【机械制图与AUTOCAD】第5章点、直线和平面的投影

X
c' d'
O
结论：如果两个点的某面 投影重合时，则对该投影 面的投影坐标值大者为可 见，小者为不可见。
c (d)
作图时将不可见 点加括号。
例：已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm， 求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。
解：由已知条件知：
Z
XC=XD ZC=ZD YC-YD=15mm
V X
V
a'
A
O a H
V V
a´
a´
A
a
X
ax
X
x
O
O
a H
a H
实际作图时不画
a´
投影面边框。
ax
X
O
a
点的两面投影规律：
（1）点的两面投影连线垂直于相应的投影轴，即 a'a⊥ox； （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离，
即： a'ax=Aa aax=Aa'
点的三面投影
水平线 V
a' A X a H
a'
Z b' a" W
B b"
bY
Z
b' a" b"
X
O
a βγ
YW
b
1、ab=AB=实长 YH
2、 a′b′ ∥OX轴 ，
a" b" ∥ OYW轴
3、 α =0°， β 、γ反映
实际大小
侧平线
Z
V
b'
W
B
b"
X
a' b
A
O
a"
a H
Z
b'
a'
X
O
b
Y b"
a"
YW
a YH
k" b"
a'
a"
d'
d"
Xc
O
YW
a k b d
YH
3) 交叉两直线
V a'
Z
a" W
X
O YW
Ha V
YH Z
a' az W
a"
X
ax A O
a ay
H
Y
Z
a'
a"
X
O
YW
a
YH
规定：空间点A用大 写字母表示，在H面 的投影用a，在V面 的投影用a'，在W面 的投影用a"表示。
点的三面投影规律： （1）点的投影连线垂直于投影轴。
即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点的坐标，也就是该点到相应
a'
b
Z
b'
Y
a"(b")
X
O
YW
ab
YH
1、W面投影积聚为一点。 2、 a'b' =ab=AB=实长 3、ab⊥OYH轴 ， a'b' ⊥ OZ 轴 γ =90°，α、 β =0°
投影面垂直线的投影特性
1. 直线在所垂直的投影面上的投影积聚为 一点。
2. 直线在另外两个投影面上的投影垂直于相 应的轴（所垂直投影面上的坐标轴），且反 映实际长度。
点C的x、y坐标为0，
故点C为z轴上的点。
5.2.3 两点的相对位置和重影点
1. 两点的相对位置（上、下、左、右、前、后）
要在投影图上判断空间两点的相对位置，应根据这两点 在每个的面投影关系和坐标差来确定。
例：由投影图判断A、B两点的空间位置。
Z b'
b"
（1）由A、B两点V、H面投 影可确定点A在点B左方。
相交541平面的表示法用几何元素表示平面不在同一直线上的三点一直线和线外一点用迹线表示平面了解课件6542各种位置平面的投影特性水平面正平面侧平面对三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面平行面一般位置平面一般位置平面其特性为
5.1 投影法的基本知识
• 投影的概念 • 投影——空间物体在光线的照射下，在地上或墙上产生影子，
解：（1）量取坐标值；
a'
a"
10
（2）作点的投影。
X 20
10 O
YW
a b
YH
例2：已知各点的两面投影，求作其第三投 影，并判断点对投影面的相对位置。
z
a'
b'
x a
b
a" c' c" c o b"
点A的三个坐标值均 不为0，点A为一般位 yw 置。
点B的Z坐标为0，故点 B为H面上的点。
yH
铅垂线
Z
V
W a'
X
b'
A a"
b"
a(b B
H
)
Y
Z
a'
a"
b' X
b"
O
YW
a(b
)
YH
1、H面投影积聚为一点。 2、 a" b" = a'b' =AB=实长 3、 a'b' ⊥OX轴 ， a" b" ⊥ OY W 轴 α =90°， β 、 γ=0°
侧垂线
Z
V
a' b'
W
a"(b")
X
AB
a H
e'
X
Z
f ' e'（' f"）
O
侧面投影积聚 为一点。
YW
e
ef=e'f '=EF
f
YH
ef⊥OYH，e'f'⊥OZ 。
正垂线 V
Z B
a' ( b' b" W
X
) B A a" b
AH a Y
Z
a' ( b'
b" a"
X)
O b
YW
a YH
1、V面投影积聚为一点。 2、 a" b" =ab=AB=实长 3、ab⊥OX轴 ， a" b" ⊥ OZ 轴 β=90°，α、 γ=0°
Z b' b"
a'
O a"
X
b
YW
a
YH
5.3.1 各种位置直线的投影特性
1. 一般位置直线
V
Z
b' B b" W
a'
βγ
X
A
α
a
b
a"
H
Y
Z b' b"
a'
O a"
X
b
YW
a
YH
直线的三面投影长度均小于实长，三面投影均倾斜于 投影轴，但不反映空间直线对投影面倾角的大小。
2. 投影面垂直线
1）铅垂线：直线⊥H面，∥V、W面。
b'
b"
X
O YW
b
a
YH
1、点A在V面上，故 YA=0 2、点B在X轴上，故ZB= YB =0 3、点C在原点上，故
Zc= Yc = Xc =0
点A在点B的上方（ZA＞ZB) 点A在点B的右方（XA＜XB) 点A在点B的前方（YA＞YB)
V a'(b')
B
Z b" W
X
A
O a"
b
a H
a（' b'
c
H
ABC ∥H面 , abc=ABC
2. 积聚性
C D
c（d）
H
E
D
F
d ef
H
直线或平面垂直于投影面时，投影积聚成点或直线。
3. 类似性
E F
H
f
e
L K
M
k H
l m
直线的投影仍是直线，平面的投影仍是平面。
4. 定比性
E M F
H
f me
直线上两线段长度之比， 与其投影长度之比相等。
FM : ME=fm : me
Z
正面投影
d'
d"
c'd'=CD
c'
γ α
c"
X
O
cd
水平投影cd∥OX 侧面投影c"d"∥OZ YH
X
YW
Z
V
d' W
c'
D d"
c"
Hc d Y
c'd'与OX、OZ的夹角α、γ等于CD对H、W面的倾角。
3）侧平线：平行于W面，对V、H面倾斜
e' f'
Z e"
β α
f"
侧面投影 e"f"=EF
X
5. 从属性
E M F
B
A
C
H
f me
b
H
a
c
直线上的点或平面上的点和直线，投影必在直线或平面上 。
5.2 点的投影
5.2.1 点的三面投影及投影规律
过空间点A作投射 S
线垂直于H 面，投
A 射线与H 面的交点a
为点A 在H 面上的
投影。
B
一个投影不能确 定空间点的位置
a(b)
点的两面投影
过A作垂直于V、H 面的投射线A a´、 Aa，分别与H面交 于a，与V面交于a´ ，a、 a´即为点A的 两面投影。
投射线互相 平行且垂直 于投影面
P 投影面
特性：投影大小与物体和 投影面之间距离无关。
2）斜投影法：投影线倾斜于投影面。
投射线互相 平行但不垂 直于投影面
P
特性：投影大小与物体和投 影面之间距离无关。
投射方向
5.1.2 平行投影的特性
1. 实形性
A
B
B
A
C
a b
H
AB ∥H面 , ab=AB
b
a
投影面的距离。 5.2.2 点的三面投影与直角坐标的关系
将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、W当作坐标面，投影轴 ox、oy、oz当作坐标 轴，o 作为原点。 点A的空间位置可以用直角坐标（x，y，z）来表示。
点A的 X坐标值=oax =aay=a'az=Aa"反映点A到W面的距离。 Y坐标值=oay=aax=a"az=Aa'反映点A 到V面的距离。 Z坐标值=oaz=a'ax=a"ay=Aa反映点A到H面的距离。
b
YW
点的各面投影均 在直线的同面投
k
a
影上，则该 点 必在此直线上。
YH
定比性：直线上的点分割直线之比，在投影后
保持不变。
Z
b'
b"
k'
k"
a'
a"
O
X
b
YW
k
a
YH
即：AK: KB=ak: kb=a'k': k'b'=a"k": k"b"
例1：试在直线AB上取一点C，使AC:CB=1:2，求作 C点。
）
Y Z b" a"
X
O YW
b
a YH
点A在点B的正前方(XA=XB ZA=ZB, YA＞YB )点A和点B 称为V面上的重影点。
5.3 直线的投影
课件5
直线的投影:直线的投影一般为直线，可由直线上两点的同面投 影连线确定。
例：已知直线AB 端点坐标为 A（ 20，15，5）, B（5，5，15） 作AB的三面投影 。
a'
X b
（2）由A、B的H、W面投影
a"
可确定A在B前方。
O
YW
（3）由A、B的V、W面投影 可确定A在B下方。
a YH
因此点A位于点B左、前、下方 。
2. 重影点
重影点——空间两点在一个面的投影重合于一点叫做重影点。
如图：C、D两点的水平 投影证明影为一点。
又因点C在点D的正上 方，C点可见，D点被 遮盖。
d
YH
解2：在H面作任一 直线cE，使cE=c'd'。 并截取cM1=c'm'
连dE，过M1作dE的平 行线与cd交于m1 因为m1与m不重合，所 以M不在CD上。
c'
m'
d'
X
O
c M1
m1
m
E
d
2. 两直线相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉
B D
1) 平行两直线：
A
C
投影特性：空间两直 线相互平行，它们的 各组同面投影必定相 互平行。
b
d
a
c
反之，若两直线的各同面投影相互平行，则两直线 在空间一定平行。
★平行的两直线是共面的直线。
2) 相交两直线
C AK
D
B
a
c
dk b
K是两直线的共有点， ∴K在平面上的投影k 必在ab上，又必在cd上 。
交点K的三面投影符 合点的投影规律。
★相交的两直线是共面的直线。
c'
Z c"
k' b'
水平投 影 ef∥OYH ，正面 投影 e'f'∥OZ 。
O
e
YW
f
X
YH
e"f"与OYW、OZ的夹角α、β 等于EF对V、H面的倾角。
V
Z
e' E
f' eF
f H
W e" O
f"
Y
正平线 Z
V
b' W
a'
B b"
X
A
a"
Ha b
Y
Z
a'
a"
X
b' α γ O
b" YW
b a YH
1、a′b′=AB=实长 2、ab∥OX轴 ， a" b" ∥ OZ轴 3、β=0°，α、γ反映 实际大小
解：分点C的投 影必在AB的同 面投影上。 且 ac:cb
=a'c': c'b' =1:2
c' b' a'
X
O
c
b
a 123
例2：已知直线CD及点M的两面投影，判断
M是否在CD上。
z
解：
c'
m'
c" m"
作侧平线CD和点M
d'
d"
的侧面投影，
X
O
由作图知点M的侧面
c
YW
投影不在cd上，所以
m
M不在CD上。
一般位置直线： 有两个不平行于投影轴的投影 投影面平行线： 有两个平行于投影轴的投影 投影面垂直线： 有两个垂直于投影轴的投影 有一个投影积聚成一点
5.3.2 点与直线、直线与直线的相对位置及投