2022届广东省普宁市华美实验学校高考数学必刷试卷(含解析)

2022学年高考数学模拟测试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交
直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．
2
3
B ．
12
C ．
13
D ．
14
2．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
3．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20
B ．24
C ．25
D ．26
4．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）
A ．1
B ．2
C D
5．已知函数()2
2
cos sin 4f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝
⎭
，则()f x 的最小值为( )
A ．1+
B ．
12
C ．1
D ．1-
6．2019年10月1日，为了庆祝中华人民共和国成立70周年，小明、小红、小金三人以国庆为主题各自独立完成一幅十字绣赠送给当地的村委会，这三幅十字绣分别命名为“鸿福齐天”、“国富民强”、“兴国之路”，为了弄清“国富民强”这一作品是谁制作的，村支书对三人进行了问话，得到回复如下： 小明说：“鸿福齐天”是我制作的；
小红说：“国富民强”不是小明制作的，就是我制作的；
小金说：“兴国之路”不是我制作的，
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“鸿福齐天”的制作者是（ ） A ．小明
B ．小红
C ．小金
D ．小金或小明
7．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<
D ．b c a <<
8． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
9．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：
①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的1
4
. 其中正确的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，
0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则对于下列判断： ①直线2
x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；
②点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心；
③函数1y =与()3512
12y f x x π
π⎛⎫
=-
≤≤
⎪⎝⎭
的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
11．已知函数()()2
22ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有
()()
1212
8f x f x x x -≥-，
则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1-- B ．()2,1-- C ．(],3-∞-
D ．(],2-∞-
12．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）
A ．
B C ．25
-
D ．
25
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． “今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617+++=a a a a ______． 14．在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅=__________. 15．已知函数()()2ln 2x
e f x a x e
=-有且只有一个零点，则实数
a 的取值范围为__________.
16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,
a b c ，若22a b
-=，sin C B =，则A =____. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数），以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.
18．（12分）设0()(1)n
k k
n
k m P n m C m k
==-+∑，，()n
n m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，
，的值；
（2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．
19．（12分）如图，在正四棱锥P ABCD ﹣中，底面正方形的对角线,AC BD 交于点O 且12
OP AB ＝．
（1）求直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）求锐二面角B PD C --的大小．
20．（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”. （1）当1
2
p q ==
时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13
p =
，2
3q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，
，的概率. 21．（12分）已知函数()2
2
x
k f x e x =-有两个极值点1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围； （2）证明：
()()
1212
f x f x k x x +<. 22．（10分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >，关于直线:20l x y --=的对称点为M ，且||32FM =若点P 为C 的准线上的任意一点，过点P 作C 的两条切线PA PB ，，其中A B ，为切点. （1）求抛物线C 的方程；
（2）求证：直线AB 恒过定点，并求PAB △面积的最小值.
2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【答案解析】
连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆，且
12OF FA =，进而1
2
c a c =-，由此能求出椭圆的离心率.
【题目详解】 如图，连接OM ，
椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，
B 、
C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点
∴OM 为ABC ∆的中位线，
∴OFM
AFB ∆∆，且
1
2
OF FA =， 12
c a c ∴
=-， 解得椭圆E 的离心率13
c e a ==. 故选：C 【答案点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题. 2、A 【答案解析】
利用逐一验证的方法进行求解. 【题目详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙
比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ． 【答案点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 3、D 【答案解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为2345
5555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
【题目详解】
混合后可以组成的所有不同的滋味种数为2345
5555205126C C C C +++=++=（种），
故选：D. 【答案点睛】
本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题. 4、D 【答案解析】
根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果. 【题目详解】
由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==
则212a bi i +=+==故选：D 【答案点睛】
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题. 5、C 【答案解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【题目详解】
由于()221cos 21cos 22cos sin 422x x f x x x ππ⎛
⎫-+ ⎪
+⎛⎫⎝⎭=++=+ ⎪⎝
⎭ cos 2sin 2122
x x
=+
+
124x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
故其最小值为：12
-. 故选：C. 【答案点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 6、B 【答案解析】
将三个人制作的所有情况列举出来，再一一论证. 【题目详解】
依题意，三个人制作的所有情况如下所示：
若小明的说法正确，则均不满足；若小红的说法正确，则4满足；若小金的说法正确，则3满足.故“鸿福齐天”的制作者是小红， 故选：B. 【答案点睛】
本题考查推理与证明，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于基础题. 7、C 【答案解析】
利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a ，b ，c 1
2
比较即可. 【题目详解】
由0.50.50.820.8a =>
1334
sin1sin 23245b π<=<==<
， 11lg3lg 10lg1022
c =<==，
所以有c b a <<.选C. 【答案点睛】
本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化. 8、D 【答案解析】
解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
9、C 【答案解析】
根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用
app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③
的正误.综合得出结论. 【题目详解】
使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确； 使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，8130
0.1456290
≈，故超过10%的大学生使用app 主
要玩游戏，所以②错误；
使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401
562904
>，所以③正确.
故选：C. 【答案点睛】
本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 10、C 【答案解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为
()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭
为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
由222T ππ
ωπ
=
== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π
⎛⎫- ⎪⎝⎭
带入得 6
π
=ϕ ，
所以()3sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
由此可得①错误，②正确，③当3512
12x π
π-
≤≤
时，0266
x π
π≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确 所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题． 11、D 【答案解析】
求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【题目详解】
()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x
+++'=+=
， 当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减，
从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有
()()
1212
8f x f x x x -≥-， 即
()()12128f x f x x x -≥-，
()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，
令()()8g x f x x =+，则()22
48a g x ax x
+'=
++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1
240a ax x
+++≤， 从而()22221412
2121
x x a x x ---≤=-++，因为()2
2212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【答案点睛】
此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 12、A 【答案解析】
先利用向量坐标运算求解OB ，再利用向量OA 在向量OB 上的投影公式即得解 【题目详解】
由于向量()34OA =-，，()15OA OB +=-， 故()21OB =，
向量OA 在向量OB 上的投影是
5OA OB OB
⋅-=
=-.
故选：A 【答案点睛】
本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
16
29
52 【答案解析】
设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布,由等差数列前n 项和公式求出16
29
d =
,由此利用等差数列通项公式能求出14151617a a a a +++.
【题目详解】
设从第2天开始,每天比前一天多织d 尺布, 则303029
3053902
S d ⨯=⨯+=, 解得16
29d =
,即每天增加的数量为1629
， 14151617111113141516a a a a a d a d a d a d ∴+++=+++++++ 1458a d =+ 16
45585229=⨯+⨯
=，故答案为1629
，52. 【答案点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 14、52
-
【答案解析】
作出图形，设点E 为线段BC 的中点，可得出()
1
2
AE AB AC =+且AP AE EP =+，进而可计算出AP BC ⋅的值. 【题目详解】
设点E 为线段BC 的中点，则EP BC ⊥，0EP BC ∴⋅=，
()()
111
222
AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，
()
()()
1
2
AP BC AE EP BC AE BC EP BC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=
+⋅-()
()2222115
23222
AC AB =-=⨯-=-. 故答案为：52
-
. 【答案点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题. 15、(){},0e -∞
【答案解析】 当1
2x ≠
时，转化条件得()2ln 2x
e
e a x =有唯一实数根，令()()
2ln 2x e
e g x x =，通过求导得到()g x 的单调性后数形结合即可得解. 【题目详解】
当12x =时，()10e f x e -≠=，故1
2
x =不是函数的零点；
当1
2x ≠
时，()0f x =即()
2ln 2x
e
e a x =， 令()()
2ln 2x
e
e g x x =
，110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()()()()()2
222
22
121ln 2ln 2ln 2ln 2x
x
x
e e e
e x e x e e
x e x g x x x ⎛⎫--⋅ ⎪
⎝⎭'⋅⋅==⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
， ∴当110,,222e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '<；当,2e x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>，
∴()g x 的单调减区间为110,,,222e ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，增区间为,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
又 2ln e e
e e
g e e
⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，可作出()g x 的草图，如图：
则要使()a g x =有唯一实数根，则(){},0a e ∈-∞.
故答案为：(){},0e -∞.
【答案点睛】
本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题. 16、
6
π 【答案解析】
由sin 23C B =，根据正弦定理“边化角”，可得23c b =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角A . 【题目详解】
sin 23C B =
根据正弦定理：
sin sin b c
B C
= ∴可得3c b =
根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 由已知可得：223a b bc -=
故可联立方程：2
22
22
232cos 3c b a b c bc A a b bc
⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩
解得：3cos A =由0A π<<
∴6
A π
=
故答案为：
6
π. 【答案点睛】
本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）曲线1:2cos C ρθ=，曲线(2
22:3C x y +=.（2）y =.
【答案解析】
（1）用1cos sin x y αα
=+⎧⎨=⎩和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C 的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由
222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫
=<<∈ ⎪⎝
⎭
，代入到1:2cos C ρθ=和2C ：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.
【题目详解】 解：由1cos sin x y αα=+⎧⎨
=⎩
和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨
=⎩ ()()
2
2
cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=
故1C ：2cos ρθ=
将ρθ=两边同时乘以ρ，得2sin ρθ=
因为2
2
2
,sin x y y ρρθ=+=，所以220x y +-=
得2C 的直角坐标方程(2
22:3C x y +=.
（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫=<<
∈ ⎪⎝
⎭
由2cos θϕ
ρθ
=⎧⎨=⎩，得||2cos OA ϕ=，
由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得||OB ϕ=
故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛
⎫
+==+ ⎪⎝
⎭
当3
π
ϕ=
时，OA OB +取得最大值
此时直线的极坐标方程为：()3
R π
θρ=∈，
其直角坐标方程为：y =. 【答案点睛】
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题. 18、（1）1（2）1 【答案解析】
分析：（1）当1m =时可得()()1
,1,?,111
P n Q n n n =
=++，可得()(),1,11P n Q n ⋅=.（2）先得到关系式()(),1,n P n m P n m m n
=
-+，累乘可得()()()!!1,0,!n n m n m P n m P m n m C +=
=+，从而可得()(),,1P n m Q n m ⋅=，即为定值．
详解：（1）当1m =时，()()()1
1
00
111,111111n
n k
k k k n
n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑， 又()1
111n Q n C n +==+，
， 所以()(),1,11P n Q n ⋅=. （2）()()
,1n
k
k
n
k m
P n m C m k
==
-+∑ ()()1
1
111
11()
1n k
n
k k n n k m m C C m k m k
----==+-++-++∑ ()()1
1
1
1
1
1111n n
k
k k
k n n k k m m C
C m k m k
----===+-+-++∑∑ ()()1
1
1
1,1n
k
k n k m
P n m C m k
--==-+-+∑
()()01,1n k k
n k m m P n m C n m k
==-+-+∑
()()1,,m
P n m P n m n =-+
即()(),1,n
P n m P n m m n =
-+， 由累乘可得()()()!!1
,0,!
n n m n m P n m P m n m C +==+，
又(),n
n m Q n m C +=，
所以()(),,1P n m Q n m ⋅=． 即()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值1．
点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的()(),,P n m Q n m 和的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误． 19、（1）
6
3
；（2）60︒. 【答案解析】
(1) 以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为2,再求解BP 与平面PCD 的法向量,继而求得直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值即可.
(2)分别求解平面BPD 与平面PDC 的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可. 【题目详解】
解：()1在正四棱锥P ABCD ﹣中,底面正方形的对角线,AC BD 交于点,O 所以OP ⊥平面,ABCD 取AB 的中点,E BC 的中点,F 所以,,OP OE OF 两两垂直,故以点O 为坐标原点,
以,,OE OF OP 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系．
设底面正方形边长为2, 因为1,2
OP AB ＝
所以1,OP ＝
所以()(
)()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1B C D P ﹣﹣﹣, 所以()1,1,1BP ＝﹣﹣,
设平面PCD 的法向量是(),,n x y z =,
因为()0,2,0CD =-,()1,
1,1CP =﹣, 所以20CD n y ⋅=-＝,0CP n x y z ⋅+＝﹣＝,
取1,x ＝
则0,1y z ＝＝﹣, 所以()1,0,1n =- 所以6
,3
BP n cos BP n BP n
⋅=
＜＞＝
,
所以直线BP 与平面PCD 所成角的正弦值为
3
． ()2设平面BPD 的法向量是(),,n x y z =,
因为()1,1,1BP ＝﹣﹣,()-2,-2,1BD =,
所以0,BP n x y z ⋅+＝﹣﹣＝220BD n x y ⋅＝﹣﹣＝,
取1,x ＝
则1,0,y z ＝﹣＝ 所以()1,1,0n =-,
由()1知平面PCD 的法向量是()1,0,1n =-,
所以1
2
m n
cos m n m n ⋅＜,
＞＝＝ 所以,60m n ︒＜＞＝,
所以锐二面角B PD C ﹣﹣的大小为60︒． 【答案点睛】
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.
20、（1）见解析，0（2）80
2187
【答案解析】
（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解. 【题目详解】
解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为1
2
p q ==
, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,3
11(3)28
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2
23113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,2
23113
(1)228
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,
所以ξ的分布列为：
所以()(3)(1)308888
E ξ=-⨯
+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题, 又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
此时的概率为(
)
5
3
3365
87
12308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
（或802187）. 【答案点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想. 21、（1）(),e +∞ （2）证明见解析 【答案解析】
（1）先求得导函数()f x '，根据两个极值点可知()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根，构造函数()x
g x e kx =-，求
得()g x '；讨论0k ≤和0k >两种情况，即可确定()g x 零点的情况，即可由零点的情况确定k 的取值范围； （2）根据极值点定义可知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x
f x e kx '=-=，代入不等式化简变形后可知只需证明
122x x +>；构造函数()x x h x e =
，并求得()h x '，进而判断()x x h x e =的单调区间，由题意可知()()121h x h x k
==，并设1201x x <<<，构造函数()()()2x h x h x ϕ=--，并求得()x ϕ'，即可判断()x ϕ在01x <<内的单调性和最值，进而可得()()20h x h x --<，即可由函数性质得()()212h x h x <-，进而由单调性证明
212x x >-，即证明122x x +>，从而证明原不等式成立.
【题目详解】 （1）函数()2
2
x
k f x e x =-
则()x
f x e kx '=-，
因为()f x 存在两个极值点1x ，2x ， 所以()0x
f x e kx '=-=有两个不等实根.
设()()x
g x f x e kx '==-，所以()x
g x e k '=-.
①当0k ≤时，()0x
g x e k '=->，
所以()g x 在R 上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当0k >时，令()0x
g x e k '=-=得ln x k =，
所以()()min ln ln 0g x g k k k k ==-<，即k e >. 又因为()010g =>，()2
0k
g k e k =->，
所以()g x 在区间()0,ln k 和()ln ,k k 上各有一个零点，符合题意，
综上，实数k 的取值范围为(),e +∞.
（2）证明：由题意知()1110x
f x e kx '=-=，()2220x f x e kx '=-=， 所以11x
e kx =，22x
e kx =.
要证明
()()
1212
f x f x k x x +<， 只需证明
()1222
1212
122222
x x k k e x e x k k x x k x x -
-+=-+<，
只需证明122x x +>.
因为11x
e kx =，22x
e kx =，所以
12121x x x x e e k
==. 设()x x h x e =
，则()1x
x
h x e
-'=， 所以()h x 在(),1-∞上是增函数，在()1,+∞上是减函数. 因为()()121
h x h x k
==
， 不妨设1201x x <<<，
设()()()2x h x h x ϕ=--，01x <<， 则()()()()22111
1+21x x x x x x x h x h x x e e e e ϕ----⎛⎫
'''=-=-=-- ⎪⎝⎭
， 当()0,1x ∈时，10x ->，
211x x
e e ->， 所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,1上是增函数， 所以()()10x ϕϕ<=，
所以()()20h x h x --<，即()()2h x h x <-. 因为()10,1x ∈，所以()()112h x h x <-， 所以()()212h x h x <-.
因为()21,x ∈+∞，()121,x -∈+∞，且()h x 在()1,+∞上是减函数， 所以212x x >-，
即122x x +>，
所以原命题成立，得证.
【答案点睛】
本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.
22、（1）2
4x y =（2）见解析，最小值为4
【答案解析】
（1）根据焦点F 到直线l 的距离列方程，求得c 的值，由此求得抛物线的方程.
（2）设出,,A B P 的坐标，利用导数求得切线,PA PB 的方程，由此判断出直线AB 恒过抛物线焦点F .求得三角形PAB 面积的表达式，进而求得面积的最小值.
【题目详解】
（1）依题意
d =，解得1c = （负根舍去） ∴抛物线C 的方程为24x y =
（2）设点()()1122,,,,(,1)A x y B x y P t -，由24x y =， 即214y x =，得12
y x '= ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为()1112x y y x x -=
-， 即2111122
x y x y x =+- ∵21114
y x =，∴112x y x y =-∵点(,1)P t -在切线PA 上， 1112x t y -=-①，同理，2212
x t y -=-② 综合①、②得，点()()1122,,,A x y B x y 的坐标都满足方程12
x t y -=-. 即直线:12
t AB y x =+恒过抛物线焦点()0,1F 当0t =时，此时()0,1P -，可知：PF AB ⊥
当0t ≠，此时直线PF 直线的斜率为2PF k t
=-，得PF AB ⊥
于是1||||2
PAB S PF AB =⋅△，而||PF
把直线12t y x =+代入24x y =中消去x 得()
22210y t y -++= 2
1224AB y y t
=++=+，即：(()3222114422S t t =+=+ 当0t =时，PAB S
最小，且最小值为4
【答案点睛】 本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.。