单调性与最大(小)值(第二课时)教案

1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)
一、教材分析：
二、学习目标：
①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;
②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.
三、教学重点：理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．
四、教学难点：了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．
五、课时安排：1课时
六、教学过程
（一）、自主导学（课堂导入）
1、设计问题,创设情境
某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?
2、自主探索,尝试解决
老师给出学生们一些问题让学生思考，并对学生的回答进行点评，然后一起总结得出结论.层层引入，完成本节课学习的主题.
问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的
共同特征.
函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.
问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?
函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.
问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?
图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.
问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?
由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.
3、信息交流,揭示规律
问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?
函数最大值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?
f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.
问题7:函数最大值的几何意义是什么?
函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.
问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?
函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.
问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?
不是,因为该函数的定义域中没有-1.
问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?
讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.
问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.
函数最小值的定义：一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.
问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?
讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.
（二）、合作学习 让学生合作做练习，教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？
解：作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识，对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：
当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =2
4( 4.9)1814.74( 4.9)
⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.
【例2】已知函数y =21x -(x [2，6])，求函数的最大值和最小值.
分析：由函数y =
21x -(x [2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6])的图象可知，函数y =21x -在区间[2，6]上递减. 所以，函数y =21
x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.
解：设x 1，x 2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则
f (x 1) – f (x 2) =122211
x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)
x x x x -----
=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1＜x 2≤6，得x 2 –x 1＞0，(x 1–1) (x 2–1)＞0，
于是 f (x 1) – f (x 2)＞0，
即 f (x 1)＞f (x 2).
所以，函数y =21x -是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21
x -在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4
（三）、当堂检测
1、课本题组题，1,5,3932B p p
2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3，若x ∈[t ，t +2]时，求函数f (x )的最值.
解：∵对称轴x = 1，
（1）当1≥t +2即t ≤–1时，
f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，
f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.
（2）当22
t t ++≤1＜t +2，即–1＜t ≤0时，f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3，
f (x )min = f (1) = – 4.
（3）当t ≤1＜22
t t ++，即0＜t ≤1，f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3，
3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.
解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则
y=(x-8)[60-(x-10)·10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).
当且仅当x=12时,y 有最大值160元,
即售价定为12元时可获最大利润160元.
（四）、课堂小结
（教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:
1．最值的概念
2．应用图象和单调性求最值的一般步骤.
3..函数的最值及几何意义如何?
4..你学了哪几种求函数最值的方法?
5..求函数最值时,要注意什么原则?
七．课外作业
课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.
八、教学反思：。