能控性与能观性
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c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
1 2 1t 1t 1t e x te x t e x30 10 20 2! c13 1t 1t c23 e x20 te x30 c33 e1t x30
线性控制系统的能控性与能观性
卡尔曼在1960提出，是最优控制和最优估计的设计基础。能控性和 能观性分别是分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的 反映能力。
1. 能控性的定义
线性连续定常系统： x = Ax + Bu 如果存在分段连续u(t)，能在有限时间内，使系统由某一初始状态x(t 0 )， 转移到指定的任一状态x(t f ), 则称此状态为能控的。若系 统的所有状态为能控的，称为完全能控的（能控的），否则为不完全能 控的。 线性连续时变系统： x = A(t)x + B(t)u 定义与定常系统相同，但状态矢量x(t)的转移，与初始时刻 t 0 有关，所以定义中应强调 t 0 时刻系统是能控的。 离散时间系统： x(k+1) = Gx(k) + Hu(k) 若存在控制作用序列u(k), u(k+1), ......,u(l-1)能将某个状态x(k), 在第l 步达到零状态，其中l为大于k的有限数，则称此状态是能控的。
t?1a为对角线矩阵??????????????n???0021?a?????????????mnmmnnccccccccc?????212222111211c?????????????0201021ntttxexexetn????xnmnmmmnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcy?????????????????22112222121212121111?????????????????????????0201021222211121121ntttmnmmnnxexexeccccccccctyn?????????假使输出矩阵c中有某一列全为零譬如说第2列中c12c22
具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为
Ax Bu x
令x=Tz，可变为约旦标准型
z Λz T 1Bu
或
z Jz T 1Bu
系统的线性变换不改变系统的能控性条件 推得一般系统的能控性判据如下 若A的特征值互异，能控性的充分必要条件是T-1B的各行元素没有全为0的。 若A的特征值有相同的，此时系统能控性的充分必要条件是： ① 在T-1B中对应于相同特征值的部分，每个约旦块最后一行相对应的元素没 有全为0的。 ② T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。
Wux ( s ) ( sI A) 1 b
状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重合现象。否则，被相消的极 点就是不能控的模式，系统为不能控系统。
多输入系统
对多输入系统，其状态方程为
x Ax Bu
其能控的充分必要条件是矩阵
M [B
的秩为n。
AB
A2 B An 1B ]
e 1t x10 y1 c11x1 c12 x2 c1n xn 2t y c x c x c x e x20 2 21 1 22 2 2n n x (t ) nt y c x c x c x m m1 1 m2 2 mn n e xn 0
其解得 从而有
x (t ) Φ (t t0 ) x0 Φ (t t0 ) j (t t0 ) A j
j 0 n 1
其中
j (t t0 ) a jk
k 0 n 1
1 (t t0 ) k k!
y (t ) Cx (t ) j (t t0 )CA j x0
x Ax ; y Cx
x (t0 ) x0
如果对任意给定的输入u，在有限观测时间tf>t0，使得根据[t0, tf]期间的输出y(t)能唯 一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。 若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测，或简称是能观的。 如果输出量y的维数等于状态的维数，即m=n，并且C是非奇异阵，即
当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量 而为完全能观。
由于任意系统矩阵A经T-1AT变换后，均可演化为对角线型或约旦型，此时只需根 据输出矩阵CT是否有不全为零的列，或对应约旦块的CT的第一列是否不全为零， 便可以确定系统的能观性。
2．直接从A、C阵判断系统的能观性
根据能控性定义，对任意的初始状态矢量x(t0)，应能找到u(t)，使之在有限时间 tf>t0内转移到零状态[x(tf)=0]。 令t=tf，x(tf)=0，得
Φ (t f t0 ) x (t0 ) Φ (t f )bu( ) d
即
x (t0 ) Φ (t0 )bu( ) d
在系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中没 有全为零的列。若第i列全为零，则与之相应的xi(t)为不能观的。
(2). A为约旦标准型矩阵
以三阶为例
1 1 0 A J 0 1 1 0 0 1
c11 c12 C c21 c22 c31 c32
通过以上分析的一下几点结论： 1. 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 2.在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶 标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制 分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态， 从状态空间上说，xT=[x1 x2 ....xn]T是不完全能控的。 3.在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制， 故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶 标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。
tf t0
tf t0
根据凯莱-哈密顿定理：A的任何次幂可由其0,1，....,(n-1)次幂的和表示，即
A a jk A j
j 0
k
n 1
又因
Φ (t ) e
At
1 k k At k 0 k!
故
k n 1 n 1 t k n 1 t j j Φ (t ) a jk A A a jk j (t ) A j k! j 0 k 0 k! j 0 j 0 k 0
在多输入系统中，M是n*nr矩阵，不象在单输入系统中是n*n方阵，其秩的确定一般 来说要复杂一些。由于矩阵M与MT的积是方阵，而它的非奇异性等价于M的非奇异 性，所以在计算行比列少的矩阵的秩时常用rankM=rankMMT的关系，通过计算方阵 MMT的秩确定M的秩。
3
线性连续定常系统能观性
控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态 变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否 通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。 能观性所表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所 以分析能观性问题，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即
2.线性定常系统的能控性判别
ˆ,B ˆ) (A
ˆ B
2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 单输入系统
1 0 0 x x u; y c1 c2 x 0 2 b2 1 1 0 x x u; y c1 c2 x 0 1 b2 1 1 b1 x x u; y c1 c2 x 0 0 1
转换成约旦标准型的判别方法
线性时不变系统的状态空间表达式为
x Ax ;
(1) A为对角线矩阵
x (t0 ) x0 c11 c12 c c22 21 C c m1 cm 2 c1n c2 n cmn
y Cx
0 1 2 A Λ 0 n
其中 将上式代解式，有
x (t0 ) A b t j (t0 )u( )d A j b j
j 0
0
n 1
j
tf
n 1
j 0
其中
j j (t0 )u( )d
t0
tf
由于u(t)为标量，又是定限积分，所以ɤj也是标量，将上式写成矩阵形式，有
在定义中之所以把能观性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态， 便可根据给定的控制量(输入)，利用状态转移方程 x (t ) Φ (t t0 ) x (t0 ) tt Φ (t ) Bu( ) d 0
3.1定常系统能观性的判别
一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后 根据标准型下的C阵，判别其能观性。 另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。
2.2 直接从A与B判别系统的能控性 单输入系统
x Ax bu
Ab A2b An1b]
t t0
其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵
M [b
证明 公式的解为
满秩，即rankM=n。否则，当rankM<n时，系统为不能控的。
x (t ) Φ (t t0 ) x (t0 ) Φ (t )bu( ) d , t t0
x (t ) C 1 y (t )
可是在一般情况下，输出量的维数总是小于状态变量的个数，即m<n。 为了能唯一地求出n个状态变量，不得不在不同的时刻多测量几组输出数据y(t0)， y(tf)，使之能构成n个方程式。倘若t0, t1,tf相隔太近，n个方程虽然在结构上是独立 的，但其数值可能相差无几，而破坏了其独立性。因此，在能观性定义中，观测时 间应满足tf>t0的要求。
x (t0 ) [b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ab
0 1 A2b An 1b] n 1
要使系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式(3-21)解出ɤj来， 因此，必须保证
M [b
Ab
A2b An 1b]
其秩必须等于n。判据得证。 在单输入系统中， 其传递函数阵为
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
1 2 1t 1t 1t e x te x t e x30 10 20 2! c13 1t 1t c23 e x20 te x30 c33 e1t x30
线性控制系统的能控性与能观性
卡尔曼在1960提出，是最优控制和最优估计的设计基础。能控性和 能观性分别是分析u(t)对状态x(t)的控制能力以及输出y(t)对状态x(t)的 反映能力。
1. 能控性的定义
线性连续定常系统： x = Ax + Bu 如果存在分段连续u(t)，能在有限时间内，使系统由某一初始状态x(t 0 )， 转移到指定的任一状态x(t f ), 则称此状态为能控的。若系 统的所有状态为能控的，称为完全能控的（能控的），否则为不完全能 控的。 线性连续时变系统： x = A(t)x + B(t)u 定义与定常系统相同，但状态矢量x(t)的转移，与初始时刻 t 0 有关，所以定义中应强调 t 0 时刻系统是能控的。 离散时间系统： x(k+1) = Gx(k) + Hu(k) 若存在控制作用序列u(k), u(k+1), ......,u(l-1)能将某个状态x(k), 在第l 步达到零状态，其中l为大于k的有限数，则称此状态是能控的。
t?1a为对角线矩阵??????????????n???0021?a?????????????mnmmnnccccccccc?????212222111211c?????????????0201021ntttxexexetn????xnmnmmmnnnnxcxcxcyxcxcxcyxcxcxcy?????????????????22112222121212121111?????????????????????????0201021222211121121ntttmnmmnnxexexeccccccccctyn?????????假使输出矩阵c中有某一列全为零譬如说第2列中c12c22
具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为
Ax Bu x
令x=Tz，可变为约旦标准型
z Λz T 1Bu
或
z Jz T 1Bu
系统的线性变换不改变系统的能控性条件 推得一般系统的能控性判据如下 若A的特征值互异，能控性的充分必要条件是T-1B的各行元素没有全为0的。 若A的特征值有相同的，此时系统能控性的充分必要条件是： ① 在T-1B中对应于相同特征值的部分，每个约旦块最后一行相对应的元素没 有全为0的。 ② T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的。
Wux ( s ) ( sI A) 1 b
状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重合现象。否则，被相消的极 点就是不能控的模式，系统为不能控系统。
多输入系统
对多输入系统，其状态方程为
x Ax Bu
其能控的充分必要条件是矩阵
M [B
的秩为n。
AB
A2 B An 1B ]
e 1t x10 y1 c11x1 c12 x2 c1n xn 2t y c x c x c x e x20 2 21 1 22 2 2n n x (t ) nt y c x c x c x m m1 1 m2 2 mn n e xn 0
其解得 从而有
x (t ) Φ (t t0 ) x0 Φ (t t0 ) j (t t0 ) A j
j 0 n 1
其中
j (t t0 ) a jk
k 0 n 1
1 (t t0 ) k k!
y (t ) Cx (t ) j (t t0 )CA j x0
x Ax ; y Cx
x (t0 ) x0
如果对任意给定的输入u，在有限观测时间tf>t0，使得根据[t0, tf]期间的输出y(t)能唯 一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。 若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测，或简称是能观的。 如果输出量y的维数等于状态的维数，即m=n，并且C是非奇异阵，即
当且仅当输出矩阵C中第一列元素不全为零时，y(t)中总包含着系统的全部自由分量 而为完全能观。
由于任意系统矩阵A经T-1AT变换后，均可演化为对角线型或约旦型，此时只需根 据输出矩阵CT是否有不全为零的列，或对应约旦块的CT的第一列是否不全为零， 便可以确定系统的能观性。
2．直接从A、C阵判断系统的能观性
根据能控性定义，对任意的初始状态矢量x(t0)，应能找到u(t)，使之在有限时间 tf>t0内转移到零状态[x(tf)=0]。 令t=tf，x(tf)=0，得
Φ (t f t0 ) x (t0 ) Φ (t f )bu( ) d
即
x (t0 ) Φ (t0 )bu( ) d
在系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是输出矩阵C中没 有全为零的列。若第i列全为零，则与之相应的xi(t)为不能观的。
(2). A为约旦标准型矩阵
以三阶为例
1 1 0 A J 0 1 1 0 0 1
c11 c12 C c21 c22 c31 c32
通过以上分析的一下几点结论： 1. 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 2.在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶 标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制 分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态， 从状态空间上说，xT=[x1 x2 ....xn]T是不完全能控的。 3.在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制， 故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶 标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。
tf t0
tf t0
根据凯莱-哈密顿定理：A的任何次幂可由其0,1，....,(n-1)次幂的和表示，即
A a jk A j
j 0
k
n 1
又因
Φ (t ) e
At
1 k k At k 0 k!
故
k n 1 n 1 t k n 1 t j j Φ (t ) a jk A A a jk j (t ) A j k! j 0 k 0 k! j 0 j 0 k 0
在多输入系统中，M是n*nr矩阵，不象在单输入系统中是n*n方阵，其秩的确定一般 来说要复杂一些。由于矩阵M与MT的积是方阵，而它的非奇异性等价于M的非奇异 性，所以在计算行比列少的矩阵的秩时常用rankM=rankMMT的关系，通过计算方阵 MMT的秩确定M的秩。
3
线性连续定常系统能观性
控制系统大多采用反馈控制形式。在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态 变量组合而成。但并非所有的系统的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否 通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的能观测问题。 能观性所表示的是输出y(t)反映状态矢量x(t)的能力，与控制作用没有直接关系，所 以分析能观性问题，只需从齐次状态方程和输出方程出发，即
2.线性定常系统的能控性判别
ˆ,B ˆ) (A
ˆ B
2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 单输入系统
1 0 0 x x u; y c1 c2 x 0 2 b2 1 1 0 x x u; y c1 c2 x 0 1 b2 1 1 b1 x x u; y c1 c2 x 0 0 1
转换成约旦标准型的判别方法
线性时不变系统的状态空间表达式为
x Ax ;
(1) A为对角线矩阵
x (t0 ) x0 c11 c12 c c22 21 C c m1 cm 2 c1n c2 n cmn
y Cx
0 1 2 A Λ 0 n
其中 将上式代解式，有
x (t0 ) A b t j (t0 )u( )d A j b j
j 0
0
n 1
j
tf
n 1
j 0
其中
j j (t0 )u( )d
t0
tf
由于u(t)为标量，又是定限积分，所以ɤj也是标量，将上式写成矩阵形式，有
在定义中之所以把能观性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态， 便可根据给定的控制量(输入)，利用状态转移方程 x (t ) Φ (t t0 ) x (t0 ) tt Φ (t ) Bu( ) d 0
3.1定常系统能观性的判别
一种是对系统进行坐标变换，将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后 根据标准型下的C阵，判别其能观性。 另一种方法是直接根据A阵和C阵进行判别。
2.2 直接从A与B判别系统的能控性 单输入系统
x Ax bu
Ab A2b An1b]
t t0
其能控的充分必要条件是由A、b构成的能控性矩阵
M [b
证明 公式的解为
满秩，即rankM=n。否则，当rankM<n时，系统为不能控的。
x (t ) Φ (t t0 ) x (t0 ) Φ (t )bu( ) d , t t0
x (t ) C 1 y (t )
可是在一般情况下，输出量的维数总是小于状态变量的个数，即m<n。 为了能唯一地求出n个状态变量，不得不在不同的时刻多测量几组输出数据y(t0)， y(tf)，使之能构成n个方程式。倘若t0, t1,tf相隔太近，n个方程虽然在结构上是独立 的，但其数值可能相差无几，而破坏了其独立性。因此，在能观性定义中，观测时 间应满足tf>t0的要求。
x (t0 ) [b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ab
0 1 A2b An 1b] n 1
要使系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式(3-21)解出ɤj来， 因此，必须保证
M [b
Ab
A2b An 1b]
其秩必须等于n。判据得证。 在单输入系统中， 其传递函数阵为