专题检测(二十三) 坐标系与参数方程

专题检测（二十三） 坐标系与参数方程

大题专攻强化练

1．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣

⎡⎦⎤0，π

2.

(1)求半圆C 的参数方程；

(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标．

解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，

则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，

y ＝2sin t

(t 为参数，0≤t ≤π)．

(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝3

3.

由于切点必在两个圆心的连线上，

故切点对应的参数t 满足tan t ＝

3

3，t ＝π6

， 所以切点的直角坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫

2＋2cos π6，2sin π6，

即(2＋3，1)．

2．(2019·全国卷Ⅲ) 如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π

4，

C ⎝

⎛⎭⎫2，

3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，

⎝

⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵

.

(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；

(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵

所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，

ρ＝－2cos θ.

所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫

0≤θ ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ

⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4≤θ ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π4≤θ ≤π.

(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知

若0≤θ ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6

；

若π4≤θ ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π

3； 若3π4≤θ ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6

. 综上，P 的极坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.

3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为

⎩⎨

⎧x ＝3＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α

(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π

3(ρ∈R )

与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .

(1)若

π3＜β＜2π

3

，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |； (2)当β＝5π

6

时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值．

解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪

⎪⎪

4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3，

∵π3＜β＜2π

3

， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

β－π3＝4sin β＝|OA |.

(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2，π6，直线θ＝β－π3与

曲线E 的交点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

4，π2，

从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π

3

.

4．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝

⎛⎭⎫ρ3，φ－π

6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上．

(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；

(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－32t ，

y ＝12t

(t 为参数)，求四边形OBAC 的面

积．

解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

φ－π6，

则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

φ－π6＝2 3 cos φ＝3ρ1.

(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，

∴在平面直角坐标中，B ⎝⎛⎭⎫12，3

2，C (2，0)，

则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π

6，

∴ρ1＝ 3.

∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝1

2ρ1ρ2 ·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334

.

5．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标