电磁场与电磁波习题答案10

第十章 电磁辐射及原理
重点和难点
本章重点是电流元、对称天线、天线阵、面天线、互易原理及惠更斯原理。

以电流元为典型，介绍电磁辐射的求解方法及其远区场特性。

天线方向性是天线的重要特性，应介绍如何图形描述和定量计算。

对称天线的分析以半波天线为主。

天线阵的分析应着重指出天线阵的方向性不仅取决于单元天线的方向性，同时与天线阵的结构有关。

对偶原理及镜像原理容易理解，但应指出磁荷与磁流的概念是假想的。

互易原理在电磁理论中获得广泛应用，应予详细介绍和推演，及其应用举例。

惠更斯原理的定量表示可以从简，着重讲解其物理概念，并与几何光学方法对比。

基于惠更斯原理分析面天线的辐射特性，以均匀同相口径场为例，说明面天线的增益与口径的波长尺寸成正比。

重要公式
电流元：
场强公式：
1j
2cos j
j 33223kr r e r k r
k l I k E -⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πωεθ
kr e r k r
k kr l I k E j 332231j 1
4sin j
-⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=πωε
θ
θ
kr
e r k kr l I k H j 2221j 4sin -⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=πθφ
0===r H H E θφ
近区场：
2
4sin r l I H πθ
φ=
； 3 2cos j
r l I E r πωεθ-=； 3
4sin j r l I E πωεθ
θ
-= 远区场：
kr
e r
l ZI E j 2sin j
-=λθθ； kr
e r
l I H j 2sin j
-=λθφ 辐射功率：
2
2
2
80⎪⎭⎫
⎝⎛=λπl I P r
辐射电阻： 2
280⎪⎭
⎫
⎝⎛=λπl R r
天线参数：
方向性系数： 0
||0E E r
r m P P D ==
天线的效率：
A
r
P P =
η 天线的增益： |
|||00E E A
A m P P G ==
天线的方向性系数、效率和增益的关系： D G η=
对称天线:
电流分布：
|)|(sin z L k I I m -=
远区场：
kr
m e kL kL r I E j sin cos )cos cos(60j
--=θ
θθ
方向性因子：θ
θθsin cos )cos cos()(
kL
kL f -=
半波天线的方向性因子：θ
θπθsin cos 2cos )(⎪⎭
⎫ ⎝⎛=f
天线阵:
阵因子： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
)cos (21sin )cos (2sin ),(αθαθφθkd kd n f n 方向性因子： ),(),(),(1φθφθφθn f f f =
电流环:
场强公式：
kr e r k kr SIk E j 222
sin 11j 4j
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=θπ
ωμφ kr
r e r k r k ISk H j 33223 cos 11j 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θπ
kr
e r k r k kr
SIk H j 33223
sin 11j 14-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=
θπ
θ
0===φθH E E r
远区场：
kr e r
SI Z E j 2
sin -=
θλπφ
kr
e r
SI H j 2
sin --
=θλπθ 方向性因子： θφθsin ),(=f
辐射功率：
24
6320I λπ⎪⎭⎫
⎝⎛=a P r
辐射电阻：
4
6
320⎪⎭
⎫
⎝⎛=λπa R r
含有电流与电荷、磁荷与磁流的麦克斯韦方程：
()()()r D r J r H ωj +=⨯∇ ()()()r B r J r E m ωj --=⨯∇ ()()r r B m ρ=⋅∇
()()r r D ρ=⋅∇
磁荷守恒原理：
()()r r J m m ωρj -=⋅∇
对偶原理：
⎪⎩⎪⎨⎧→-→m
m H
E E
H e e
⎩⎨
⎧→→ε
μμ
ε
⎪⎩⎪⎨⎧→→m
m
ρ
ρJ
J 修正边界条件：
()m s n J E E e -=-⨯12
()m s n ρ=-⋅12B B e
理想导磁体的边界条件：
⎩⎨⎧-=⨯=⨯m
s
n n J E e H e 0
⎩⎨
⎧=⋅=⋅0
D e B e s n m
n ρ 互易原理：
微分形式
)]()[(a b b a H E H E ⨯-⨯⋅∇
m
a b m b a b a a b J H J H J E J E ⋅-⋅+⋅-⋅=
积分形式：
S H E H E d )]()[( ⋅⨯-⨯⎰
a a
b S
a
⎰⋅-⋅+⋅-⋅=V m a b m b a b a a b V d )(J H J H J E J E
罗仑兹互易定理：
0d )]()[( =⋅⨯-⨯⎰S H E H E
a b b a
S
卡森互易定理：
V V m b a b a V
V m a b a b b
a
d ][d ][ J H J E J H J E ⋅-⋅=⋅-⋅⎰⎰
标量绕射公式（基尔霍夫公式）：
⎰'⎥⎦⎤⎢⎣⎡
∂'∂'-∂'∂'=S S S P S n G n G d )(),(),()( )(00r E r r r r r E r E ⎰'⎥⎦⎤⎢⎣⎡
∂'∂'-∂'∂'=S S S P S n G n G d )(),(),()( )(00r H r r r r r H r H 惠更斯元的远区场： kr S P e r
S
j 0)cos 1(2d j
-+-=θλψψ 平面口径的远区场：
S r
e S kr
S P ''+-=⎰-d )cos 1(2j j 0θψλψ
均匀同相矩形口径的远区场：
j 00sin sin )sin sin sin(cos sin )cos sin sin()cos 1(2j
kr S P e kb kb ka ka r abE E -+-=φ
θφθφθφθθλ 均匀同相矩形口径场的方向性因子：
φ
θφθφθφθθφθsin sin )
sin sin sin(cos sin )cos sin sin()
cos 1(),(kb kb ka ka f +=
均匀同相口径场的方向性系数： 2
4λ
πA
D =
面天线的增益： 1 ,42
<=νλπνA
G
题 解
10-1 试证式（10-1-8）。

证明 电流元向外的辐射功率为
()⎰⋅=s c r s S d Re P ⎰⋅=s r r r r
l ZI θφθλθd d sin 4sin 2
22222e e θθλφπ
π
d sin 4d 30
22220⎰
⎰=l ZI 2
232⎪⎭
⎫ ⎝⎛=λπl I Z
已知真空的波阻抗π1200=Z ，则辐射功率为
2
2280⎪⎭
⎫
⎝⎛=λπP l I r
10-2 直接根据电流元的电流及电荷)j (q I ω=计算电流元的电场强度及磁场强度。

解 建立球面坐标，将电流元置于坐标原点，且沿z 轴放置，即电流元为Il e z ，如习题图10-2所示。

已知电场强度与标 量位及矢量位的关系为
Φω∇--=A E j
式中
kr
z
e r
Il j 04-=πμe A -
-+--+-
=r qe r qe kr kr 0j 0j 44πεπεΦ 由于l << r ，距离r +和r -可取下列近似值:
θcos 2
l
r r -≈+;
θcos 2
l
r r +≈-
那么
⎥
⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=--θθπεΦθθcos 21cos 214cos 2j cos 2j 0j r l e
r l e r qe l k l k kr
再考虑到l << r 及l << λ，利用泰勒展开式： ()() +-''+-'+=00000)(!
21
)()()(x x x f x x x f x f x f
将上式中各项在零点展开，且仅取前两项，即
θθcos 2
j 1cos 2
j l
k e
l
k +≈；
θθcos 2
j 1cos 2
j -l
k
e
l
k -≈ θθcos 21cos 211
r
l
r
l
+
≈-
； θθcos 21cos 211r
l
r
l
-
≈+ 那么，得
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=-θθθθπεΦcos 21cos 2j 1cos 21cos 2j 140j r l l k r l l k r qe kr 习题图10-2解
y
P
整理后，得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=
-r l kl r
qe kr j 4cos 0j πεθΦ 则在球坐标系中，标量位的梯度为
θπεθ
πεθΦe e ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∇----r l kl r qe r le r e kl l k r e q kr r kr kr kr j 4sin 22j 4cos 2
0j 3j 2j 2j 0 矢量位各个分量为
θπμcos 4j 0kr r e r Il A -=；θπμθsin 4j 0kr e r
Il
A --=；0=ϕA
将上述结果代入前式，最后求得电场强度为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---+-=------r l kl r qe r le r e kl l k r e q e r Il
e r Il kr kr kr kr r kr kr r j 4sin 22j 4cos sin 4j cos 4j 2
0j 3j 2j 2j 0j 0j 0πεθ
πεθθπμωθπμωθ
θe e e e E
再将电荷ω
j I q =代入，得电场强度的各个分量为
kr r e r k r k Il k E j 332203112cos j
-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=ω
πεθ kr
e r k r k kr Il k E j 3322031114sin j -⎪⎭
⎫ ⎝⎛++--=ωπεθθ
利用麦克斯韦方程，H E ωμj -=⨯∇，即可求出对应的磁场分量为
1j 4sin j 222==⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-r kr
H H e
r k kr Il k H θφπθ 由上可见，直接根据电流和电荷也可求出电流元的电场强度和磁场强度。

但是，显然与教材中先根据电流利用矢量位计算磁场强度的方法比较，该习题采用的方法较繁。

10-3 计算电流元的方向性系数及辐射电阻。

解 已知电流元的归一化方向性因子为()θφθsin ,=F ，则
其方向系数为
()⎰
⎰=
π
π
θ
θφθφπ
20
2d sin ,d 4F D 5.1d sin 2
3
==
⎰
π
θ
θ
由题10-1知，电流元的辐射功率为2
2280⎪⎭⎫
⎝⎛=P λπl I r ，
那么，电流元的辐射电阻为
2I R r
r P =2
280⎪⎭
⎫
⎝⎛=λπl
10-4 已知电流元l I I y e l =，试求其远区电场强度及磁场强度。

解 由于电流元为Il I y e l =，则产生的矢量磁位为
kr
y
y y r
Il A j e 4-==πμe e A 相应的各球面坐标分量为
φφθφθφθcos ,
sin cos ,
sin sin y y y r A A A A A A ===
则磁场强度为
()()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂
=
⨯∇=
θμφθμφθθθ
μμ
θφφθθφ
r r r
A rA r
r rA r A r A A r e e e A H sin 1sin sin 1
()φθφπφθsin cos cos j 1e 4j e e -⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
-k r r Il kr 对于远区场仅需考虑与r 一次方成反比的分量，则远区磁场强度为
()kr r
Il
j e sin cos cos j
--=φθφλφθe e H 又知远区场是沿正r e 方向传播的TEM 波，则远区电场强度为
r Z e H E ⨯=()kr r
ZIl
j e sin cos cos j
-+-=φθφλθφe e 10-5 试证对于远区，矢量位A 及F 可以表示为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==--L
r F N r A kr kr r r
j j e 4)(e 4)(πεπμ 式中N 及L 称为辐射矢量，它们与电流密度J 及磁流密度J m 的关系分别为
⎪⎩
⎪
⎨⎧''='
'=''⎰⎰V V r k r k d e )( d e )( cos j cos j θ
θr J L r J N V m V 解 已知电流J (r )产生的矢量磁位为
()()V v k ''-'=⎰'
--d e 4j r
r r J r A r
r πμ 对于远区，因r r '>>，可以近似认为r r '-与r 平行，那么
θcos r r '-≈'-r r ，
r
1
1≈'-r r 其中θ为r 与z 轴之间的夹角，则
()()⎰''='-v r k kr V r
d e 4e cos j j θ
πμr J r A 令 ()⎰''='v
r k V d e cos j θr J N
得
()N r A r
kr
πμ4e j -=
已知磁流J m
(r )产生的矢量电位为
()()()⎰'''=v
m V G d ,0r r r J r F ε
同理，对于远区矢量电位可以近似表示为
()()⎰''=
'-v r k m
kr V r
d e e 4cos j j θπεr J r F 令
()⎰''='v
r k m V d e cos j θr J L
得
()L r F kr
r
j e 4-=
πε
10-6 试证式（10-3-4）。

证明 若周围媒质为真空，波阻抗π1200=Z ，则对称天线的远区电场强度为
⎰-'-'=L
L z k kr z r
I E d e e 2sin 120j
cos j j θ
θλθπ
式中()[]z L k I I m '-=sin ，则
()[]⎰-'-''-=L
L z k kr m z r
z L k I E d e e 2sin sin 120j
cos j j θθλθ
π
()[]()[]z z l k z z l k r
I r k L z k L kr m ''++''-='-'-⎰⎰d e sin d e sin e sin 60j cos j 0cos j 0j θ
θλθπ()[]()
z z l k r
I z k z k L kr m '+'-='-'-⎰d e e sin e sin 60j
cos j cos j 0j θθλθπ ()[]()z z k z l k r
I L
kr m '''-=⎰-d cos cos sin 2e sin 60j 0j θλθπ 令()()z z k z l k I L
'''-=⎰d cos cos sin 0
θ，由分部积分法可得
()()θ
θsin cos cos cos k kL kL I -=
则
()()kr
m kL kL r I j e sin cos cos cos 60j
--=θ
θθE
10-7 若长度为2l 的短对称天线的电流分布可以近似地
表示为⎪⎭
⎫
⎝⎛-=l z I z I ||1)(0，λ<<l ，试求远区场强、辐射电
阻及方向性系数。

解 对称天线的远区电场为
⎰-'
-''
=l
l r k z r ZI E d e 2sin j
j λθθ 对于远区，因l r >>'，可以认为
r
r 1
1≈'， θcos z r r '-=' 将()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=l z I z I 10代入，得
⎰-'-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=l l z k kr z r
l z ZI E d e e 2sin 1j cos j j 0θθλθ
()kr
lk kl r ZI j 220e cos cos cos 1sin j
--=θ
θλθ
由于l >>λ，则()()2
cos 2
11cos cos θθkl kl -≈。

已知真空波
阻抗π1200=Z ，则该天线远区电场强度为 kr
r
l I E j 0e sin 60j
-=λθπθ 远区磁场磁场为
==
0Z E H θφkr
r
l I j 0e 2sin j -λθ 可见，这种短对称天线的场强与电流元完全相同。

因此辐射功率，辐射电阻以及方向性系数也一样。

即
2
2
02280λπI l P r =
；
2
2
280λπl R r =
； 5.1=D
10-8 已知对称天线的有效长度定义为
⎰---=l
l k e z e z l k l cos j d |)|(sin sin 2θθ
试求半波天线的有效长度及其最大值。

解 对于半波天线，2
π
=kl ，即 4
λ
=
l ，则其有效长度
()⎰---=l l
k e z z l k l d e sin sin 2cos j θθ
⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-l
k z kz 0cos j d 2sin e sin 2πθθ
θ
θcos j e sin 2k k
-= 则 θsin 2
2k
l e =
令
02=θ
d l d
e ，则0cos =θ，2
π
πθ+
=n ， ,2,1,0±±=n
取1sin max =θ，因此有效长度的最大值为
k
l e 2
2max =
10-9 已知天线远区中的矢量磁位为
kr z
e kr I j 2sin cos 2cos 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=θ
θππμe A
试求该天线的远区场强、方向性因子及方向性系数。

解 已知矢量磁位A 在球坐标系中的分量为 θcos z r A A =， θθsin z A A -=， 0=φA 则磁场强度为
()()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=
⨯∇=
θμφθμφθθθ
μμ
θ
φφθθφr r r A rA r r rA r A r A A r e e e A H sin 1sin sin 1
θθ
θθθππθθθπππθθππφφφ432
j 2j j sin 2sin cos sin cos 2cos 2e sin cos cos 2sin 22e e sin cos 2cos j 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---kr I kr I k kr I kr kr
kr e e e
已知远区场强与距离r 一次方成反比，故可忽略上式中的高次项，即远区磁场强度为
kr
r I j e sin cos 2cos 2j -⎪⎭⎫
⎝⎛=θ
θππφe H
那么真空中的远区电场强度为
r Z e H E ⨯=kr
r I j e sin cos 2cos 60j -⎪⎭⎫
⎝⎛=θ
θπθe
可见，该天线是半波天线，其方向性因子为
()θθπθsin cos 2cos ⎪⎭⎫
⎝⎛=f 其最大值为
8106.0=m f
则方向系数为 ()64.1d sin d 420
02
≈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
⎰
⎰π
πθθθφπ
m f f D
10-10 已知长度为L 的行波天线电流分布
L z I I kz ≤≤=-0 ,e j 0。

利用电流元的远区场公式，试求该行
波天线的远区场，并简绘出2
λ
=
L 时的方向图。

解 根据电流元远区场公式，可以推出行波天线的远区电场强度为 ⎰
-'-'-''=22
j 0d e 2sin j L
L r k z jk z r
e ZI E λθθ
对于远区，r L '<<，则可认为 r
r 1
1≈'， θcos z r r '-≈' 因此
()
⎰--'--'=22
cos 1j j 0d e e 2sin j
L
L z k kr z r
ZI E θθλθ ()kr
kL r ZI j 0e cos 1cos 121sin sin 2j --⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=θ
θθπ
由于2
λ
=
L ，即
2
21π
=kL ，得
kr
r ZI E j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --⎪⎭⎫
⎝⎛=θ
θπθπθ
远区磁场强度为
kr
r I Z E H j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --⎪
⎭⎫
⎝⎛==θ
θπθπθφ
编程绘出其方向图为
10-11 通过远区中矢量磁位A ，再求解上题。

解 行波天线产生的矢量磁位为
z I
L L r k z k z ''
-=⎰
-'
--'-d e e 422
j j 0
r r e A r π
μ
对于远区，因r L <<，可取
r
1
1≈'-r r ， θcos z r '-='-r r 因此远区中的矢量磁位为
()z r I L L
kz kr z d e e 422
cos 1j j 0⎰----=θπμe A kr z kr I j 0e cos 1cos 2cos 2--⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθππμe 球坐标系中矢量磁位A 的各分量为
θcos z r A A =， θθsin z A A -=， 0=φA
那么，远区磁场强度为
()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∂∂-∂∂=⨯∇=θμμθφr A rA r r e A H 1
kr
r I e j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --⎪⎭⎫
⎝⎛=θ
θπθπφ
远区电场强度为
r Z e H E ⨯=kr
r ZI j 0e cos 1cos 2cos sin 2j --⎪⎭⎫
⎝⎛=θ
θπθπθe
10-12 若二元天线阵的间距4
λ
=
d ，分别编程绘出相位
差2 ,4 ,0π
πα=时阵因子的方向图。

解 令二元阵位于坐标原点，天线阵的轴线沿z 轴放置，如习题图10-12所示。

若下单元天线的相位为零，而上单元天线的相位为α，那么阵因子在任一个通过z 轴的平面内方向图如下：
10-13 若二元阵的间距2
λ
=d ，分别编程绘出相位差
2
,0π
α=时阵因子的方向图。

解 令二元阵位于坐标原点，天线阵的轴线沿z 轴放置，如习题图10-12所示。

若下单元天线的相位为零，而上单元天线的相位为α，那么阵因子在任一个通过z 轴的平面内方向图如下：
4
π
α=
α = 0
2
πα=
y
z
φ θ
d o r
习题图10-12
10-14 已知二元阵由两个x e 方向的电流元组成，天线阵的轴线沿Z 轴放置，间距2
λ
=
d 。

若要求︒=60θ，︒=90φ方
向上获得最强辐射，确定两个电流元的电流相位差。

解 由于电流元沿x 轴放置，在yz 平面内电流元无方向性，天线阵的方向性仅由阵因子决定。

因2
λ
=
d ，即π=kd 。

若要求在o 60=θ方向上辐射最强，两个电流元的相位差必须满足2
cos π
θα=
=kd ，即，两个电流元的电流相位差为
2
π。

10-15 已知非均匀的同相五元直线阵的电流振幅比为1:2:2:2:1，单元天线之间的间距为半波长，试求该天线阵的阵因子。

解 第2，3，4单元天线分别看成两个电流等幅同相的单元天线并列合成，则五元天线阵可看成两个均匀直线式四元阵；两个四元阵又构成一个均匀直线式二元阵，且间距也为半波长，则阵因子为
()()()φθφθφθ,,,24f f f =()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=
θθθθcos 21sin cos sin cos 21sin cos 2sin kd kd kd kd 由于2
λ
=
d ，则π=kd ，因此
0=α 2πα=
()()
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛=θπθπθπφθcos 2sin cos 2sin cos 2cos 2
,f ()θπθπcos cos cos 2cos 82⎪⎭⎫ ⎝⎛= 10-16 已知底端馈电的垂直接地线天线的高度为h ，其电流分布为正弦函数。

若地面当作无限大的理想导电平面，试求该天线的远区场。

解 根据镜像原理，对于无限大的理想导电平面，垂直天线的镜像为正像。

因此，上半空间的场强等于长度为h 2的中心馈电的对称天线产生的辐射场，则远区场为
⎰-'
-''
=h
h r k z r I Z E d e 2sin j
j 0λθθ 对于远区，因l r >>，可取
r
r 1
1≈'， θcos z r r '-≈' 又知电流分布()[]
z h k I I '-=sin 0，则 ()[]⎰-'--''-=h
h z k kr z r
z h k I E d e e 2sin sin 120j
cos j j 0θθλθ
π
()[]()z z k z h k r
I h
kr '''-=⎰-d cos cos sin 2e sin 60j 0j 0θλθπ =()()kr
kh kh r I j 0e sin cos cos cos 60j
--θ
θ
10-17 已知水平放置的行波天线的长度为L ，电流分布函数为kz e I I j 0-=，L z ≤≤0，架空高度为h ，地面当作无限大的理想导电平面，试求平行于天线轴线的平面内的远区场。

解 根据镜像原理，平行于天线轴的远区场可看作为相位相差π，间距为h 2的二元天线阵。

根据习题10-10的结果，单元行波天线的远区电场强度为
kr r I Z E j 00e cos 1cos 2cos sin 2j --⎪⎭⎫
⎝⎛=θ
θπθπθ 阵因子为
()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=
αθαθφθcos 21sin cos sin ,2kd kd f ()θcos sin 2kh =
因此，平行于单元天线轴线的平面内的远区场为
()kr kh r I Z E j 00e cos sin cos 1cos 2cos sin j --⎪⎭⎫
⎝⎛=θθ
θπθπθ ()kr kh r I Z E H j 00e cos sin cos 1cos 2cos sin j --⎪
⎭⎫
⎝⎛==θθθπθπθφ 10-18 已知水平放置的半波天线的架空高度为h ，地面当作无限大的理想导电平面，为了使电磁波射向电离层，要求在与天线轴线垂直的平面内，30︒仰角方向上形成主射方向，试确定其架空高度。

解 根据镜像原理，为了考虑地面的影响，对于水平放置的半波天线，可看作为一个相位差为π，间距为h 2的二元天线阵。

那么，在与半波天线轴线垂直的平面内，天线阵的方向性仅由阵因子决定。

为了在o 60=θ处形成最强的辐射，即要求阵因子达到最大值。

因此，必须满足ππ
=3
cos
2hk ，由此求得离地高度为
2
λ
=
h
10-19 设同相二元阵由两个位于铅垂面内水平电流元构成，间距为一个波长，放在地面上空。

下方电流元离地面的高度为半波长，地面当作无限大的理想导电平面。

试求：① 水平面内及与电流元轴线垂直面内的方向性因子；② 与电流元轴线垂直的平面内，主射方向远区电场
表达式和极化特性。

解 根据镜像原理，为了考虑地面的影响，对于水平放置的两个同相半波天线，可看作为一个四元天线阵。

其中上半空间两个二元阵和下半空间两个二元阵又组成一个间距为h 2的反相二元阵，如图习题图10-19所示。

令电流元为Il y e ，天线阵 轴线为z 轴。

由习题10-4获知， y 方向电流元的方向性因子为 ()φφθφθ2221cos sin cos ,+=f 天线阵的阵因子为
()()()
φθφθφθ,,,224f f f =()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=
πθλπθλθλθλcos 221sin cos 222sin 0cos 21sin 0cos 22sin k k k k 因此，天线阵的方向性因子为
()()()φθφθφθ,,,41f f f =
那么，在2
π
θ=的水平面内，方向性因子为
φφπcos ,2=⎪⎭
⎫
⎝⎛h f 与电流元垂直的平面内，即xz 平面内（φ = 0，π），方向性因子为
()0,θv f ()()()()
θπθπθπθπcos 2cos cos 4sin cos sin cos 2sin -
=()()θπθπcos 2sin cos cos 4-=
其最大值为 ()08.30,max =m v f θ 因此，主射方向远区电场强度为 kr
r
Il j e 6.369j
-=λπφe E 由此可见，与电流元垂直面内远区场为水平线极化。

y
习题图10-19
10-20 试证当S →S ∞ 时式（10-8-6）亦成立。

证明 由于位于有限区域内的一切源，其远区场为TEM 波，即r Z e H E ⨯=，并且s d 的方向为闭合面S 的外法线方向，即s r d d e s =，则当闭合面趋向无限远处，闭合面积分为 ()⎰⋅⨯-⨯s
a b b a
s H E H E
d
()s Z Z r s a r b b r a d e H e H H e H ⋅⨯⨯-⨯⨯=⎰∞
利用矢量恒等式B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅，上式变为
()()()()[]s Z s a r b r b r a r
d ⎰∞
⨯⋅⨯-⨯⋅⨯H e H e H e H e
0=
因此，只要闭合面S 包围了全部源，面积分为零，即式（10-8-6）成立。

10-21 若Z 向电流元l I I z e l =及Z 向磁流元l I I m z m e l =均位于坐标原点，试求其远区合成场强及其极化特性。

解 已知电流元产生的远区场强为
kr
r
ZIl j 1e 2sin j
-=λθθe E
kr
r
Il j 1e 2sin j -=λθφe H
那么，根据对偶原理可以推知同向的磁流元产生的远区场强为
kr
m r l ZI j 2e 2sin j -=λθθe H
kr
m r
l I j 2e 2sin j --=λθφe E
因此，合成场强为
()
kr m I ZI r l j e 2sin j
--=φθλθ
e e E ()
kr m ZI I r
l j e 2sin j -+=θφλθe e H
由此可见，若I 与m I 同相，合成场为线极化；若I 与m I 不同相，合成场为椭圆极化。

10-22 利用互易定理，试证：① 位于理想导电体表面附近的垂直磁流元没有辐射效应；② 位于理想导磁体表面附近的垂直电流元及水平磁流元均无辐射作用。

证明 ①设垂直磁流元a m I l 在导体外空间某处产生的磁场强度为a H ，令该处放置一个磁流元b m I l ，且使b l 与a H 方向一致，它在磁流元a m I l 处产生的磁场强度为b H ，则由卡森互易定理得
⎰⎰⋅=⋅a b
l l m a m b I I l H l H d d 即 b m a a m b l I H I =⋅l H
由于任何理想导电体表面上不可能存在法向磁场，即b H 必须平行于表面，得
b m a l I H =0
因为0≠b m I l ，故只有0=a H 。

因此，垂直理想导体表面的磁流元a m I l 不可能产生任何电磁场。

②利用理想导磁体的边界条件和互易定理，同理可证位于理想导磁体表面附近的垂直电流元及水平磁流元均无辐射作用。

10-23 已知位于坐标原点0=z 平面内的矩形口径尺寸为b a ⨯，口径场为同相场，极化方向为y e 方向。

若口径场的振幅分布函数为
22 ,cos )(a x a a x x f ≤≤-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=π 试求0=y 平面内方向性因子、主叶半功率角、主叶零功率角及第一副叶相对于主叶的电平。

解 由题可知，口径的位置
如习题图10-23所示，口径
场的表示式为 kz s y s x a E j 0e cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛=πe E 式中0s E 与坐标无关，则
P 点的远区电场为
()⎰''+⎪⎭⎫ ⎝⎛'=-s kr s P s r
x a E E d cos 1e cos 2j j 0θπλ 其中θ'为面元s d '的外法线与观察方向之间的夹角。

设观察点P 的坐标为()z y x ,,，面元s 'd 的坐标为()0,,y x ''，则
()()222z y y x x r +'-+'-=()2
02020021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+'-=r y r x r y y x x r 式中0r 为口径中心至观察点的距离，2220z y x r ++=
对于远区，y r x r '>>'>>00,，则
0r y y x x r r '+'-≈ 而且P 点对于各面元s 'd 处于同一方向，即θθ='；且可取
r r 110≈，又因
φθφθsin sin ,cos sin r y r x == 则
()⎰⎰-'-'-'⎪⎭⎫ ⎝⎛''+=22cos sin j 22sin sin j 0j 0d e cos d e cos 12e j 0a a x k b b y k kr s P x x a y r E E φθφθπθλ
z ,z ) 习题图10-23
()φθπφθφθφθθλπ222220j 0cos sin cos sin 21cos sin sin sin sin 21sin cos 1e j 0
k a ka kb r k E a kr s -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=- 在0=y 平面内，0=φ,π,方向性因子为
()()θ
πθθθ2222sin sin 21cos cos 10,k a ka f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 由于口径场为同相场，因此z 轴为主射方向，即
0m ax =θ。

考虑到函数cos θ 在θ = 0的主射方向附近变化较小，因此主叶的形状主要决定于第二个因子，即
()θ
πθθ2222sin sin 21cos 0,k a ka f -⎪⎭⎫ ⎝⎛≈ 根据主叶半功率宽度定义，即主瓣上两个半功率电平点之间的夹角，求得主叶半功率角为
a λ
θ2.125.0≈
根据主叶零功率宽度定义，求得主叶零功率角为
a λ
θ320=
第一副叶相对于主叶的电平即是第一副瓣最大值与
主瓣最大值之比的对数。

已知第一副瓣的最大值为 0084.0max 1=f ，主瓣峰值2max 2
π=f ，因此，第一副瓣的相
对电平为
dB 6.24log 20max
max 11-==f f ξ 10-24 设均匀平面波垂直投射到无限大的金属平板上的圆孔，试求其绕射场。

（提示：)(J 2d 02 0 cos j x e x πφπ
φ=⎰）
解 设金属平板位于0=z 平面，均匀平面波的极化方向为e y 方向，则孔径场为
kz y y s E j 0e -=e E
对于圆孔径场采用极坐标，孔径上任一点场源为()φ'',r Q ，则Q 点在直角坐标系中的位置为,cos φ''='r x ,sin φ''='r y 孔径面元φ'''='d d d r r s 。

设圆形孔径的直径为D ，根据上题结果，同时考虑到场强分布以z 轴为旋转对称，求得远区电场强度为
⎰⎰'''+=''-π
θφφλθ20sin cos j 20j 0d d e e 2cos 1j r r E r r k D kr y y e E
()r r k r E r D
kr y '''+=⎰-d sin J 2e 2cos 1j 200j 0θπλθy e θλ
πθλππλθsin sin J 2e 2cos 1j 12j 0D D D E r kr y y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-e 此结果即是圆孔径的绕射场。

10-25 已知抛物面天线的直径为30m ，工作频率为6GHz ，若口径利用系数为0.6，试求其增益。

解 工作波长为
m 05.01061039
8
=⨯⨯==f c λ 口径面积为
22m 2254ππ
==d A
因此，抛物面天线增益为
6221013.205
.022546.04⨯=⨯⨯==ππλπA
v G dB 3.63log 10dB ==G G。