第2章线性定常系统的状态方程求解-0407N

同理对于 2 2有
1 p12 p12 0 1 2 3 p 2 p p22 2 p12 令p12 1 p2 - 2 22 22
因此
1 1 2 1 1 P ,P . 1 2 1 1
2.3 矩阵指数函数的计算
二、线性变换法
1、公式推导：
~ 设变换矩阵为P，则 A P 1 AP
~ At
e
e
P 1 APt 1
1 1 1 1 2 2 I P APt ( P AP) t ( P AP) k t k 2! k! 1 2 2 1 k k 1 P ( I At A t A t ) P 2! k! P 1 e At P
因此 (t 1 ) (t 2 ) e A( t1 t 2 ) (t 1 t 2 )
2.2 状态转移矩阵的性质
性质4：状态转移矩阵的逆矩阵。 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ) 证明：由性质3得： (t t ) (t ) (t ) (t ) (t ) (0) I 根据逆矩阵的定义，则： 1 (t ) (t ), 1 (t ) (t ) 性质5：通过状态转移矩阵进行状态转移。 x (t 2 ) (t 2 t 1 ) x (t 1 ) 证明： x(t 1 ) (t 1 ) x(0), x(0) 1 (t 1 ) x(t 1 ) (t 1 ) x(t 1 )
(2)拉普拉斯变换法：
sxs Axs x0,
sI Axs x0
xs sI A x0,
1
即xt L
1
sI A x0
1

e
At
L
1
sI A
1
2.2 状态转移矩阵的性质
性质 1：初始时刻t0=0时的状态转移矩阵为 单位矩阵。即
(0) I
证明：
1 2 2 1 k k (t ) e I At A t A t 2! k! (0) I . 当t=0时，
At
2.2 状态转移矩阵的性质
性质 2：状态转移矩阵的求导。 (t ) A (t ) (t ) A 证明：利用定义
1 0.5(1 e 2 t ) (1).(t ) 2t e 0
2e t e 2 t (2).(t ) t 2 t e e 2e t 2e 2 t t 2 t e 2e
2.3 矩阵指数函数的计算
一、直接计算法
d e At t dt


1 2 2 1 k k d I At A t A t 2! k! dt
1 A A t Ak t k 1 k 1! A t t A
2
性质2表明 A (t )与 (t ) A 可交换， (0) A 且
1 2 1 k b1 Ab0 , b2 A b0 , , bk A b0 , 2 k!
1 k k 2 2 1 x t I At 2 A t A t x 0 k! 1 k k At A t x0 e x 0 k 0 k! 其中： e At I At 1 A 2 t 2 1 A k t k 2 k! tk k A k 0 k!
2.2 状态转移矩阵的性质
性质3：状态转移矩阵的分解。 (t 1 t 2 ) (t 1 ) (t 2 ) (t 2 ) (t 1 )
证明： (t1 )(t 2 ) e At e At ( I At1
1 2
1 2 2 A t1 ) 2!
1 2 2 A t 2 ) 2! 1 1 2 I A(t1 t 2 ) A2 ( t12 t1t 2 t 2 ) 2! 2! 1 2 1 2 1 3 3 1 3 A ( t1 t1 t 2 t1t 2 t 2 ) 3! 2! 2! 3! 1 1 I A(t1 t 2 ) A2 (t1 t 2 ) 2 A3 (t1 t 2 )3 2! 3! e A( t1 t 2 ) (t1 t 2 ) 同理 (t 1 ) (t 2 ) e A( t1 t 2 ) (t 1 t 2 ) ( I At 2
则齐次状态方程的解为
At
xt e x(0) t ax(t ) 的解与指数 因为标量微分方程 x
函数的关系为 xt e x(0) ，可以看出向 量微分方程的解与标量微分方程的解形式 At 上相似，所以将 e 称为矩阵指数函数。 由于 x (t ) 是由 x (0) 转移而来，e At 又称为 状态转移矩阵，记为 (t ) ，即
t 2 t 2 e 2 e (0) A t 2t 2 e 4 e
e t e 2t t 2t e 2e
1 0 e t 2e 2t t 2t 2 3 e 4e t 0
练习：试判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件， 如果满足，求对应的矩阵A。
因此 (t 2 t0 ) (t 2 t1 ) (t1 t0 )
2.2 状态转移矩阵的性质
性质7：状态转移矩阵的k次方。
[ (t )] k (kt )
[ (t )] k (e At ) k e kAt e A( kt ) (kt ) 证明：
性质8：状态转移矩阵的交换性。 若 AB BA, 则
2 2
直接根据矩阵指 数的定义式计算
3 3
e
At
A t A t 1 k k I At A t 2! 3! k 0 k!


特点：步骤简便、编程简单，适合于计算机数值 求解。 缺点：采用手工计算时，因需对无穷级数求和,难 以获得解析表达式。
1 0 At A 例2.1：已知 2 3 求 e .
因此
e 1t P e 1t P 1 n t e
(t ) Pe P
பைடு நூலகம்1
AP
P 1
其中 1 , , n 为矩阵A的特征值。
2.3 矩阵指数函数的计算
2、变换矩阵P 的求取
1) 一般方法
Api i pi , (i 1,2, , n) P p1 p2 pn
若将矩阵A变换为对角线标准形，则：
e 1t P P 1 n t e
(t ) Pe P 1
e 1t
例：已知系统矩阵
1 0 A 2 3
试求状态转移矩阵 (t ) 。
解：(1)求特征值：该系统的特征方程为
解： e
At
1 2 2 1 3 3 I At A t A t 2! 3!
1 0 0 0 1 2t t 1 2 3 2 t 3t 2! 6 7
3 2 2 t t 1 t 2 7 2 2 2t 3t 1 3t t 2
从而有
e t (t ) P 0 0 1 2e t e 2t P 2t t 2t e 2 e 2 e e t e 2t t 2t e 2e
例.已知系统矩阵
试求其状态转移矩阵。
(1)求特征值：
1 0 0 A 0 0 1 6 11 6
1 I A ( 1)( 2) 0 2 3

求得 1 1, 2 2. 当 1 1 时，Ap1 1 p1
1 p11 p11 0 2 3 p p p11 p 21 21 21 1 令p11 1 p1 - 1
( A B ) t
e
e e
At
Bt
e e
Bt
At
例：已知状态转移矩阵
2e t e 2t (t ) t 2t 2 e 2 e e t e 2t t 2t e 2e
试求 1 (t ), A.
t 2t 2 e e 1 (t ) (t ) t 2t 2 e 2 e
第2章线性定常系统的状 态方程求解
已知系统模型
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y Cx(t ) Du(t )
系统的初始状态 x (0) x 0 系统的输入 u(t ) 如何确定系统在任意时刻t的状态 x (t )、输 出 y(t ) ？——状态方程求解问题
本章主要内容
(t 2 t 1 ) x (t 1 )
x (t 2 ) (t 2 ) x (0) (t 2 ) (t 1 ) x (t 1 )
2.2 状态转移矩阵的性质
性质6：状态转移矩阵的传递性。
(t 2 t 0 ) (t 2 t 1 ) (t 1 t 0 )
证明：
x(t 2 ) (t 2 t 1 ) x(t 1 ), x(t 1 ) (t 1 t 0 ) x(t 0 )
x (t 2 ) (t 2 t 1 ) x (t 1 ) (t 2 t 1 ) (t 1 t 0 ) x (t 0 ) (t 2 t 1 ) x (t 0 )
1 I A 0
6
0 1 ( 1)( 2)( 3) 0 11 6
xt b0 b1 t b2 t bk t
2 k
式中x(t ), b0 , , bk 都是n维向量，则
k 1 xt b1 2b2 t kbk t
A b0 b1 t bk t
k


且 x0 b0 ，故
at
(t ) e
At
矩阵指数函数 状态转移矩阵
将齐次状态方程的解表达为统一形式：
xt (t t0 ) x(t0 )
上式的物理意义是：自由运动的解仅是初 始状态的转移，状态转移矩阵包含了系统 自由运动的全部信息，它唯一决定了系统 中各状态变量的自由运动。 当 t0 0 时 xt (t ) x(0)
线性定常系统齐次状态方程的解 状态转移矩阵 直接计算法 e At 线性变换法 拉氏变换法 线性定常系统非齐次状态方程的解 拉氏变换法
2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解 Ax(t ) １.齐次状态方程的解 x 1 幂级数法 Ax(t )的解是t 的向量幂级数 设x