04三角函数(强基计划)系列专题

强基计划

招生试题分类汇编——三角函数

7. （2014年北约）证明tan3o 是无理数. 【证明】由三角公式2

2tan tan tan tan 2,tan()1tan 1tan tan ααβ

ααβααβ

+=

+=--⋅, 若tan3o 是有理数,则tan 6,tan12,tan 24o o o 为有理数,再由tan6o 和tan 24o 可得tan30o 为有

理数,这与tan 30=o !因此,tan3o 是无理数. 法

二

：

设

0tan 3Q

∈，则000000tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q

∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，

这

与

0tan 303

Q =

∉矛盾． 9．（2013年北约）对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326

---的值． 解析 42cos 122cos 122cos 4)2

2cos 1(

32cos

32233

6

+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3

+-=-， 62cos 124cos 62

+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-， 各式相加，得102cos 154cos 66cos cos

326

=---θθθθ．

题7（2012年北约）求使得sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[)0,π上有唯一解的a 。 解： 设()()()11

sin 4sin 2sin sin3cos6cos2cos4cos222

f x x x x x x x x x =-=-

-+- ()1

cos6cos4sin5sin 2

x x x x =-

-= ∵()()()()sin 55sin sin5sin f x x x x x f x πππ-=--== ∴()f x 关于直线2

x π

=

对称

故()f x a =在[)0,π上有唯一解，只能0x =或2

x π

=

当0x =时，0a =，此时sin sin50x x =在[)0,π上不是唯一解，舍去

当2

x π

=

时，1a =，此时sin sin51x x =

∵[)0,π时，sin 0x ≥ ∴sin 1x =且sin51x =，得2

x π

=

为唯一解 ∴1a =

评析：本题要求掌握函数对称性与三角函数知识，考查学生知识应用的迁移能力。

4. （2011年北约）在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤o .

【解】由正弦定理sin sin sin a b c

A B C

==

知, 2sin sin 2sin 2sin cos 2sin 22

A B A B

a b c A B C C +-+≥⇔+≥⇔≥

又因为sin sin()cos ,sin 2sin cos 222222A B C C C C

C +π=-==,

所以,cos cos 2sin cos 2222C A B C C -≥,又因为022C π<<时,cos 02C

>

所以11sin cos 2222C A B -≤≤(当A B =时取等号),而022C π

<<

所以30,2

C

≤o 即60C ≤o .

1．（2010年北约）02

απ

<<，求证：sin tan ααα<<．

【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02

x π

<<时，()1cos 0f x x '=->．于是

()f x 在02

x π

<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >．

同理可证()tan 0g x x x =->．

(0)0g =，当02x π<<

时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02

x π<<

上单调增。 ∴在02

x π

<<

上有()(0)0g x g >=。即tan x x >。 注记：也可用三角函数线的方法求解． 5．（2010年北约）存不存在02

x π

<<

，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )

cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x

-+-=-=，

则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x

x x

+=．

若cos sin 0x x -=，有4

x π

=1,1不成等差数列；

若cos sin 1sin cos x x x x

+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =

而11

sin cos sin 2(0,]22

x x x =∈，矛盾！

3. （2014年华约）函数()sin )sin()2sin (0)4

f x x x x a x b a π

=-+-+>的最大值为

1,最小值为4-,求,a b 的值.