3.2.1 双曲线知识点与题型讲义(选择性必修一)

3.2.1 双曲线知识点与题型讲义
一、知识框架
二、考点解析 考点一 双曲线的定义
【例1】（1）到两定点()()123,0,3,0F F -的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹为（ ） A ．椭圆
B ．两条射线
C ．双曲线
D ．线段
（2）已知双曲线22
:125144
y x C -=的上、下焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若214PF =，则1PF =
（ ） A ．38 B ．24
C ．38或10
D ．24或4
【跟踪训练】
1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线
B ．双曲线右支
C ．双曲线
D ．双曲线左支
2.已知平面中的两点1
2(2,0)F F ，(-2,0)，则满足{}
12|1M MF MF -=的点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆
B ．双曲线
C ．一条线段
D ．两条射线
3．双曲线22
1412
x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点在P 双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）
A ．1
B ．9
C ．1或9
D ．7
点二 双曲线定义的运用
【例2】（1）已知双曲线22
17
x y m -=，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于A 、B 两点，且AB 4=，
2F 为双曲线的右焦点，2ABF ∆的周长为20，则m 的值为 （ ）
A ．8
B ．9
C ．16
D ．20
(2)设12F F 、分别是双曲线2
2
13
y x -=的两个焦点，
P 是该双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的面积等于
A
． B
． C
．D
．
【跟踪训练】
1．已知12,F F 是双曲线22(0)x y m m -=>的两个焦点，点P 为该双曲线上一点，若12PF PF ⊥，且
12PF PF +=m =（ ）
A ．1
B C D ．3
2．已知双曲线C :22
1916
x y -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212||||PF F F =,则
12PF F △的面积等于
A ．24
B ．36
C ．48
D ．96
3．已知点P 是双曲线22
184
x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左､右焦点，若12F PF △的外接圆半径
为4，且12F PF ∠为锐角，则12PF PF ⋅=（ ） A ．15
B ．16
C ．18
D ．20
【例2-2】方程22
1,()22
x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）
A ． 2k >或2k <-
B ．1k >
C ．3k >
D ． 1k >或1k <-
【跟踪训练】
1.若m 为实数，则“12m <<”是“曲线C ：22
12
x y m m +=-表示双曲线”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；
②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； 12PF F S ∆④利用公式＝1
2
×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．
12PF F S ∆(2)方法二：利用公式＝1
2×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．
2．若k ∈R ，则3k >-是方程22
133
x y k k +=-+表示双曲线的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．若曲线22
11x y m m
+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．1m <
B ．0m <
C ．1
02
m -
<< D ．
1
12
m <<
考点三 双曲线标准方程
【例3】在下列条件下求双曲线标准方程 （1）经过两点()()3,0,6,3--；
（2
）a =()2,5-，焦点在y 轴上. (3)过点(3
，离心率e
；
(4)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4
)．
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【跟踪训练】
1．焦点在x 轴上，实轴长为4，虚轴长为( )
A ．22
1412x y -=
B ．22
1124
x y -=
C ．22
14816
x y -=
D ．22
11648
x y -=
2．已知离心率为2的双曲线()222210,0x y a b a b -=>>与椭圆22
184
x y +=有公共焦点，则双曲线的方程
为（ ）
A ．221412
x y -= B ．221124x y -
= C ．22
13y x -= D ．2213x y -= 3．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为34y x =，P 为该双曲线上一点，12,F F 为其
左、右焦点，且12PF PF ⊥，1218PF PF ⋅=，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
13218x y -=
B ．22
11832x y -=
C ．221916
x y -=
D ．22
1169
x y -=
4．已知()5,0F -是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，
垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）
A ．221205x y -=
B ．221520x y -=
C ．22
1169x y -= D ．221916
x y -=
考点四 渐近线
【例4】已知1F 、2F 分别为双曲线22
22:1x y E a b
-=的左、右焦点，点M 在E 上，
1221::2:3:4F F F M F M =，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）
A ．2y x =±
B ．12
y x =±
C ．y =
D ．3
y =±
【跟踪训练】
1．双曲线22
124
x y -=的渐近线方程为（ ）
A ．y =
B ．2
y x =±
C ．12
y x =±
D ．2y x =±
2．双曲线2
233x y -=的顶点到渐近线的距离是__________.
3．已知双曲线22122:1x y C a b -=(0,0)a b >>以椭圆22
2:143
x y
C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则
1C 的渐近线方程为( )
A 0y ±=
B ．0x =
C ．20x =
D 20y ±=
5．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为()16,0F -、()26,0F ，点M 在双曲线C
的右支上，点()0,4N ．若1△MNF 周长的最小值为4，则双曲线C 的渐近线方程为________．。