数学建模第五章线性规划与计算复杂性简介

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一.线性规划的实例与定义
例8.1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利 润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用A、B机器加工， 加工时间分别为每台 2小时和1小时；生产乙机床需用A、 B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可 用于加工的机器时数分别为A机器10小时、B机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各多少台，才能使 总利润最大？
利用单位矩阵I消第一行的
C
T B
为零向量，则
C
T N
被消成
C
T N
C
T B
B
1
N
rN
，而0则被消
成
C
T B
B
1b
Z0
。将消去后
的行向量写到最后一行，删去
原来的第一行，得到一张被称
为单纯表的表格：
(8.7)
xB
xN
I
B－1N B－1b
0
rN
－Z0
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例8.1的标准形式为（8.4），容易看出它的一个初始基
C表T、格A（、8b.及7）数以0写极在为一简个洁矩明阵了中的，方在式表表上达用了高我斯们—需约要当的消全去 法部解信方息程。组从其Ax前=bm行可看出哪些变量是基变量并可直接读 出了对非C应基AT的变基量b0本的高可检（斯行验第-解数约 一及当行x0=消不x（0处去变B－目法）1标b，函C0IB）数T 。值BC其的1NTN最相后反B0一数1b行。又给出
N
)
x
N
CT
x0
(C
T N
CBT B1N )xN
定理8.3
（最优性判别定理）
令
rN
C
T N
C
T B
B
1
N
。
（1）若rN≥0，则x0必为（8.3）的一个最优解。
（2）记 rN (rj ) jN 。若 j N，rj<0，则当B为非退
化可行基时，x0必非最优解。
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证明
（1）若r由N≥（08.，6）由知于，变z量满C足T非x 负 约C束T x，0，x R 必有xN≥0 。于是，
定义8.1 称n 维空间中的区域R为一凸集，若x1 , x2 ∈ R及 λ∈(0, 1)，有λ x1 +（1－λ）x2 ∈ R。
为此，我们将采
定义8.2 设R为n维空用间另中一的途一径个来凸定集，R中的点x被称为R的 一个极点，若不存在x1 、义x它2 。∈ R及λ∈(0, 1)，使得
x =λ x1 +（1－λ）x2 。
故x0必非最优解。
定理8.3不仅给出了判别一个基本可行解是否为最优解的准则，而且在x0 非最优解时还指出了一条改进它的途径。由于rN在判别现行基本可行解是 否为最优解时起了重要作用，所以rN被称为x0处的检验向量，而rj (j∈N) 被称为非基变量xj的检验数。
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有趣的是上述过程完全可以在以下的单纯形表上进行。先将
j
aij x j bi
min z = CT x
S.t Ax = b
x≥0
（8.3）
其中C 和x 为n 维列向量，b为m 维列
i=1j,1 …,m x ≥0,j=1,…,n
j
向量，b≥0，A为m×n矩阵,m<n且
rank(A)=m。
或更简洁地
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如果根据实际问题建立起来的线性规划问题并非标准形
图8.1
对于例8.1，显然等位线越趋 于右上方，其上的点具有越 大的目标函数值。不难看出， 本例的最优解为x*=(2,6)T ，最 优目标值z*=26 。
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从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言：
（1）可行域R可能会出现多种情况。R可能是空集也可能是非 空集合，当R非空时，它必定是若干个半平面的交集（ 除非 遇到空间维数的退化）。R既可能是有界区域，也可能是无界 区域。（2）在R非空时，线性规划既可以存在有限最优解，
定义8.1说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中；而定义
8.2说明，若x是凸集R的一个极点，则x不能位于R中任意两
点的连线上。不难证明，多胞形必为凸集。同样也不难证
明，图8.1中R的顶点均为R的极点（R 也没有其他的极点）
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三、基本解与基本可行解 给m 定<n一秩个r标(A准)=形m。式取的出线A性的规m个划线问性题无（关8的.3列），，这其些中列A=构(a成ij)mAx的n ，一
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（线性规划基本定理）
定理8.2
线性规划（8.3）具有以下性质：
（1）若可行域R≠Φ，则必存在一个基本可行解。
（2）若问题存在一个最优解 ，则必存在一个最优的基本 可行解。
定理8.2并非说最优解只能在基本可行解（极点）上达到， 而是说只要（8.3）有有限最优解，就必定可在基本可行 解（极点）中找到。
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三、线性规划的图解法
为了了解线性规划问题的特征并导出求解它的单纯形法，我 们先应用图解法来求解例8.1。满足线性规划所有约束条件 的点称为问题的可行点（或可行解），所有可行点构成的集
合称为问题的可行域，记为R。对于每一固定的值z，使目标 函数值等于z的点构成的直线称为目标函数等位线，当z变动
时，我们得到一族平行直线（图8.1）。
从模型本身讲，线性规划显然应属连续模型。但定理 2表明， 如果线性规划有有限最优解，我们只需比较各基本可行解上 的目标函数值即可找到一个最优解，而问题的基本可行解至 多只有有限个，从而问题化为一个从有限多个点选取一个最 优点 的问题。正是基于这样一种思路，Dantzig提出了求解 线性规划的单纯形法。也正因为如此，我们把线性规划列入 了离散模型，因为求解它的单纯形法更具有离散模型问题的 算法特征。
二、线性规划的标准形式
线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件 可以是不等式也可以是等式，变量可以有非负要求也可以没有非负要 求（称这样的变量为自由变量）。为了避免这种由于形式多样性而带 来的不便，规定线性规划的标准形式为
例8.2
利用矩阵与向量记为
min
S.t
n
n j 1
c
j
x
式，可以将它如下化为标准形式：
（1）若目标函数为max z =CT x，可将它化为min－z =－CT x （2）若第i个约束为ai1x1+…+ainxn≤bi，可增加一个松驰变
量yi，将不等式化为ai1x1+…+ainxn+yi = bi，且yi≥0。 若第i个约束为ai1x1+…+ainxn≥bi，可引入剩余量yi，将 不等式化为ai1x1+…+ainxn－ yi = bi，且yi≥0。
为（8.3）的一个基本解。为了叙述方便起见，这里我们将xB
放在了前面，但这并不影响到问题实质。显然，基本解不一定 是可行解，因为还存在着非负约束，当一个基本解同时为可行 解时（即B-1b≥0 ），称之为（8.3）的一个基本可行解。进而，
若B-1b>0 ，则称x=（B-1b ，0）为（8.3）的一个非退化的基
本可行解，并称B为非退化的可行基。由于基矩阵最多只有 种不Cnm同的取法，即使A的任意m解均线性无关，且对应的基本解 均可行，（8.3）最多也只能有个不同的基本可行解。
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四、基本可行解与极点的等价定理
在线性规划的求解中，下列定理起了关键性的作用。在这里， 我们不加证明地引入这些定理。。
故x0为（8.3）的一个最优解。
（2）（8.6）式给出了x处的目标值与x0处目标值之间的联系。现设
rj 0,j N 及j≠j0仍令xj=0 。由非退化假设，B－1b>0 ，
根0 据（7.15）式知，当且充分小时，仍有xB>0 。此时对应的x仍
为可行解，但由（8.6），其目标函数值：
z CT x CBT B1b rj0 xj0 CBT B1b CT x0
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例1的数学模型：设该厂生产x1台甲机床和x2台乙机床时总
利润最大，则 x 、x 应满足
max 4x1 + 23x
s.t
2x1 + x
2
≤10
1
2
x + x ≤8
(8.1)
1
2
x 2
≤7
x 1
,
x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ≥0
（8.1）式中4x1 + 3x2表示生产x1台甲机床和x2台乙机床的
总利润，被称为问题的目标函数，当希望使目标函数最大时，
（3）若xi为自变量，则可令 xi xi xi,其中 xi 、xi ≥0
例如
例18.1并非标准形式，其标准形式为
min ― 4x1―3x2 s.t 2x1 + x2 + x3 = 10 x1 + x2 + x4 = 8 x2 + x5 = 7 x1 , x2 , x3 , x4, x5≥0
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B=I（以x3、x4、x5为基变量），且CB已经为零，故我们已
线性规划与计算复杂性简介
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§8.1 线性规划问题
一、线性规划的实例与定义 二、线性规划的标准形式 三、线性规划的图解法 四、基本可行解与极点的等价定理 五、求解线性规划的单纯形法 六、初始可行解的求法——两段单纯形法
§8.2 运输问题
一、运输问题的数学模型 二、初始可行解的选取 三、最优性判别
§8.3 指派问题
一、指派问题的数学模型 二、求解指派问题的匈牙利算法
§8.4 计算复杂性问题的提出
一、P类与NP类，NP完全性 二、有关离散问题模型及其算法的几点附加说明
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§8.1 线性规划问题
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在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源 来安排生产以取得最大经济效益的问题，此类问题构 成了运筹学的一个重要分支——数学规划，而线性规 划（Linear Programming, 简记LP）则是数学规划的 一个重要部分。自从1947年G·B·Dantzig提出求解线性 规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上日趋成 熟 ，在应用上日趋广泛，已成为现代管理中经常采 用的基本方法之一。
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五、求解线性规划的单纯形法
Dantzig单纯形法的基本步骤如下：
（步1）取一初始可行基B（一般取法见后面的两段单纯形
法），再用高斯—约当消去法求出初始基本可行解x0，编
制成所谓的初始单纯形表；
（步2）判断x0是否最优解，如果x0是最优解，输出x0，停，
否则到步3； （步3）按一改进准则，将一个非基变量转变为基变量， 而将一个基变量转变为非基变量。这相当于交换B与N的一 个列，同样可用高斯—约当消去法，运算可以通过单纯形 表上的“转轴运算”实现。
个m 阶非奇异子矩阵B，称B为A的一个基矩阵。 A的其余n－m列构成一个m×(n－m)矩阵N。称对应B的列的变量 为记基为x变N 量。（共有m个），记它们为xB 。其余变量称为非基变量，
对线性规划（8.3），取定一个基矩阵B，令非基变量xN =0，
可以唯一地解出xB ，xB=B-1b 。这样得到的点x=（B-1b，0）称
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设B为一非退化的可行基，x=（B-1b，0）为其对应的基
本可行解。现在，我们先来讨论如何判别x0是否为最优
解。为此，考察任一可行解
代入目x标B 函 B数，1b 得 B到1
Nx
（8.5）
N
x 。xxNB由 Ax=b可得
Z
C
T B
xB
C
T N
x
N
C
T B
B 1b
(C
T N
C
T B
B
1
记为max；反之，当希望使目标函数最小时，记为min。（8.1）
中的几个不等式是问题的约束条件，记为S.t（即Subject
to）。由于（8.1）式中的目标函数及约束条件均为
线性函数，故被称为线性规划问题。总之，线性规划
问题是在一组线性约束条件的限止下，求一线性目标
函数最大或最小的问题。
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也可以不存在有限最优解（其目标函数值无界）。（3）若线 性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的
可行域R的“顶点”。
上述论断可以推广到一般的线性规划问题，区别只在于空间
的维数。在一般的n维空间中，满足一线性等式aix=bi的点集
被称为一个超平面，而满足一线性不等式aix≤bi （或
aix≥bi ）的点集被称为一个半空间（其中ai为一n维行向量，
bi为一实数）。若干个半空间的交集被称为多胞形，有界的
多胞形又被称为多面体。易见，线性规划的可行域R必为多胞 形（为统一起见，空集Φ也被视为多胞形）。
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在一般n维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些
困难。在图8.1中顶点可以看成为边界直线的交点，但这一
几何概念的推广在一般n维空间中的几何意义并不十分直观。
定理8.1 （基本可行解与极对点定的理等证价明定有理兴）趣的
设A为一个秩为m的m×读n矩者阵可（以n参>m阅）bD为.Gm.维列向量，
记R为（8.3）的可行域。则x鲁为恩R的伯极杰点著的的充“分线必性要条件为
x
是
Ax b x 0
的基本可行解与。非线性规划引论” 一书第二章
定理8.1既提供了求可行域R的极点的代数方法，又指 明了线性规划可行域R的极点至多只有有限个.