34
不求y a,b,c6的值,判m断方程a-x42+bx+c-=60的两根-6所在区-间4 是 n( )6 A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞)
【解题探究】1.典例1中可转化为哪两个函数图象来确定零点所在的
【解析】令f(x)=ln(x-1)=0, 则有x-1=1,解得x=2, 故函数f(x)=ln(x-1)的零点是2, 所以函数只有一个零点.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ex-1”,则函数又有几个零点? 【解析】令f(x)=ex-1=0,即ex=1, 所以x=0,故该函数只有一个零点.
故函数f(x)=x2-lg 1只有一个零点. x
类型三 确定函数零点所在的区间
【典例】1.(2015·通化高一检测)函数f(x)=lnx- 2 的零点所在的
大致区间是 ( )
x
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(1,e)和(3,4)
D.(e,+∞)
2.(2015·德州高一检测)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如 下表:
【解析】因为方程-x2-2x+3=0的两个实数根为-3,1, 因此f(x)=-x2-2x+3的零点为-3,1. 即f(x)的图象与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0). 此函数的顶点坐标为(-1,4),图象如图:
类型二 确定函数零点的个数 【典例】(2015·大连高一检测)求函数f(x)=ln(x-1)的零点的个数. 【解题探究】典例中要求函数的零点个数,可使函数值等于多少进行 求解? 提示:使该函数值等于0,求方程的根即可.
(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零 点,则零点一定在其定义域内.
2.基本初等函数的零点
函数
一次函数y=kx+b(k≠0)
反比例函数y= k (k≠0)
x
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
Δ>0 Δ=0
Δ<0
指数函数y=ax(a＞0,且a≠1)
对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)
【补偿训练】判断函数f(x)=x2- 1 零点的个数.
x 【解题指南】本题求函数的零点可直接令f(x)=x2- 1=0,解相应的方
程即可;或转化为两个熟知的基本初等函数y=x2与y=x1 ,看两个函数
图象的交点即可.
x
【解析】方法一:令x2- 1=0,得x2= 1,
x
x
即x3=1,解得x=1.
故函数f(x)=x2- 1只有一个零点. x
1 x
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是 ( )
【解析】选D.由图象可知,只有选项D中的函数图象与x轴 无交点.
3.若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则a的值等于 ( )
A.4
B.-4
C.- 1
D. 1
【解析】选D.因为4是函数f(x)=ax24-2log2x的零点4,
所以a×42-2log24=0,解得a=1 . 4
方法二:由x2- 1=0,得x2= 1.
x
x
令h(xx 标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一
个交点,故函数f(x)=x2- 只有一个零点.
1 x
【延伸探究】
1.(变换条件)若将函数变为“f(x)=x2+ 1 ”,判断该函数零点的个数. 【解析】令f(x)=x2+ 1 =0,即x3+1=0, x 解得x=-1,故该函数只x有一个零点.
幂函数y=xα
α>0 α≤0
零点(或零点个数)
一个零点
b k
无零点
两个零点 b
2a
一个零点 b
2a
无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点
知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题:
问题1:根据函数的图象可知函数的零点是什么? 问题2:判断f(0)·f(2),f(2)·f(4)的符号如何?由此可得到函数在某一 区间内存在零点应具备什么条件?
(3)无零点:
①f(x)在[a,b]上的图象不是连续不断的,如y= 在[-1,0)∪(0,1]
1
上无零点;
x2
②f(x)在[a,b]上的最小(大)值都大(小)于零,如y=(x+1)2+1.
2.对函数零点判断的四点说明 (1)存在性:“若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个 实数根”指出了方程f(x)=0的实数根的存在性. (2)唯一性:若f(a)·f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调函数,则方程 f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.
3.1.1 方程的根与函数的零点
【知识提炼】 1.函数的零点 (1)概念:函数f(x)的零点是使_______的实数x.
f(x)=0 (2)函数的零点与函数的图象、对应方程的根的关系:
f(x)=0 x轴
2.函数零点的判断
(1)条件:①函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是_连__续__不__断__的一条曲 线.②___________<0.
【变式训练】(2015·六安高一检测)在区间(3,5)上有零点的函数
是( )
A.f(x)=2xln(x-2)-3
B.f(x)=-x3-3x+5
C.f(x)=2x-4
D.f(x)=- +2
1
【解析】选A.对于A,f(x)在(3,5)上有x意义,且f(3)=-3<0,f(5)=
【总结提升】 1.对函数零点概念的三点说明 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标,函数的零点是一 个实数,不是一个点.当函数的自变量取这个实数时,函数值为零. (2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的,若方程没有 实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图象与x轴无交点,如 函数y=5,y=x2+1就没有零点.
内存在零点,不一定有图象连续不断,也不一定有f(a)·f(b)<0.
【题型探究】
类型一 函数零点的概念及求法
【典例】1.(2015·长治高一检测)函数y=4x-2的零点是 ( )
A.2
B.(-2,0)
C.
2.若函数y=-x+2m的零点是2,则m=(12 ,0)
D.
1 .2
3.(2015·临汾高一检测)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,求a
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x的图象, 由图象知h(x)=ln(x-1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即f(x)= ln(x-1)+0.01x有且只有一个零点.
【方法技巧】确定函数零点个数的方法 (1)利用方程的根,转化为解方程,方程有几个根相对应的函数就有几 个零点. (2)利用函数y=f(x)的图象与x轴的交点的个数,从而判定零点的个数. (3)结合函数的单调性.若函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断 的曲线,利用f(a)·f(b)<0,结合单调性可判定y=f(x)在(a,b)上零点的 个数. (4)转化成两个函数图象的交点问题.
【方法技巧】函数零点的求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点, 否则函数不存在零点. (2)几何法:与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐 标即为函数的零点.
【变式训练】(2015·沧州高一检测)求函数f(x)=-x2-2x+3的零点,并 画出它的图象. 【解题指南】解方程-x2-2x+3=0可得函数f(x)的零点,即得函数f(x) 的图象与x轴的交点的横坐标,再求出函数图象的顶点坐标,用平滑的曲 线连接这三点即可粗略地画出函数f(x)的图象.
(3)两个条件:①在[a,b]上函数图象连续不断;②端点函数值异号即
f(a)·f(b)<0,缺一不可.如f(x)= 1,有f(-1)·f(1)<0,但f(x)在
(-1,1)上没有零点,原因是f(x)= x的图象在(-1,1)上不是连续不 1
断的.
x
(4)不可逆性:对函数零点的判断方法,反过来不成立,即f(x)在(a,b)
区间?
提示:可令lnx- 2=0,则lnx= ,2可转化为函数h(x)=lnx,g(x)= , 2
利用其图象的交x点位置进行判断x .
x
2.典例2中表中的数值如何利用?
提示:观察表中的数值,可知f(-3)=6>0,
f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根;
又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
【总结提升】 1.函数f(x)在区间[a,b]上的零点的情况 (1)有唯一零点: 此时f(x)在[a,b]上与x轴有唯一公共点或f(x)在[a,b]上满足以下 三条: ①图象是连续不断的一条曲线; ②f(a)·f(b)<0; ③f(x)在[a,b]上是单调函数.
(2)有多个零点:
此时f(x)在[a,b]上满足情况(1)中的①且图象多次与x轴相交.
2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ln(x-1)+0.01x”,又如何判断该 函数零点的个数? 【解析】方法一:因为f(3)=ln2+0.03>0,f(1.5)=-ln2+0.015<0,所 以f(3)·f(1.5)<0, 说明函数f(x)=ln(x-1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点. 又y=ln(x-1)与y=0.01x在(1,+∞)上都是增函数,所以该函数只有一 个零点.
2.(变换条件)若将函数改为“f(x)=x2-lg 1 ”,又如何判断函数零点
的个数?
x
【解析】由f(x)=x2-lg 1=0,得x2=lg 1, 即x2=-lgx,令h(x)=x2,gx(x)=-lgx(x>0x),
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象,如图所示:
由图象可知两函数图象只有一个交点,
【解析】1.选D.令4x-2=0,解得x=1 ,函数的零点是实数,故函数 2
y=4x-2的零点是1 . 2.由于函数y=-x+2 2m的零点是2,故-2+2m=0,解得m=1.
答案:1 3.由函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2,3. 所以2和3是方程x2-ax-b=0的两个根, 由根与系数的关系可得:2+3=-(-a),2×3=-b, 所以a=5,b=-6.
4.函数f(x)=x2-5x的零点是
.
【解析】令x2-5x=0,解得x1=0或x2=5, 所以函数f(x)=x2-5x的零点是0和5.
答案:0和5
【知识探究】 知识点1 函数的零点 观察图形,回答下列问题:
问题:如图为函数f(x)在[-4,4]上的图象,根据函数的图象,你能否得 出方程f(x)=0的根的个数?方程的根与对应函数的图象有什么关系?
和b的值.
【解题探究】1.典例1中要求函数的零点,只要使该函数的值怎样? 提示:令y=4x-2=0,求解方程即可. 2.典例2中函数的零点2如何利用? 提示:将2代入该函数,此时函数值等于0,解方程即可. 3.典例3中的两个零点与a,b有何关系? 提示:2和3是方程x2-ax-b=0的两根,则有2+3=-(-a),2×3=-b.
【解析】1.选B.首先结合y=lnx和y=2 的图象知交点只有一个,且交 x
点横坐标在区间(1,e)上,可以排除C,D.然后由f(1)=-2<0,f(2)=ln2-
1<0,f(3)=ln3- 2 >0,得f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有零点. 2.选A.结合图表中3 的数据.
因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根,又f(2)=-4<0,
f(4)=6>0,所以在(2,4)内必有根.
结合选项可判断选A.
【方法技巧】判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值. (2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断. (3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无 零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.
f(a)·f(b) (2)结论:函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得
_______,这个c也就是方程f(x)=0的根.
f(c)=0
【即时小测】 1.思考下列问题: (1)函数的零点是一个点吗? 提示:不是.函数的零点是一个实数,不是一个点. (2)任何函数都有零点吗? 提示:不是.如果函数的图象与x轴没有交点,则该函数就没有零点,如 函数f(x)= 就没有零点.
x -3 -2 -1
0
1
2
34
不求y a,b,c6的值,判m断方程a-x42+bx+c-=60的两根-6所在区-间4 是 n( )6 A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞)
【解题探究】1.典例1中可转化为哪两个函数图象来确定零点所在的
【解析】令f(x)=ln(x-1)=0, 则有x-1=1,解得x=2, 故函数f(x)=ln(x-1)的零点是2, 所以函数只有一个零点.
【延伸探究】 1.(变换条件)若将函数改为“f(x)=ex-1”,则函数又有几个零点? 【解析】令f(x)=ex-1=0,即ex=1, 所以x=0,故该函数只有一个零点.
故函数f(x)=x2-lg 1只有一个零点. x
类型三 确定函数零点所在的区间
【典例】1.(2015·通化高一检测)函数f(x)=lnx- 2 的零点所在的
大致区间是 ( )
x
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(1,e)和(3,4)
D.(e,+∞)
2.(2015·德州高一检测)二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如 下表:
【解析】因为方程-x2-2x+3=0的两个实数根为-3,1, 因此f(x)=-x2-2x+3的零点为-3,1. 即f(x)的图象与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0). 此函数的顶点坐标为(-1,4),图象如图:
类型二 确定函数零点的个数 【典例】(2015·大连高一检测)求函数f(x)=ln(x-1)的零点的个数. 【解题探究】典例中要求函数的零点个数,可使函数值等于多少进行 求解? 提示:使该函数值等于0,求方程的根即可.
(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点.若函数y=f(x)有零 点,则零点一定在其定义域内.
2.基本初等函数的零点
函数
一次函数y=kx+b(k≠0)
反比例函数y= k (k≠0)
x
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
Δ>0 Δ=0
Δ<0
指数函数y=ax(a＞0,且a≠1)
对数函数y=logax(a＞0,且a≠1)
【补偿训练】判断函数f(x)=x2- 1 零点的个数.
x 【解题指南】本题求函数的零点可直接令f(x)=x2- 1=0,解相应的方
程即可;或转化为两个熟知的基本初等函数y=x2与y=x1 ,看两个函数
图象的交点即可.
x
【解析】方法一:令x2- 1=0,得x2= 1,
x
x
即x3=1,解得x=1.
故函数f(x)=x2- 1只有一个零点. x
1 x
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是 ( )
【解析】选D.由图象可知,只有选项D中的函数图象与x轴 无交点.
3.若4是函数f(x)=ax2-2log2x的零点,则a的值等于 ( )
A.4
B.-4
C.- 1
D. 1
【解析】选D.因为4是函数f(x)=ax24-2log2x的零点4,
所以a×42-2log24=0,解得a=1 . 4
方法二:由x2- 1=0,得x2= 1.
x
x
令h(xx 标系中画出h(x)和g(x)的图象,由图可知两函数图象只有一
个交点,故函数f(x)=x2- 只有一个零点.
1 x
【延伸探究】
1.(变换条件)若将函数变为“f(x)=x2+ 1 ”,判断该函数零点的个数. 【解析】令f(x)=x2+ 1 =0,即x3+1=0, x 解得x=-1,故该函数只x有一个零点.
幂函数y=xα
α>0 α≤0
零点(或零点个数)
一个零点
b k
无零点
两个零点 b
2a
一个零点 b
2a
无零点 无零点 一个零点1 一个零点0 无零点
知识点2 函数零点的判断 观察图形,回答下列问题:
问题1:根据函数的图象可知函数的零点是什么? 问题2:判断f(0)·f(2),f(2)·f(4)的符号如何?由此可得到函数在某一 区间内存在零点应具备什么条件?
(3)无零点:
①f(x)在[a,b]上的图象不是连续不断的,如y= 在[-1,0)∪(0,1]
1
上无零点;
x2
②f(x)在[a,b]上的最小(大)值都大(小)于零,如y=(x+1)2+1.
2.对函数零点判断的四点说明 (1)存在性:“若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个 实数根”指出了方程f(x)=0的实数根的存在性. (2)唯一性:若f(a)·f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调函数,则方程 f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解.