复变函数

复变函数
一、复数与复变函数
1、w n =Z
W=r 1/n [cos(θ+2ki πn )+isin(a +2ki πn )]
其中k 取1、2、3、、、、、n-1
2、区域是开集，闭区域是闭集，除了全平面既是区域又是闭区域这一个特例外，区域与闭区域是两种不同的点集，闭区域并非区域。

3、单连通域：区域中没有洞和缝
多连通域：区域中有洞或者缝
二、解析函数
1、解析函数：在z 0处可导，且在z 0的领域中可导。

2、解析函数的一个充分必要条件：
函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)处可微，而且满足柯西——黎曼方程。

（C-R 方程）
∂u ∂x =∂v ∂y ∂u ∂y =−∂v ∂x
f(z) =∂u ∂x +i ∂v ∂x =∂v ∂y +i ∂v ∂x =∂u ∂x −i ∂u ∂y =∂v ∂y −i ∂u ∂y
C-R 方程为函数f （z ）可导的必要条件
4、调和函数和共轭调和函数
调和函数：二元实函数φ（x,y ）在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程∂φ
2∂x +∂φ
2∂y =0 共轭调和函数：φ（x,y ）及ρ(x,y)均在区域D 内的调和函数，且满足C-R 方程
函数f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D 内解析的充分必要条件：
在D 内u x,y 是v x,y 的共轭调和函数 5、初等函数
指数函数：e iy =cosy+isiny
e z 是以2ki π为周期的周期函数
对数函数：lnz=ln z +iargz
Lnz= ln z +iArgz= ln z +i(argz+2k π)
Ln z 2≠2Lnz
Ln z n ≠1n Lnz
幂函数：z α=e αlnz α为正整数，函数为单值函数
α=1n n 为正整数 有限值α=z 复数 无限个值
三角函数：cosy=e iy +e −iy 2 siny=
e iy −e −iy 2i 三、复变函数的积分
1、常用的公式
dz (z −z 0)n = 2πi n =1 0 n ≠1
成立条件：a 、封闭区间的积分
b 、z 0在封闭曲线C 的内部
C 、被积函数分子为常数
2、复合闭路定理
3、闭路变形定理
4、柯西——古萨定理
设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分
f z dz =0
5、柯西积分公式
f(z)在简单闭曲线c 所围成的区域D 内解析，z 0为D 内任一点
f(z 0)=12πi f(z)
z −z 0dz 6、高阶导数公式
f(z)在c 围成的D 内解析，f(z)的各阶导数均在D 内解析，z 0为D 内任一点
f z 0（n ）=n ！2πi f(z)(z −z 0)dz
7、计算积分的步骤
a.分析奇点
b.奇点在曲线的内部还是外部
c.应用定理
四、级数
1、常见函数的级数
e x =1+x +x 2+x 3+⋯,−∞<x <∞
sinz= (−1)n ∞n=0z 2n +1 2n+1 ! e z = z n n!∞n=0
cosz= (−1)n ∞n=0z 2n 2n !
ln(1+z)= (−1)
n ∞n=0z n +1n+1
11+z
= (−1)n ∞n=0z n 1
1−z = z n ∞n=0 2、幂级数 只有 z −z 0 的正幂次项
在其收敛域内可以为解析函数 收敛域：所要求的点到函数所有的孤立奇点最短的距离
收敛半径：比值法、根值法
函数在一点解析的充分必要条件:它在这点的领域可以展开为幂级数
3、泰勒级数
设函数f （z ）在区域D 内解析，z 0为D 内的一点，R 为z 0到D 的边界上各点的最短距离，则当 （z −z 0） <R 时，f(z)可展开为幂级数。

f(z)= c n (z −z 0)n ∞n=0 c n =1n!f z 0（n ）
4、洛朗级数
f(z)在环域R 1< （z −z 0） <R 2内处处解析，f(z)一定能在此圆环域中展开为
f(z)= c n (z −z 0)n ∞n=0 c n =12πi f(z)(z −z 0)n +1dz
五、留数
1、奇点 可去奇点：展开为洛朗级数中不含z −z 0的负幂次项极点：展开为洛朗级数中含有有限多个z −z 0的负幂次项本性极点展开为洛朗级数中含无穷多个z −z 0的负幂次项
可去奇点的判定：函数在所求点的极限为一个常数
2、极点阶数的判定方法
z 0是f(z)的m 阶极点的充要条件：f(z)=1 z −z 0 φ(z), φ(z)在z 0处解析且φ(z 0)≠0
3、极点与零点的关系
f （）
4、留数定理
留数是函数展开为洛朗级数中负一次项的系数
用留数解题的步骤：
a.判断奇点在曲线的内部还是外部
b.留数定理
c.留数在积分中的应用
六、傅里叶级数
f x =a 0+ a n cos
nπx L +b n sin nπx L
∞
n =1 傅里叶变换与反变换
常见函数的傅里叶变换
七、拉普拉斯变换
f(t)的拉氏变换就是f(t)u(t)e −βt 的傅氏变换。

u(t)使函数f(t)在t<0的部分充零，其次对函数f(t)在t>0的部分乘上一个衰减的指数函数e −βt 以降低其增长的速度，使函数f(t)u(t)e −βt 满足傅氏积分条件。

常见函数的拉氏变换
拉氏反变换：应用留数定理
一个函数的拉式反变换就等于这个函数乘以e st ，在上半平面内的留数和。