第7讲 不等式的恒成立与存在性问题
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取值范围为 答案 {λ|λ≥1} .
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解析 代数式(m-n)2+(m-ln n+λ)2表示点(m,m+λ)与点(n,ln n)之间的距离的平
方,而点(m,m+λ)在直线y=x+λ上,点(n,ln n)在曲线y=ln x上,若直线y=x+λ上的点
2 ,则直线一定在曲线上方,即 与曲线y=lnx上的点之间的最小距离大于等于
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第 7讲
不等式的恒成立与存在性问 题
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第7讲 不等式的恒成立与存在性问题
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1.若关于x的不等式x2+ax+16≥0对x≥0恒成立,则实数a的取值范围是
.
答案 [-8,+∞)
解析
16 当x=0时,16≥0恒成立,当x>0时,-a≤ x =8,∴a≥-8. x min
故实数a的取值范围是(1,5].
a 1或a 4, 1 a 2 5, 解得4≤a≤5. f (1) 1 2(a 2) a 0, f (5) 25 10(a 2) a 0,
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4.已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2对任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,则实数λ的
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2ax (a 1) 2 ,0 x 1, 2 = 2 x 2ax (a 1)2 , a x 0, 2ax a 2 2a 1, 1 x a,
此时f(x)≤0,x∈[-1,1]无解;
( x a) 2 x 2 2a 1,0 x 1, 当a≤-1时,f(x)= 2 2 ( x a ) x 2a 1, 1 x 0
4
2
1 令g(x)=m m-6,x∈[1,3]. x + 2
3 4
2
当m>Байду номын сангаас时,g(x)在[1,3]上是增函数,
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所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,
6 6 所以m< ,则0<m< ; 7 7
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当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)⇒m-6<0, 所以m<6,则m<0.
6 综上所述,m的取值范围是m< . 7
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【方法归纳】
将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理,一般有下面
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两种类型;一是若所给函数f(x)能直接求出最值,则有:①f(x)>0恒成立⇔f(x)min> 0;②f(x)≤0恒成立⇔f(x)max≤0;二是若所给的不等式能通过恒等变形使参数 与主元分离不等式两端,从而问题转化为求主元函数f(x)的最值,进而求出参 数范围,则有:①f(x)<g(a)恒成立⇔g(a)>f(x)max;②f(x)>g(a)恒成立⇔g(a)<f(x)min (其中a为参数).
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解析 当-1<a<0时,
( x a) 2 x 2 2a 1,0 x 1, f(x)= ( x a)2 x 2 2a 1, a x 0, ( x a) 2 x 2 2a 1, 1 x a
|1 λ | 1 λ>-1.y'= =1,解得x=1,点(1,0)到直线y=x+λ的距离 ≥ 2,解得λ≥1(舍去λ x 2
≤-3).
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5.设函数f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0).若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,则 a的取值
范围是 答案 [-3, 2 -2] .
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3.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞)都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范
围是 答案 解析 (1,5] 令f(x)=x2-2(a-2)x+a,则当Δ=4(a-2)2-4a<0,即1<a<4时, f(x)>0在R上恒成立, .
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适合题意;当Δ≥0,即a≤1或a≥4时,函数f(x)的两个零点都在[1,5]上,则
1 a +2a+1≤0,解得-2- ≤a≤ -2,则-2≤a≤ -2. a = 2 2 2
2
2 2
综上可得实数a的取值范围是[-3, 2 -2].
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题型一 例1
不等式恒成立问题
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设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x, f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围.
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2ax (a 1) 2 ,0 x 1, 2 2 = 2 显然 f ( x )=-2 ax +( a +1) ≤ 0,0 ≤ x ≤ 1 无解 , 则 f ( x )=2 x 2 2 x 2 ax ( a 1) , 1 x 0, 高考导航 a 2 -2ax+(a+1) ≤0,-1≤x≤0有解,若对称轴x= <-1,即a<-2时, f(x)min=f(-1)=a2+4a+ 2 a 3≤0,解得-3≤a≤-1,则-3≤a<-2;若对称轴x= ∈[-1,0),即-2≤a<0时, f(x)min=f 2
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解析 (1)若m=0,则显然-1<0;
m 0, 若m≠0,则 解得-4<m<0. 2 Δ m 4m 0,
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所以实数m的取值范围是(-4,0].
(2)由f(x)<-m+5,得mx2-mx-1<-m+5,
1 3 即m m-6<0. x + 2
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2.若不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是
. 答案
1 , 3
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解析 若a=0,则不等式为-x-1<0,即x>-1,不适合题意,故a≠0;则有
a 0, 1 1 , 解得a<- .故实数a的取值范围是 . 2 3 3 Δ (a 1) 4a(a 1) 0,
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解析 代数式(m-n)2+(m-ln n+λ)2表示点(m,m+λ)与点(n,ln n)之间的距离的平
方,而点(m,m+λ)在直线y=x+λ上,点(n,ln n)在曲线y=ln x上,若直线y=x+λ上的点
2 ,则直线一定在曲线上方,即 与曲线y=lnx上的点之间的最小距离大于等于
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不等式的恒成立与存在性问 题
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1.若关于x的不等式x2+ax+16≥0对x≥0恒成立,则实数a的取值范围是
.
答案 [-8,+∞)
解析
16 当x=0时,16≥0恒成立,当x>0时,-a≤ x =8,∴a≥-8. x min
故实数a的取值范围是(1,5].
a 1或a 4, 1 a 2 5, 解得4≤a≤5. f (1) 1 2(a 2) a 0, f (5) 25 10(a 2) a 0,
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4.已知不等式(m-n)2+(m-lnn+λ)2≥2对任意m∈R,n∈(0,+∞)恒成立,则实数λ的
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2ax (a 1) 2 ,0 x 1, 2 = 2 x 2ax (a 1)2 , a x 0, 2ax a 2 2a 1, 1 x a,
此时f(x)≤0,x∈[-1,1]无解;
( x a) 2 x 2 2a 1,0 x 1, 当a≤-1时,f(x)= 2 2 ( x a ) x 2a 1, 1 x 0
4
2
1 令g(x)=m m-6,x∈[1,3]. x + 2
3 4
2
当m>Байду номын сангаас时,g(x)在[1,3]上是增函数,
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所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,
6 6 所以m< ,则0<m< ; 7 7
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当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以g(x)max=g(1)⇒m-6<0, 所以m<6,则m<0.
6 综上所述,m的取值范围是m< . 7
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【方法归纳】
将恒成立问题转化为求函数的最值问题来处理,一般有下面
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两种类型;一是若所给函数f(x)能直接求出最值,则有:①f(x)>0恒成立⇔f(x)min> 0;②f(x)≤0恒成立⇔f(x)max≤0;二是若所给的不等式能通过恒等变形使参数 与主元分离不等式两端,从而问题转化为求主元函数f(x)的最值,进而求出参 数范围,则有:①f(x)<g(a)恒成立⇔g(a)>f(x)max;②f(x)>g(a)恒成立⇔g(a)<f(x)min (其中a为参数).
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解析 当-1<a<0时,
( x a) 2 x 2 2a 1,0 x 1, f(x)= ( x a)2 x 2 2a 1, a x 0, ( x a) 2 x 2 2a 1, 1 x a
|1 λ | 1 λ>-1.y'= =1,解得x=1,点(1,0)到直线y=x+λ的距离 ≥ 2,解得λ≥1(舍去λ x 2
≤-3).
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5.设函数f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0).若存在x0∈[-1,1],使f(x0)≤0,则 a的取值
范围是 答案 [-3, 2 -2] .
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3.已知对于任意的x∈(-∞,1)∪(5,+∞)都有x2-2(a-2)x+a>0,则实数a的取值范
围是 答案 解析 (1,5] 令f(x)=x2-2(a-2)x+a,则当Δ=4(a-2)2-4a<0,即1<a<4时, f(x)>0在R上恒成立, .
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适合题意;当Δ≥0,即a≤1或a≥4时,函数f(x)的两个零点都在[1,5]上,则
1 a +2a+1≤0,解得-2- ≤a≤ -2,则-2≤a≤ -2. a = 2 2 2
2
2 2
综上可得实数a的取值范围是[-3, 2 -2].
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题型一 例1
不等式恒成立问题
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设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x, f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于x∈[1,3], f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围.
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2ax (a 1) 2 ,0 x 1, 2 2 = 2 显然 f ( x )=-2 ax +( a +1) ≤ 0,0 ≤ x ≤ 1 无解 , 则 f ( x )=2 x 2 2 x 2 ax ( a 1) , 1 x 0, 高考导航 a 2 -2ax+(a+1) ≤0,-1≤x≤0有解,若对称轴x= <-1,即a<-2时, f(x)min=f(-1)=a2+4a+ 2 a 3≤0,解得-3≤a≤-1,则-3≤a<-2;若对称轴x= ∈[-1,0),即-2≤a<0时, f(x)min=f 2
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解析 (1)若m=0,则显然-1<0;
m 0, 若m≠0,则 解得-4<m<0. 2 Δ m 4m 0,
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所以实数m的取值范围是(-4,0].
(2)由f(x)<-m+5,得mx2-mx-1<-m+5,
1 3 即m m-6<0. x + 2
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2.若不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对任意实数x都成立,则实数a的取值范围是
. 答案
1 , 3
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解析 若a=0,则不等式为-x-1<0,即x>-1,不适合题意,故a≠0;则有
a 0, 1 1 , 解得a<- .故实数a的取值范围是 . 2 3 3 Δ (a 1) 4a(a 1) 0,