初二数学期末复习优选作业——一次函数

初二数学期末复习优选作业——一次函数
一．选择题（共10小题）
1．下列关系式中，y 不是x 的函数的是( ) A ．4y x =
B ．265y x =+
C ．||y x =
D ．12y x
=
2．下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y x =
B ．1y x =+
C ．2y x =
D ．4y x
=
3．已知函数(3)2y m x =++是一次函数，则m 的取值范围是( ) A ．3m ≠-
B ．1m ≠
C ．0m ≠
D ．m 为任意实数
4．已知点1(3,)A y -，2(1,)B y -都在直线2(1)y m x m =++上，则1y ，2y 的大小关系是( ) A ．12y y >
B ．12y y <
C ．12y y =
D ．大小不确定
5．一次函数(0)y kx b k =+≠的图象如图，则下列结论正确的是( )
A ．2k =-
B ．3k =
C ．2b =-
D ．3b =
6．一次函数23y x =-+在平面直角坐标系内的大致图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若关于x 的方程40x b -=的解是2x =-，则直线4y x b =-一定经过点( ) A ．(2,0)
B ．(0,2)-
C ．(2,0)-
D ．(0,2)
8．一次函数5(0)y kx k =+≠的图象与正比例函数(0)y mx m =≠的图象都经过点(3,2)-，则方程组5
y kx y mx =+⎧⎨
=⎩
的解为( ) A ．32x y =⎧⎨=⎩
B ．3
2x y =-⎧⎨=-⎩
C ．2
3x y =⎧⎨=-⎩
D ．3
2x y =-⎧⎨=⎩
9．一次函数y kx b =+的图象如图所示，那么不等式0kx b +>的解集是( )
A ．2x >-
B ．2x <-
C ．1x >
D ．1x <
10．为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量()y mg 和时间()x min 的数据如表：
时间()x min 2 4 6 8 含药量()y mg
16
14
12
10
则下列叙述错误的是( )
A ．时间为14min 时，室内每立方米空气中的含药量为4mg
B ．在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小
C ．挥发时间每增加2min ，室内每立方米空气中的含药量减少2mg
D ．室内每立方米空气中的含药量是自变量 二．填空题（共9小题）
11．函数1y x =-自变量取值范围为 ，函数的最小值为 ．
12．某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为(3)x x >千米，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系为 ． 13．若||2(3)5k y k x -=-+是一次函数，则k = ．
14．已知y 关于x 的函数2(2)4y m x m =++-是正比例函数，则m 的值是 ． 15．已知直线y kx b =+，如果5k b +=-，5kb =，那么该直线不经过第 象限． 16．若一次函数y ax b =+的图象过点(2,1)A ，则1ax b +=的解是x = ．
17．一个弹簧不挂重物时长10cm ，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比，如果挂上1kg 的物体后，弹簧伸长3cm ，则弹簧总长y （单位：)cm 关于所挂重物x （单位：)kg 的函数关系式为 （不需要写出自变量取值范围）
18．若方程组23
(31)2y kx y k x =-⎧⎨=-+⎩
无解，则2y kx =-图象不经过第 象
限．
19．如图，一次函数y kx b
B-，下列说法：①y随x的=+的图象与坐标轴的交点坐标分别为(0,2)
A，(3,0)
增大而减小；②2
kx b
x=；④关于x的不等式0
x<-．其
+<的解集3 b=；③关于x的方程0
kx b
+=的解为2
中说法正确的有（填写序号）．
三．解答题（共13小题）
20．已知y与2
y=．
x-成正比例，且3
x=时，2
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当点(,4)
A a在此函数图象上，求a的值．
21．某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第(190)
x x天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为(100)x
-件．
（1）试求出售价y与x之间的函数关系式；
（2）请求出该商品在销售过程中的最大利润．
22．如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：/)
km h之间的函数关系
L km与速度x（单位：/)
(30120)
x，已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1/
L km．
km h，耗油量增加0.002/
（1）求当速度为50/
km h时，汽车的耗油量；
（2）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
23．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同
时出发，它们离甲地的路程()
x h间的函数关系
y km与客车行驶时间()
如图，下列信息：
（1）求出租车和客车的速度分别为多少？
（2）经过多少小时，两车相遇？并求出相遇时，出租车离
甲地的路程是多少？
24．疫苗接种对新冠疫情防控至关重要．甲、乙两地分别对
本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种
后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a 天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务．乙地80天完成接种任务，甲、乙两地的接种人数y （万人）与接种所用时间x （天)之间的关系如图所示． （1）求乙地每天接种的人数及a 的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y 关于x 的函数解析式， 并写出自变量x 的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
25．如图，直线1:5l y x =+交y 轴，x 轴于A ，B 两点，直线21
:12
l y x =--交y 轴，x 轴于C ，D 两点，
直线1l ，2l 相交于P 点．
（1）方程组51
12
y x y x =+⎧⎪
⎨=--⎪⎩的解是 ； （2）求直线1l ，2l 与x 轴围成的三角形面积；
（3）过P 点的直线把PAC ∆面积两等分，直接写出这条直线的解析式．
26．如图，直线y kx b =+经过点(5,0)A -，(1,4)B -． （1）求点D 的坐标；
（2）求直线:24CE y x =--与直线AB 及y 轴围成图形的面积； （3）根据图象，直接写出关于x 的不等式24kx b x +>--的解集．
27．如图，已知直线:l y ax b =+过点(2,0)A -，(4,3)D ． （1）求直线l 的解析式；
（2）若直线4y x =-+与x 轴交于点B ，且与直线l 交于点C ． ①求ABC ∆的面积；
②在直线l 上是否存在点P ，使ABP ∆的面积是ABC ∆面积的2倍，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
28．如图，已知直线1l 经过点(5,6)，交x 轴于点(3,0)A -，直线2:3l y x =交直线1l 于点B ． （1）求直线1l 的函数表达式和点B 的坐标； （2）求AOB ∆的面积；
（3）在x 轴上是否存在点C ，使得ABC ∆是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标：若不存在，请说明理由．
29．如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点(0,1)B -，与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C 、D ．
（1）若点D 的横坐标为1，求四边形AOCD 的面积；
（2）若点D 的横坐标为1，在x 轴上是否存在点P ，使得以点P ，C ，D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
30．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，如果点(,)M x y 满足121
2
,22
x x y y x y --=
=，那么称点M 是点A 、B 的“双减点”． 例如：(4,5)A -，(6,1)B -、当点(,)T x y 满足465(1)
5,322
x y ----==-==，则称点(5,3)M -是点A 、B 的“双减点”．
（1）写出点(1,3)A -，(1,4)B -的“双减点” C 的坐标；
（2）点(6,4)E -，点4
(,4)3
F m m --，点(,)M x y 是点E 、F 的“双减点”．求y 与x 之间的函数关系式．
31．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积用不同方式表示”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰
上的高BD h =，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 的距离1ME h =，M 到腰AC 的距离2MF h =． （1）请你结合图形1来证明：12h h h +=；
（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你在图2中画出图形，并直接写出结论不必证明；
（3）请利用以上结论解答下列问题，如图3，在平面直角坐标系中有两条直线13
:34
l y x =+，
2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是2，求点M 的坐标．
32．【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，CB CA =，直线DE 经过点C ，过A 作
AD DE ⊥于点D ．过B 作BE DE ⊥于点E ，则BEC CDA ∆≅∆，我们称这种全等模型为“k 型全等”
．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线3(0)y kx k =+≠的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．
（1）如图2．当3
2
k =-时，在第一象限构造等腰直角ABE ∆，90ABE ∠=︒；
①直接写出OA = ，OB = ； ②求点E 的坐标；
（2）如图3，当k 的取值变化，点A 随之在x 轴负半轴上运动时，在y 轴左侧过点B 作BN AB ⊥，并且
BN AB =，连接ON ，问OBN ∆的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当2k =-时，直线:2l y =-与y 轴交于点D ，点(,2)P n -、Q 分别是直线l 和直线AB 上的动点，点C 在x 轴上的坐标为(3,0)，当PQC ∆是以CQ 为斜边的等腰直角三角形时，求点Q 的
坐标．
答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．解：A 、4y x =，对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以y 是x 的函数，故
A 不符合题意；
B 、265y x =+，对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以y 是x 的函数，故B 不
符合题意；
C 、||y x =，对于自变量x 的每一个值，因变量不是y 都有唯一的值与它对应，所以y 不是x 的函数，故C
符合题意；
D 、12
y x
=
，对于自变量x 的每一个值，因变量y 都有唯一的值与它对应，所以y 是x 的函数，故D 不符合题意； 故选：C ．
2．解：A 、y x =，是正比例函数，故A 符合题意；
B 、1y x =+，是一次函数，但不是正比例函数，故B 不符合题意；
C 、2y x =，是二次函数，故C 不符合题意；
D 、4
y x
=，是反比例函数，故D 不符合题意；
故选：A ． 3．解：由题意得： 30m +≠， 3m ∴≠-，
故选：A ． 4．解：20m ， 210k m ∴=+>， y ∴随x 的增大而增大．
又点1(3,)A y -，2(1,)B y -都在直线2(1)y m x m =++上，且31-<-， 12y y ∴<．
故选：B ．
5．解：由函数图象可知函数图象过点(2,0)-，(0,3)， ∴203k b b -+=⎧⎨=⎩
，
解得323
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．
故选：D ．
6．解：在一次函数23y x =-+中，20k =-<，30b =>，
∴一次函数23y x =-+的图象经过第一、二、四象限，
故选：C ．
7．解：由方程可知：当2x =-时，40x b -=，即当2x =-，0y =，
∴直线4y x b =-的图象一定经过点(2,0)-．
故选：C ．
8．解：一次函数5(0)y kx k =+≠的图象与正比例函数(0)y mx m =≠的图象都经过点(3,2)-，
∴方程组5
y kx y mx
=+⎧⎨
=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩，
故选：D ．
9．解：根据图象可知，不等式0kx b +<的解集是2x >-， 故选：A ．
10．解：根据表格数据可以得出两个变量的关系式为18y x =-+，
A 、当14x min =时，14184y mg =-+=，故选项不符合题意；
B 、在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小，故选项不符合题意；
C 、挥发时间每增加2min ，室内每立方米空气中的含药量减少2mg ，故选项不符合题意；
D 、因为室内每立方米空气中的含药量随时间的变化而变化，所以时间是自变量，每立方米空气中的含药
量是因变量，故选项符合题意． 故选：D ．
二．填空题（共9小题） 11．解：由题意得：10x -， 解得：1x ，
10，
∴函数的最小值为0，
故答案为：1x ，0．
12．解：依据题意得：6 1.1(3) 1.1 2.7y x x =+-=+， 故答案为： 1.1 2.7y x =+． 13．解：
||2(3)5k y k x -=-+是一次函数，
||21k ∴-=，30k -≠， 3k ∴=-，
故答案为：3-．
14．解：根据题意得：20m +≠且240m -=， 解得：2m =． 故答案为：2． 15．解：50kb =>， k ∴、b 同号， 5k b +=-， k ∴、b 均为负数，
y kx b ∴=+的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
16．解：一次函数y ax b =+的图象过点(2,1)A ，
∴方程1ax b +=的解是2x =，
故答案为：2．
17．解：弹簧总长y （单位：)cm 关于所挂重物x （单位：)kg 的函数关系式为310y x =+， 故答案为：310y x =+
18．解：方程组23(31)2y kx y k x =-⎧⎨=-+⎩
，
23(31)2kx k x ∴-=-+， (1)5k x ∴-=-，
方程组23
(31)2y kx y k x =-⎧⎨=-+⎩
无解，
10k ∴-=， 1k ∴=，
2y kx ∴=-图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
19．解：①如图所示：y 随x 的增大而增大，故说法错误；
②由于一次函数y kx b =+的图象与y 轴交点是(0,2)，所以2b =，故说法正确； ③由于一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点坐标是(3,0)-，所以关于x 的方程0kx b +=的解为3x =-，故说法错误；
④如图所示：关于x 的不等式0kx b +<的解集3x <-，故说法正确． 综上所述，说法正确的结论是：②④．
故答案是：②④．
三．解答题（共13小题）
20．解：（1）y 与2x - 成正比例，
(2)y k x ∴=-．
把3x =时，2y =代入得：
2(32)k =-．
2k ∴=．
y ∴与x 之间的函数关系式为：24y x =-．
（2）点A (,4)a 在此函数图象上，
424a ∴=-．
解得：4a =．
a ∴的值为4．
21．解：（1）当050x 时，设y 与x 的解析式为：40y kx =+，则 504090k +=，
解得1k =，
∴当050x 时，y 与x 的解析式为：40y x =+，
∴售价y 与x 之间的函数关系式为：40(050)90(50)x x y x +⎧=⎨⎩
； （2）设该商品在销售过程中的利润为w ，
当050x 时，22(4030)(100)901000(45)3025w x x x x x =+--=-++=--+， 10a =-<且050x ，
∴当45x =时，w 取最大值，最大值为325元；
当5090x 时，(9030)(100)606000w x x =--=-+，
600-<，
w ∴随x 的增大而减小，
∴当50x =时，该商品在销售过程中的利润最大，最大值为：(9030)(10050)3000-⨯-=（元)． 30253000>，
45x ∴=时，w 增大，最大值为3025元．
答：第45天时，该商品在销售过程中的利润最大，最大利润为3025元．
22．解：（1）设AB 的解析式为：y kx b =+，
把(30,0.15)和(60,0.12)代入y kx b =+中得：
300.15600.12k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得110000.18
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
AB ∴段一次函数的解析式为：0.0010.18y x =-+，
当50x =时，0.001500.180.13/y L km =-⨯+=，
∴当速度为50/km h 时，汽车的耗油量0.13/L km ；
（2）解：设BC 的解析式为：y mx n =+，
线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1/km h ，耗油量增加0.002/L km ，1209030()km -=， ∴速度为120/km h 时，汽车的耗油量为0.12300.0020.18(/)L km +⨯= 把(90,0.12)和(120,0.18)代入y mx n =+中得：
900.121000.14k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得0.0020.06k b =⎧⎨=-⎩
，， BC ∴段一次函数的解析式为：0.0020.06y x =-，
根据题意得0.0010.180.0020.06y x y x =-+⎧⎨=-⎩
，
解得800.1x y =⎧⎨=⎩
， 答：速度是80/km h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1/L km ．
23．解：（1）由图象可知，
出租车的速度为6006100÷=（千米/时），
客车的速度为6001060÷=（千米/时），
答：出租车的速度为100千米/小时，客车的速度为60千米/小时；
（2）设x 小时两车相遇，
根据题意得：10060600x x +=，
解得 3.75x =，
此时出租车离甲地路程为600100 3.75225-⨯=（千米）．
答：经过多3.75小时，两车相遇，此时出租车离甲地的路程是225千米．
24．解：（1）乙地接种速度为40800.5÷=（万人/天），
0.5255a =-，
解得40a =；
（2）设y kx b =+，将(40,25)，(100,40)代入解析式得：
402510040k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得1415
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
y ∴关于x 的函数解析式115(40100)4
y x x =+； （3）把80x =代入1154y x =
+得18015354
y =⨯+=， 40355-=（万人）， ∴当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为5万人．
25．解：（1）直线1:5l y x =+和直线21:12
l y x =--都经过点(4,1)-， ∴两条直线的交点(4,1)P -，
∴方程组5112
y x y x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩的解是41x y =-⎧⎨=⎩，
故答案为：41x y =-⎧⎨=⎩
； （2）把0y =分别代入5y x =+和112
y x =--， 解得5x =-和2x =-，
(5,0)B ∴-，(2,0)D -，
(4,1)P -，
∴直线1l ，2l 与x 轴围成的三角形面积为：13(25)122
⨯-+⨯=； （3）把0x =分别代入5y x =+和112
y x =--， 解得5y =和1y =-，
(0,5)A ∴，(0,1)C -，
AC ∴的中点为(0,2)，
设过P 点且把PAC ∆面积两等分的直线的解析式为y kx b =+，
把点(4,1)-，(0,2)代入得412
k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得142
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
∴这条直线的解析式为124
y x =+． 26．解：（1）直线y kx b =+经过点(5,0)A -，(1,4)B -， ∴504k b k b -+=⎧⎨-+=⎩
， 解得15k b =⎧⎨=⎩
， 5y x ∴=+，
当0x =时，5y =，
∴点D 的坐标为(0,5)；
（2）若直线24y x =--与直线AB 相交于点C ， ∴245y x y x =--⎧⎨=+⎩
，
解得32x y =-⎧⎨=⎩
， 故点(3,2)C -，
24y x =--与5y x =+分别交y 轴于点E 和点D ， (0,5)D ∴，(0,4)E -，
∴直线:24CE y x =--与直线AB 及y 轴围成图形的面积为：1127||93222
x DE C ⋅=⨯⨯=； （3）根据图象可得3x >-．
27．解：（1）由题意得：2043a b a b -+=⎧⎨+=⎩，解得121
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线l 的解析式为112
y x =+； （2）①112
y x =+，令0y =，则2x =-， (2,0)A ∴-，
直线4y x =-+与x 轴交于点B ， (4,0)B ∴，
解1124
y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩得22x y =⎧⎨=⎩， (2,2)C ∴，
1(42)262
ABC S ∆∴=⨯+⨯=； ②设1(,1)2P m m +， 由题意得，116|1|2622
ABP S m ∆=⨯⨯+=⨯， 整理得1|1|42
m +=， ∴1142m +=或1142
m +=-， 解得6m =或10m =-，
(6,4)P ∴或(10,4)--．
28．（1）解：设直线1l 的函数表达式为(0)y kx b k =+≠．
图象经过点(5,6)，(3,0)A -，
∴5630k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线1l 的函数表达式为3944
y x =+． 联立39443y x y x
⎧=+⎪⎨⎪=⎩，
解得：13x y =⎧⎨=⎩
， ∴点B 的坐标为(1,3)；
（2）解：
(3,0)A -，(1,3)B ， ∴193322
AOB S ∆=⨯⨯=； （3）解：点C 在x 轴上， 90BAC ∴∠≠︒，
∴当ABC ∆是直角三角形时，需分90ACB ∠=︒和90ABC ∠=︒两种情况． ①当90ACB ∠=︒时，点C 在图中1C 的位置： 点A 和点1C 均在x 轴上， 1BC x ∴⊥轴．
(1,3)B ，
1(1,0)C ∴；
②当90ABC ∠=︒时，点C 在图中2C 的位置： 设2(,0)C m ，(0)m >
(3,0)A -，(1,3)B ，1(1,0)C ，
14AC ∴=，13BC =，121C C m =-，23AC m =+， ∴222211435AB AC BC =+=+=．
在2Rt ABC ∆中，22222AC AB BC -=，
在Rt △12BC C 中，2221122BC C C BC +=，
∴22222112AC AB BC C C -=+，
即2222(3)53(1)m m +-=+-， 解得134m =
， ∴213(,0)4
C ． 综上可知，在x 轴上存在点C ，使得ABC ∆是直角三角形，点C 的坐标为(1,0)或13(,0)4
． 29．解：（1）把D 坐标(1,)n 代入1y x =+中得：2n =，即(1,2)D ，
把(0,1)B -与(1,2)D 代入y kx b =+中得：12
b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：31k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线BD 解析式为31y x =-， 对于直线1y x =+，令0y =，得到1x =-，即(1,0)E -；令0x =，得到1y =， 对于直线31y x =-，令0y =，得到13
x =，即1(3C ，0)， 则14152112326
DEC AEO AOCD S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=四边形； （2）存在．如图，当90DPC ∠=︒时，(1,0)P ．
当90CDP ∠'=︒时，DPC ∆∽△P PD '， 2PD CP PP ∴=⋅'，
2223
PP ∴=⨯'， 6PP ∴'=，
167OP OP PP ∴=+'=+=， (7,0)P ∴'．
综上所述，满足条件的点P 的坐标为(1,0)或(7,0)．
30．解：（1）设C 的坐标为(,)C x y ，
(,)C x y 是点(1,3)A -，(1,4)B -的“双减点”
， 1112x --∴==-，34722
y +==， 点C 坐标7(1,)2
-； （2）点(,)M x y 是点(6,4)E -，点4(,4)3
F m m --的“双减点”， ∴6244432
m x
m y -⎧=⎪⎪⎨-++⎪=⎪⎩， 消去m 得y 与x 之间的函数关系式为：443
y x =-+． 31．（1）证明：连接AM ，由题意得1h ME =，2h MF =，h BD =， ABC ABM AMC S S S ∆∆∆=+，
11122
ABM S AB ME AB h ∆=⨯⨯=⨯⨯， 21122
AMC S AC MF AC h ∆=⨯⨯=⨯⨯， 又1122
ABC S AC BD AC h ∆=⨯⨯=⨯⨯，AB AC =， ∴12111222AC h AB h AC h ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， 12h h h ∴+=．
（2）解：如图所示： 12h h h -=．
（3）解：在334
y x =+中，令0x =得3y =；令0y =得4x =-， 所以(4,0)A -，(0,3)B 同理求得(1,0)C ．
225AB OA OB =+=，5AC =，所以AB AC =， 即ABC ∆为等腰三角形． ①当点M 在BC 边上时，由12h h h +=得：2y M OB +=，321y M =-=， 把它代入33y x =-+中求得：23
x M =
， 所以此时2(3M ，2)． ②当点M 在CB 延长线上时，由12h h h -=得：2y M OB -=，325y M =+=，
把它代入33y x =-+中求得：23
x M =-， 所以此时2(3
M -，5)． ③当点M 在BC 的延长线上时，12h h =<，不存在；
综上所述：点M 的坐标为2(3
M ，2)或2(3-，4)．
32．解：（1）①若32
k =-， 则直线3(0)y kx k =+≠为直线332
y x =-+， 当0x =时，3y =， (0,3)B ∴，
当0y =时，2x =， (2,0)A ∴，
2OA ∴=，3OB =， 故答案为：2，3；
②作ED OB
⊥于D，
90
BDE AOB
∴∠=∠=︒，
2390
∴∠+∠=︒，
ABE
∆是以B为直角顶点的等腰直角三角形，AB BE
∴=，90
ABE
∠=︒，
1290
∴∠+∠=︒，
13
∴∠=∠，
()
BED ABO AAS
∴∆≅∆，
3
DE OB
∴==，2
BD OA
==，
5
OD OB BD
∴=+=，
∴点E的坐标为(3,5)；
（2）当k变化时，OBN
∆的面积是定值，
9
2
OBN
S
∆
=，
理由如下：
当k变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，0
k
∴>，
过点N作NM OB
⊥于M，
90
NMB AOB
∴∠=∠=︒，
1390
∠+∠=︒，
BN AB
⊥，
90
ABN
∴∠=︒，
1290∴∠+∠=︒，
23∴∠=∠，
BN BA =，90NMB AOB ∠=∠=︒，
()BMN AOB AAS ∴∆≅∆．
3MN OB ∴==， ∴11933222
OBN S OB MN ∆=⨯⋅=⨯⨯=， k ∴变化时，OBN ∆的面积是定值，92OBN S ∆=
； （3）当3n <时，过点P 作PS x ⊥轴于S ，过点Q 作QT PS ⊥于T ，
90CSP PTQ ∴∠=∠=︒，
2390∠+∠=︒，
90CPQ ∠=︒，
1290∴∠+∠=︒，
13∴∠=∠，
PC PQ =，90CAP PTQ ∠=∠=︒，
()PCS QPT AAS ∴∆≅∆．
2QT PS ∴==，3PT SC n ==-，
5ST n ∴=-，
∴点Q 的坐标为(2,5)n n +-，
2k =-，
∴直线23y x =-+，
将点Q 的坐标代入23y x =-+得，52(2)3n n -=-++， 解得：43
n =，
∴点Q 的坐标为1011(,)33
-； 当3n >时，过点P 作PS x ⊥轴于S ，过点Q 作QT PS ⊥于T ，
90CSP PTQ ∴∠=∠=︒，
1390∠+∠=︒，
90CPQ ∠=︒，
1290∴∠+∠=︒，
23∴∠=∠，
PC PQ =，90CAP PTQ ∠=∠=︒，
()PCS QPT AAS ∴∆≅∆．
2QT PS ∴==，3PT SC n ==-，
1ST n ∴=-，
∴点Q 的坐标为(2,1)n n --，
2k =-，
∴直线23y x =-+，
将点Q 的坐标代入23y x =-+得，12(2)3n n -=--+， 解得：6n =，
∴点Q 的坐标为(4,5)-．
综上，点Q 的坐标为1011(,)33
-或(4,5)-．。