一线三等角在初中数学的学与用

“一线三等角”在初中数学中的学与用

【摘要】几何学的关键在于对图形的认识，但再复杂的图形也是由基本图形组成的。许多中考压轴题蕴含着借助相似基本图形来解决，本文就“一线三等角”这个基本图形的认识进行了归纳及探究它的综合应用。

关键词：基本图形一线三等角压轴题

《数学课程标准》在几何方面的学习要求学生们能解剖较复杂的图形，从中提炼出学过的基本图形，达到把复杂图形简单化、熟悉化。压轴题是初中数学的难点，学生们甚是畏惧，根本就没信心解决问题，从而对数学失去兴趣，导致中考数学平均分极低。我在平时的教学中注重引导学生们观察、发现、归纳基本图形的特征，鼓励他们从压轴题的复杂图形中分解出基本图形。

一、“一线三等角”的学习

“一线三等角”是相似三角形的模型之一，是教材的延伸。学生们掌握该模型是很有必要的。

课堂上，利用三角形的内角或外角的知识，通过两组角对应相等的两个三角形相似判定方法，由特殊到一般的思想来证明出结论，最终归纳出基本图形（如图1-4）———三个相等的角的顶点在同一条直线上。一线三等角：两个等角的一边在同一条直线上，若有第三个与之相等的角，它的顶点也在该直线上，角的两边分别与两等角的非共线边相交，可得一组相似三角形。

二、“一线三等角”在压轴题中的应用

当学生们理解了基本图形，掌握了基本图形的性质和特点，就能在解压轴题时去挖掘出基本图形或通过做辅助线构造出模型，抛弃多余的线条，达到由繁到简的转变，再去解题就显得游刃有余了。

（1）直接应用基本图形求解

例如（2012年义乌市中考选取）如图5，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A （3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）如图5，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

评析：（1）略

（2）抛弃抛物线，图中有等腰三角形和一线三等角两种基本图形（如图6）。由已知条件：∠BAE=∠BED=∠AOD，可得△ABE∽△OED，所以有

。

延长AB交x轴于点F，得AF=OF，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R，则有

OC=AC=OA=

。△AOR∽△FOC求出OF=

，

所以点F（，0），

然后求出直线AF的解析式：,联立抛物线的解析式交点B（6，2）,那么AB=5。

设OE=x，则AE=﹣x，代入，得到关于x的方程：

若△=0,即时，E点只有1个；

若△>0，时，E点有2个。

（2）间接构造基本图形求解

学生们在面对“一线两等角”的时候，常常可以通过构造一线三等角型也是解题策略之重。

例如（2008年莆田中考选取）在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为顶点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）,过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设PO=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范.

评析：图中没有现成的基本图形，但有∠POE=∠EPD=90°，而且这两个角的顶点在同一条直线上，所以过点D作DM⊥BC于点M，得∠DMP∠POE=∠EPD=90°，显然有△OPE∽△MDP，所以有OP：DM=OE：PM；另一方面题中提到求的取值范围，暗示学生们要对OP进行研究，从而发现得分类讨论。当P在线段OM上，代入可得x：

3=y：（5﹣x），化简得到y=﹣x2+x（0＜x≤5）；当P的线段MC上，代入可

得x：3=y：（x﹣5），化简得到y=x2﹣x（5＜x＜8）。

总之，从复杂图形中分析出基本图形加以解决中考压轴题是学习数学的核心。这就要多培养学生们对图形的感悟性，勇于剖析复杂图形为基本图形，提高他们的解题效率。

参考文献：

[1]沈小龙.一线三等角基本图形的运用.教育教学方法.2013（03）:95