2012-2013中考数学试卷分类总汇编规律探索型问题

中考数学试卷分类汇编
规律探索型问题
一 选择题
1. （2013浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）
A.28
B.56
C.60
D. 124
【答案】C 3. （2013广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的
边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．
【答案】)2( n n
4. （2013内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）
【答案】
(1)4n n ++或2
4n n ++ 5. （2013湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1
② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1
③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1
④
……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；
⑵答案不唯一.如()()2
211n n n +-+=-； ⑶()()221n n n +-+ ()
22221n n n n =+-++ 22221n n n n =+---
1=-.
6．（2013广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；
第1个图形第 2 个图形 第3个图形
第 4 个图形
第 18题图
（3）求第n行各数之和．
【解】（1）64，8，15；
（2）2
n-+，2n，21
(1)1
n-；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于2
--+=32
(21)(1)
n n n
-+-.
2331
n n n
二填空题
1. （2013四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

【答案】15
2.（2013广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A n F n B n D n C n E n F n的面积为 .
【答案】
14n
3. （2013湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：
1111111111111111,,,,122342125633078456
............
111+_______.2011201220112012
+-=+-=+-=+-=-=⨯则 【答案】
11006
4. （2013广东湛江20,4分）已知：
23233556326,54360,5432120,6543360A A A A =⨯==⨯⨯==⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=, L ,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A = （直接写出计算结果），
并比较59A 310A （填“>”或“<”或“=”）
【答案】>
三 解答题
1. （2013山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：
211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－4
1；…… 解答下面的问题：
（1）若n 为正整数，请你猜想)
1(1+n n ＝ ； （2）证明你猜想的结论；
（3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋2010
20091⨯ . 【答案】（1）111n n -+························································· 1分 （2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)
1(+n n n ＝1(1)n n n n +-+＝)1(1+n n . ············ 3分 （3）原式＝1－
12＋12－31＋31－41＋…＋20091－2010
1 ＝12009120102010-=. ………………5分 2. （2013湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：
如图（十）所示，在正三角形ABC 中，M 是BC 边（不含端点B ，C ）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是∠ACP 的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN 。

（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB 上截取EA=MC ，连结EM ，得△AEM 。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN ，∠2=180°-∠AMB -∠B ，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2.
又∵CN 、平分∠ACP ，∴∠4=12
∠ACP=60°。

∴∠MCN=∠3+∠4=120°。

………………①
又∵BA=BC ，EA=MC ，∴BA-EA=BC-MC ，即BE=BM 。

∴△BEM 为等边三角形，∴∠6=60°。

∴∠5=10°-∠6=120°。

………………②
由①②得∠MCN=∠5.
在△AEM 和△MCN 中，
∵__________,____________,___________,
∴△AEM ≌△MCN （ASA ）。

∴AM=MN.
(2)若将试题中的“正三角形ABC ”改为“正方形A 1B 1C 1D 1”(如图)，N 1是∠D 1C 1P 1的平分线上一点，则当∠A 1M 1N 1=90°时，结论A 1M 1=M 1N 1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）
（3）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，请你猜想：当∠A n M n N n =______°时，结论A n M n =M n N n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）
【答案】解：（1）∠5=∠MCN ，AE=MC ，∠2=∠1；
（2）结论成立；
（3）02180n n
-⨯。

3. （2013四川成都，23,4分）设12211=112S +
+,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 22
11=1(1)n S n n +++
设...S =
S=_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整
数)． 【答案】1
22++n n n ． 22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++
=21[1](1)
n n ++ ∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34
+⨯+…+1(1)(1)n n ++122++=n n n . 接下去利用拆项法111(1)1
n n n n =-++即可求和． 4. （2013四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n ×n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n 2．但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+(n —1)×n=
13
n(n+1)(n —1)时，我们可以这样做： (1)观察并猜想：
12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2)
12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3
=1+0×1+2+1×2+3+2×3
=(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)
12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+
=(1+2+3+4)+( )
……
(2)归纳结论：
12+22+32+…+n 2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+[1+(n —1)]n
=1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n 一1)×n
=( ) +[ ]
= +
=1
×
6
(3)实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是．
【答案】（1+3）×4
4+3×4
0×1+1×2+2×3+3×4
1+2+3+…+n
0×1+1×2+2×3++…+(n-1)×n
1
n n
(1)
2
1
n(n+1)(n—1)
3
n(n+1)(2n+1)
5. （2013广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.
（1）表中第8行的最后一个数是，它是自然数的平方，第8行共有个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是，最后一个数是，第n 行共有个数；
（3）求第n行各数之和．
【解】（1）64，8，15；
（2）2
(1)1n -+，2n ，21n -； （3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；
类似的，第n 行各数之和等于2
(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-. 6. （2013四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。

如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了()n
a b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。

例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中的系数;第四行的四个数
1，3，3，1，恰好对应着
()3322233a b a a b ab b +=+++展开式中的系数等等。

（1）根据上面的规律，写出()5
a b +的展开式。

（2）利用上面的规律计算：5432252102102521-⨯+⨯-⨯+⨯-
【答案】解：⑴()554322345
510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ⑵原式=()()()()()234554322521102110215211+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+- =5
(21)-
=1
注：不用以上规律计算不给分.
7. （2013四川凉山州，20，7分）如图，E F 、是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE AF =，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。

B
C 20题图 1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
…………………………（a +b ）1 …………………………（a +b ）2 …………………………（a +b ）3 …………………
【答案】猜想：BE DF 。

证明： ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CB AD =，CB ∥AD
∴BCE DAF ∠=
在BCE △和DAF △
CB AD BCE DAF CE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BCE △≌DAF △
∴BE DF =，BEC DFA ∠=∠
∴BE ∥DF
即 BE
DF 。

2012年全国各地中考数学试卷分类汇编
规律探索型问题
12．（2012山东省滨州，12，3分）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（ ）
A ．52012﹣1
B ．52013﹣1
C ．
D ．
【解析】设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013， 因此，5S ﹣S=52013﹣1， S=
．
【答案】选C ．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力．两式同时乘以底数，再相减可得ｓ的值．
（2012广东肇庆，15，3）观察下列一组数：
32，54，76，98，11
10
，…… ，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 ▲ ．
【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差1，分子为连续偶数，分母为连续奇数． 【答案】
1
22 k k
【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小．
18. ( 2012年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…根据你发现的规律，第2012个数是___________
【解析】观察知: 下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第2012个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012. 【答案】-2012
【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.
20.（2012贵州省毕节市，20，5分）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有个小正方形。

解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第n个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把n=10代入进行计算即可得解．
答案：解：第1个图案中共有1个小正方形，第2个图案中共有1+3=4个小正方形，第3个图案中共有1+3+5=9个小正方形，…，第n个图案中共有1+3+5+…+（2n-1）
=
2)1
2
1(-
+n
n
=n2个小正方形，所以，第10个图案中共有102=100个小正方形．故答案为：100．
点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第n个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键．
18．(2012贵州六盘水，18，4分)图7是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()n
a b
+（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如222
()2
a b a ab b
+=++展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再入，33223
()33
a b a a b ab b
+=+++展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出4
()
a b
+的展开式.4
()
a b
+=▲ .
分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字
母的排列规律即得到答案．
解答：解：由题意，4432234
()464
a b a a b a b ab b
+=++++，
故填432234
464
a a
b a b ab b
++++．
点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而
得到答案．
17.（2012山东莱芜，17，4分）将正方形ABCD的各边按如图所示延长，从射线AB
开始，分别在各射线上标记点
3
2
1
,
,A
A
A….,按此规律，则点A2012在射线上.
【解析】
射线名称点点点点点点点点点
根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，
2012=16×125+12，所以点A2012所在的射线和点
12
A所在的直线一样。

因为点
12
A所在的射线是射线AB，所以点点A2012在射线AB上.
【答案】AB
【点评】本题是一个规律探索题，可以列出点的排列规律从中得到规律，在变化的点中找到其排列直线的不变的规律，此类问题的排列通常是具有周期性，按照周期循环，本题难度适中.
16、（2012，黔东南州，16）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，……，按此规律，那么第（n）个图有个相同的小正方形。

（1）（2）（3）（4）解析：因为
()()()()1
+
=
⨯
=
⨯
2+
⨯
=
=
+
⨯
=
⨯
=，+
=
⨯
=
⨯
1
⨯
,1
3
3
4
20
4
4
4 2
3
5
6,1
1
1
12
2
,1
3
2
2
n+2个小正方形 .
故第（n）个图有n
n+2或n（n+1）
答案：n
点评：本题是探索规律题，解题的关键是从已知图形中找规律，难度中等. 15．（2012，湖北孝感，15，3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：
年份1896 1900 1904 (2012)
届数 1 2 3 …n
表中n等于__________．
【解析】有表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)÷4+1=30
【答案】30
【点评】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可．
16. （2012·湖北省恩施市，题号16 分值4）观察下表：
根据表中数的排列规律，B+D=_________.
【解析】B 所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以A=3，B=8；D 所在行的规律是关于数字20左右对称，即D=15，所以B+D=23. 【答案】23
【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力，会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题．找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．
此类问题“横看成岭侧成峰”，随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最总结果应“殊途同归”。

（2012河北省17,3分）17、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎪⎭
⎫ ⎝⎛+111，第
2位同学报⎪⎭
⎫
⎝⎛+121，…这样得到的20个数的积为_________________. 【解析】化简各位同学的报数，可得第1一位同学报2，第2位同学报23，第3位同学报34
，…第20个同学报2021
，根据观察得到的规律，便可求出它们的乘机。

【答案】21
【点评】本题是一道找规律的题型，在教学中，要让学生了解解题的过程，知道来龙去脉，才能增加自己的能力。

难度中等。

20. （2012珠海，20，9分）观察下列等式：
12×231=132×21， 13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×＝×25；
②×396＝693× .
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤b
a ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明.
【解析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的式子.
【答案】（1）①275,572; ②63,36;
（2）(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)
证明:∵左边＝(10a+b)[100b+10(a+b)+a]＝11(10a+b)(10b+a)
右边＝[100a+10(a+b)+b](10b+a)＝11(10a+b)(10b+a)
∴左边＝右边,原等式成立.
【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.
14（2012云南省，14 ，3分）分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第18个图形是（填图形名称）
【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律，三个一组，而且五角星都在最后，前边两个相邻组之间它两的位置互换，三个一组，恰好18个是6组，第18个刚好是第6组最后一个，五角星。

【答案】五角星
【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度，要素简单，但要很快找出规律，也要细心揣摩。

此题不难。

16．（2012山西，16，3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．
【解析】解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，那么第n 个就有阴影小三角形2+4（n ﹣1）=4n ﹣2个，
故答案为：4n ﹣2（或2+4（n ﹣1）） 【答案】4n ﹣2（或2+4（n ﹣1））
【点评】本题主要考查了图形有规律的变化，再由图形的规律变化挖掘出规律，解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数，再由此猜想发现规律，从而写出最终结果.难度中等．
17．（2012山东东营，17，4分）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，A ，
3A ，…和1B ，2B ，3B ，…分别在直线y kx b =+
y
y=kx+b
A 3
A 2
A 1
和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，… 都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），
A 2（2
3
,27），那么点n A 的纵坐标是_ _____．
【解析】把A 1（1，1），A 2
（23,27）分别代入y kx b =+，可求得k=15,b=45,,所以14
55
y x =+，与x 轴交点代坐标为（-4，0），设A 3的纵坐标为m,则
141423m m +=
+++，解得m=2
93()42
=,同理可得A 4的纵坐标为33()2
，……，n A 的纵坐标是123-⎪⎭⎫
⎝⎛n 。

【答案】1
23-⎪
⎭
⎫
⎝⎛n
【点评】抓住坐标间的变化规律是解题的关键，解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。

21．(2012广东汕头，21，7分)观察下列等式： 第1个等式：a 1==×（1﹣）； 第2个等式：a 2==×（﹣）； 第3个等式：a 3==×（﹣）； 第4个等式：a 4==×（﹣）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a 5=
=
；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n= =
（n为正整数）；
（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．
分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2
倍加1．
（3）运用变化规律计算．
解答：解：根据观察知答案分别为：
（1）；；
（2）；；
（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的
=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×
=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=×
=．
点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．
专项二规律探索型问题
（2013山东省潍坊市，题号17，分值3）17、右图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：
()127531-+⋅⋅⋅++++n = .()
是正整数表示，用n n
考点：数学归纳法，规律探索题
解答：当2=n 时：()2
24122131==-⨯+=+
当3=n 时：()2
3913231531==-⨯++=++
当4=n 时：()2
4161425317531==-⨯+++=+++
猜想：()127531-+⋅⋅⋅++++n =2
n
点评：在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。

16．（湖南株洲市3,16）一组数据为：2
3
4
,2,4,8,x x x x --L 观察其规律，推断第n 个数据应为 .
【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数，第二个数据的系数是负数，字母的次数从1，2，3依次排列，所以1
1(1)2n n n x +--
【答案】1
1(1)
2n n n x +--
【点评】根据题目的条件列出算式，找出算式中的规律得出乘积。

10.（2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，·成为三角形数，
类似地，图2中的4，8，12，16，·称为正方形数.
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A.2010
B.2012
C.2014
D.2016
【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )
解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72. 答案：D
点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答
案。

14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.
【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41. 【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.
16.（2012广州市，16，3分）如图5，在标有刻度的直线L上，从点A开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍，第n个半圆的面积为。

（结果保留π）
【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。

【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=1
2π（1
2
×8）2：1
2
π（1
2
×8）2=4.
第n个半圆的面积为1
2π（1
2
×2n－1）2=π22n－5。

【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。

专项二规律探索型问题
8.（2012江苏盐城，8，3分）已知整数a1,，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，
a2=-
11
a+,a3=-
22
a+,a4=-
33
a+,…依次类推，则a2012的值为
A．-1005 B．-1006 C．-1007 D．-2012
【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出a1,，a2，a3，a4…的值，再寻找规律
【答案】由于a1=0，a2=-
11
a+=-1，a3=-
22
a+=-1，a4=-
33
a+=-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6, ……,所以a2012=-2012
2
=-1006,故选B．
【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力．探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想．
10. （2012浙江省绍兴，10，3分）如图，直角三角形纸片AB C中，A B=3，A C=4D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的
中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；设P n -1D n -2的中点为D n -1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点D n -1重合，折痕与AD 交于点P n （n ＞2），则AP 6的长为（ ）
第10题图
A. 125235⨯
B. 95253⨯
C. 146235⨯
D. 11
72
53⨯ 【解析】解析：在Rt △ABC 中，AC=4，AB=3，所以BC=5，又D 是BC 的中点，所以AD=
5
2
，因为点A 、D 是一组对称点，所以AP 1=52×12，因为是D 1是D P 1的中点，所以A D 1=
5
2
×12×32，即AP 2=52×12×32×12，同理AP 3=52×12×（32×12）2，…AP n =52×12×（32
×12）n-1，所以AP 6=52×12×（32×12
）5=5
12532⨯，故应选A ．
【答案】A
【点评】找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律．
10. （2012浙江丽水3分，10题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，·成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，·称为正方形数.
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）
A.2010
B.2012
C.2014
D.2016
【解析】：图1中棋子颗数都是3的倍数，图2中棋子颗数都是4的倍数，要使棋子颗数既是3的倍数又是4的倍数，也即棋子颗数是12的倍数，通过计算可知，只有2016=168×4能被4整除.
【答案】：D
【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是12的倍数是解题的突破口.
14．（2012江苏泰州市，14,3分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3，，9x5，…．
【解析】看系数是1,3,5,7，…，第四项应是7，看指数第第四项是x4第四项是7x4
【答案】7x4
【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律一次写下去
10．（2012贵州铜仁，10，4分如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，……则第⑩个图形中平行四边形的个数是（）
10题图
A.54
B.110
C.19
D.109
【解析】仔细观察图形可得，图形①中1=1×1+0，图形②中5=2×2+1，图形③中 11=3×3+2，……，依次类推，∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109 【解答】D.
【点评】本题考查了图形的变化规律，较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是：通过观察、分析若干特殊情形，归纳总结出一般性结论，然后验证其结论的正确性.
15．（2012湖北随州，15,4分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线。

若平面内的不同的n 个点最多可确定15条直线，则n 的值为______________。

6 解析：设有n 个点时，(1)
152
n n -=，解得n=6或n=-5（舍去）
． 答案：6
点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n 个点时，可确定(1)
2
n n -条直线，再代入15可求出解．
16．(2012山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为1的方格纸上，△123A A A ，△345A A A ，△567A A A ，……，都是斜边在x 轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△123A A A 的顶点坐标分别为1A (2，0)，2A (1，-1)， 3A (0，0)，则依图中所示规律，2012A 的坐标为 ． 16．【解析】画出图像可找到规律，下标为4n(n 为非负整数)的A 点横坐标为2，纵坐标为2n,则2012A 的坐标为（2，1006）． 【答案】（2，1006）
A 8A 7
A 6
A 4A 2A 1
A 5
A 3
y
O
【点评】这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律． 24．（2012四川内江，24，6分）设a i ≠0（i ＝1，2，……2012），且满足
11
a a ＋
22
a a ＋…＋
20122012
a a ＝1968，则直线y ＝a i x ＋i （i ＝1，2，…2012）的图象经过第一、二、四象限
的概率为 . 【解析】因为
11
a a 可能等于1，也可能等于－1，类似的
22
a a ，…，
20122012
a a 都具有这种现
象，而
11
a a ＋
22
a a ＋…＋
20122012
a a ＝1968，从
11
a a 到
20122012
a a 又有2012个比值，2012－1968＝
44，所以
11
a a ，
22
a a ，…，
20122012
a a 中一定有22个1和22个－1之间相加产生22个0，那么
11
a a ，
22
a a ，…，
20122012
a a 这些比值中会有22个－1，所以a i （i ＝1，2，…2012）中会有22
个负数，则直线y ＝a i x ＋i （i ＝1，2，…2012）的图象经过第一、二、四象限的概率为22
2012
＝
11
1006． 【答案】
11
1006
【点评】直线y ＝a i x ＋i （i ＝1，2，…2012）经过第一、二、四象限要求a i ＜0，i ＞0，只要判断出a i （i ＝1，2，…2012）中有多少个负数，然后利用简易概率求法公式：P （A ）＝
m
n
，求解即可．另外，解答此题需要良好的逻辑推理能力，对学生的思维能力要求较高，启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯．
9(2012重庆，9，4分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为( )
解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是2，4，6，…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72. 答案：D
点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。

23．（2012四川内江，23，6分）如图12，已知A 1，A 2，A 3，…A n ，…是x 轴上的点，
且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n-1A n …＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…作x 轴的垂线交反比例函数y ＝
1
x
(x ＞0)的图象于点B 1，B 2，B 3，…B n ，…，过点B 2作B 2P 1⊥A 1B 1于点P 1，过点B 3作B 3P 2⊥A 2B 2于点P 2……，记△B 1P 1B 2的面积为S 1，△B 2P 2B 3的面积为S 2……，△B n P n B n+1的面积为S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝ .
【解析】由OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n-1A n …＝1，可得P 1B 2＝P 2B 3＝P 3B 4＝…＝P n B n+1
＝1，以及B 1（1，1），B 2（2，12），B 3（3，1
3），…，B n （n ，1n ），B n+1（n ＋1，11n +），
所以S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝
12B 1P 1·P 1B 2＋12B 2P 2·P 2B 3＋…12B n P n ·P n B n+1＝1
2
( B 1P 1＋B 2P 2＋…B n P n )＝12( 1－12＋12－1
3＋…＋1n －11n +)＝12( 1－11n +)＝2(1)n n +．
y
x O
A 1
A 2
A 3
B 1 B 2 B 3 P 1
P 2 图12
【答案】
2(1)
n
n
【点评】各地中考经常将反比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查，本题属于这类问题中的较难问题．解答时需注意：1.耐心、认真阅读题意，抓住各三角形的水平直角边都等于1这一特征，从而将面积和转化为竖直直角边和的一半；2.能用解析思想表达出B 1，B 2，B 3，…，B n 的坐标，进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长；3.具有一定的数式规律探究能力．
14.（2012山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……;若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是_____.
【解析】根据题意，得53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填41. 【答案】41
【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.
16.（2012广州市，16， 3分）如图5，在标有刻度的直线L 上，从点A 开始，以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2为
直径画半圆，记为第2个半圆；以
CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直
径画半圆，记为第4个半圆；……，按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍，第n个半圆的面积为。

（结果保留π）
【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第n个半圆的直径为2n－1。

【答案】第4个半圆的面积:第3个半圆面积=1
2π（1
2
×8）2：1
2
π（1
2
×8）2=4.
第n个半圆的面积为1
2π（1
2
×2n－1）2=π22n－5。

【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第n个半圆的关系求出直径的规律。

20. ( 2012年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
①第5个图形有多少颗黑色棋子？
②第几个图形有2013颗棋子？说明理由。

【解析】（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．：（1）第一个图需棋子6，第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第1个第2个第3个第4个。