《电路的频率特性与谐振》

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10.3 串联谐振电路
U L (ω) ω LI ω L
U |Z|
ω LU R 2 (ω L 1 ) 2 ωC
QU 1 Q 2 (1 12 ) 2 2 η η
U ω C R 2 (ω L 1 ) 2 ωC QU
U C (ω) I ωC
电路基础
电路的频率特性与谐振
电路的频率特性和谐振
利用网络函数研究RLC 电路的频率特性，了解RLC 谐振电 路及其频率特性。
RLC 串、并谐振电路及其频率特性。
RLC 串、并谐振电路及其频率特性。
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电路的频率特性与谐振
10.1 网络函数
10.1 网络函数
网络函数
正弦稳态电路的网络函数——电路在频率为
所以
0 5.16106 f0 820kHz 2 2 3.14
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10.3 串联谐振电路
（1） L C 不变，改变 ω0 。 ω0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一 个对应的ω0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。 （2）电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。 通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C 使电路达到谐振。
ω的正弦激励下，正弦稳态响应相量与激励相量 之比，记为H( jω)。即
输出相量 H (j ) 输入相量
输入(激励)是电压源或电流源，输出 (响应)是感兴趣的某个电压或电流。
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10.3 串联谐振电路
H( j)一般是ω的复值函数
H (j ) | H (j ) | ( )
η 2 Q 2 (η 2 1) 2
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10.3 串联谐振电路
所示电路的转移电压比为：
U2 H (j ) U1
R R j L C
1

1 L 1 1 j R RC
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10.3 串联谐振电路
R
谐振时电感 (或电容) 中无功功率的绝对值 谐振时电阻消耗的有功功率
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10.3 串联谐振电路
（3） 能量关系：
设
u U m0 sin t
i
1 2 2 2 1 LI 2 cos2 t wC 1 CuC CU cm 0 cos t 2 2 m0 2
2 2 w L 1 Li 2 1 LIm 0 sin t 2 2
从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解： 维持一定量的振荡所消耗的能量愈 小，则振荡电路的“品质”愈好。
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10.3 串联谐振电路
例：有RLC串联电路，已知R =9.4Ω，L =30μH ，C =211pF，电源 电压U =0.1mV。求电路发生谐振时的谐振频率f0 ，回路的特性 阻抗 ρ 和品质因数Q及电容上的电压UC0 。
2 2 w 总 1 LI m0 1 CU C2m0 1 CQ 2U m
2
2
2
与 Q2 成正比
品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。
Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在 要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q 值。
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10.3 串联谐振电路
0L LI 02 LI 02 由Q 的定义： Q 0 2π 2 R RI 0 RI 02T0 谐振时电路中电磁场的总储能 2π 谐振时一周期内电路消耗的能量
Q
ω0 L 1 1 L R R ω0 RC R C
无量纲
它是说明谐振电路性能的一个指标， 同样仅由电路的参数决定。
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10.3 串联谐振电路
（1） 电压关系：
ω 0L ω 0LI 0 U L0 UC 0 Q R RI 0 U U
即 UL0 = UC0=QU
10.3 串联谐振电路
10.3 串联谐振电路
谐 振
谐振的定义是：含有L、C的电路中,当端口电 压、电流同相时，则称电路发生了谐振。 谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产 生的一种特殊物理现象，下面内容主要是分析谐 振电路的特点。
以前我们研究的是同频正弦量，现在研究的是同 阻抗下，不同频率的线路特点。
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10.3 串联谐振电路
谐振是正弦电路中可能发生的一种特殊现象。由于回路在 谐振状态下会呈现某些特征，因此在工程中特别是电子技术中 有着广泛的应用，但在电力系统中却常要加以防止。
收音机利用的就是 谐振现象
开关电源中可以利用 谐振原理实现软开关
在电力系统中，当谐振发生时，其电 压幅值高、变化速度快、持续时间长， 轻则影响设备的安全稳定运行；重则 可使开关柜爆炸、炸毁设备，甚至造 成大面积停电等严重事故.
当 ω ω0
1
时，电路发生谐振，|H( j)|=1达到最大
0
1
1 4Q 2
1 2Q
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10.3 串联谐振电路

或
0 Q
f0 f f f Q
UR

I

UC
谐振时的相量图
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10.3 串联谐振电路
(5) 无功功率为零，电源供给的能量全部消耗在电阻上
1 2 Q Q L QC 0, Q L ω0 LI , QC I0 ω0 C
2 0
P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。
即L与C交换能量，与电源间无能量交换。
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2 1 CU 2 LI 2 w总 w L wC 1 LIm 0 Cm 0 0 2 2
10.3 串联谐振电路
电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场和磁 场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，它都无能量传给 电源，也不从电源吸收能量。 电感、电容储能的总值与品质因数的关系： UC0 = QU，则 UCm0 = QUm
1 2 π LC
T0 1 / f0 2 π LC
谐振周期 (reso3 串联谐振电路
例：某个收音机串联谐振电路中，C=150pF，L=250μH，
求该电路发生谐振的频率。
解： 因为
有
0
1 LC
ω0
1
LC
0
1
1501012 250106 5.16106 rad / s
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10.3 串联谐振电路
(4) LC上串联总电压为零，即
UL U C 0


I +
U
R


R
+U R
相当于短路
电源电压全部加在电阻上，U
U 。
_
UL

_ + UL _ + UC_
j L
1 jω C
串联谐振时，电感上的电压和电容上 的电压大小相等，方向相反，相互抵消， 因此串联谐振又称电压谐振。 当0L=1/(0C )>>R时， UL= UC >>U 。
2
U2 H (jω) U1
其振幅为
| H (jω) |
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10.3 串联谐振电路
由此式可见，当=0或=时，|H( j)|=0；
LC 值，说明该电路具有带通滤波特性。为求出通频带的宽度，先计算
与 | H (jω)| 1 2 (即-3dB)对应的频率+和－，可得：
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10.3 串联谐振电路
串联谐振电路
I

R j L
1 jω C
+
U

Z R j ( ωL 1 ) ωC R j (X L X C )
R jX
1 当 ω0L C 时， 0 电路发生谐振。
_
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10.3 串联谐振电路
ω0
f0
1
LC
谐振角频率 (resonant angular frequency) 谐振频率 (resonant frequency)
当C调到50.7pF时电路发生谐振。
答：
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10.3 串联谐振电路
(1) 谐振时 U 与 I 同相 。 (2) 电路阻抗最小，且为纯电阻 即 Z=R，电路中阻抗值|Z|最小。 (3) 当电源电压一定时， 谐振电流最大。 即 I0=U/R (U 固定)


|Z| R
O
0

可以根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。
U2 H (j ) U1
R
1 R j L C

1 L 1 1 j R RC
代入
Q
ω0L 1 R Rω0C
1 ω ω0 1 jQ ω ω 0 1
ω ω0 1 Q2 ω ω 0
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回路的特性阻抗：
10.3 串联谐振电路
频率特性
频率特性是指：谐振回路中电流或电压 的大小和频率的关系。
Z R j (L 1 ) | Z( ω)| ( ω) C
| Z( ω) |
R 2 ( L 1 )2 R 2 X 2 C ωL 1 ωC tg 1 X L X C ( ω) tg 1 R R
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10.3 串联谐振电路
特性阻抗
特性阻抗 (characteristic impedance) 谐振时的感抗或容抗 0L 1 L 0C C 单位：

ρ柔
与谐振频率无关，仅由电路参数决定。
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10.3 串联谐振电路
品质因素
品质因素 (quality factor) Q
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10.3 串联谐振电路
（2） 功率关系：
电源发出功率：无功 有功
Q UI0 sin 0
P UI0 cos RI 0
L
+ _ Q P C
2
电感中的无功与电容中的无功大小相 等，互相补偿，彼此进行能量交换。
0L 0LI 02 QL0 | QC 0 | Q 2 R P P RI 0
解：电路的谐振频率：
f0
1
2 LC

1
6 12
2 3010 21110
Hz 2MHz
L 30 106 377 12 C 211 10 电路的品质因数： Q 377 40 R 9.4
电容电压：
UC0=QU=40×0.1 mV =4 mV
|H( j)|——响应与激励的幅值比； ()——响应与激励的相位差 幅频特性——振幅比|H( j)|随ω的变化特性； 相频特性——相位()随ω的变化特性。
可以用振幅比或相位作纵坐标，画出以频率为横坐标的曲线。 这些曲线分别称为网络函数的幅频特性曲线和相频特性曲线。
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电路的频率特性与谐振
U m0 sin t I m0 sin t 则 R I uC U Cm0 sin( t 90o ) m0 sin( t 90o ) L I m0 cos t 0C C
电场能量 磁场能量
电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等 WLm= WCm 。 总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
U UR I 0 R



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10.3 串联谐振电路
例： 某收音机 C =150pF，L =250mH，R =20

L 1290 Ω C
Q

R
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如信号电压10mV , 电感上电压650mV 这是所需要的。 但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振， 会因过电压而击穿绝缘损坏设备，应尽量避免。
谐振时电感电压UL0(或电容电压UC0 )与电 源电压之比，表明谐振时的电压放大倍数。
UL0和UC0是外施电压Q j 0 L U L 0 j 0 L I R I 0 jQ U 倍，如 0 L=1/(0 C ) >> R ， R 则 Q 很高，L 和 C 上出现 I 1 UC0 j R I 0 jQ U 高电压 ,这一方面可以利用， j0C 0CR 另一方面要加以避免。
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10.3 串联谐振电路
例：RLC串联电路中，已知 L=500μH， R=10Ω， f=1000kHz，C在
12~290pF间可调，求C调到何值时电路发生谐振。
解： 因为
有
C
1
2L
f0
1 2 π LC
1 C 50.7 pF 3 2 6 (2 100010 ) 50010