山东省枣庄市滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3月单元过关考试(月考)数学试卷

山东省枣庄市滕州市第一中学2023-2024学年高一下学期3
月单元过关考试（月考）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知()5,4a =r ，()3,2b =r ，则与23a b r r -平行的单位向量为
A ．⎝⎭
B ．⎝⎭或⎛ ⎝⎭
C ．⎝⎭或⎛ ⎝⎭
D ．⎛ ⎝⎭
2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ，则BD =u u u r
（ ）
A ．()2,4--
B ．()3,5--
C ．()3,5
D ．()2,4
3．若1z ，2z 为复数，则“12z z +是实数”是“1z ，2z 互为共轭复数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图所示，正方形''''O A B C 的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A ．16cm
B ．
C ．8cm
D ．4+
5．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若)
c o s c o s c A a C -=，则c o s A =（ ）
A ．1
2
B C D 6．正方形ABCD 的边长为2，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面内一点，且满足()21OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r ，则PM u u u u r ·PN
uuu
r 的最小值为（ ）
A ．14-
B ．94
-
C ．2-
D ．74
-
7．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同
的两点M N ，，若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r
，则m n +=（ ）
A ．1
B ．32
C ．2
D ．3
8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A B 上一动点，则1AP D P +的最小值为（ ）
A ．2
B
C ．2D
二、多选题
9．设1z ，2z ，3z 是复数，则下列说法中正确的是（ ） A ．若120z z =，则10z =或20z = B ．若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =
C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅
D ．若12=z z ，则22
12z z =
10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，下列说法正确的是（ ）
A ．若sin :sin :sin 2:3:4A
B
C =，则ABC V 是钝角三角形 B ．若sin sin A B >，则a b >
C ．若0AC AB ⋅>u u u r u u u r
，则ABC V 是锐角三角形
D ．若45A =o ，2a =，b =ABC V 只有一解 11．在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A ．设O A
B
C 、、、是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R =⋅+-⋅∈u u u v u u u v u u u v
，则
点、、A B C 必共线
B ．若向量,a b r r 是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c r
都可以表示为
()c a b R λμμλ=+∈v v v
、，且表示方法是唯一的
C ．已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC λ⎛⎫
⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭
u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r 则ABC ∆为等腰三角形
D ．已知平面向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>u u u r u u u r u u u r |=|，且0O A O B O C ++=u u r u u r u u r r
，
则ABC ∆是等边三角形
三、填空题
12．在ABC ∆中，若5,,tan 24
b B A π
=∠=
=，则=a ；
13．在ABC V
中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =． 14．已知球的两个平行截面的面积分别为19π和36π，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为.
四、解答题
15．已知(1,0),(2,1)a b ==r r
(1)当k 为何值时，ka b -r r
与2a b +r r 共线？
(2)若23,AB a b BC a mb =+=+u u u r r r u u u r r r
，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．
16．已知复数z 为纯虚数，且2
1i
z -+为实数. (1)求复数z ；
(2)设m ∈R ，1z m z =+，若复数21z 在复平面内对应的点位于第三象限，求1
1
z 的取值范围.
17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3
A =． (1)若2c b =，证明：()()sin sin sin sin sin sin A
B A B B
C +-=； (2)若2a =，求ABC V 周长的最大值．
18．经过OAB V
的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP mOA =u u u r u u u r
，()0,0OQ nOB m n =>>u u u r u u u r
.
(1)证明：
11
m n
+为定值； (2)求m ＋n 的最小值.
19．在Rt ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos cos cos A B C
a b c
+=+. (1)求角A ；
(2)已知2c b ≠，a =点P ，Q 是边AC 上的两个动点（P ，Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π
6
θ=
时，设PBQ V 的面积为S ，求S 的最小值： ②记BPQ α∠=，BQP β∠=.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin 2sin 24sin sin k k αβαβ++=成立若存在，求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.。