(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(答案解析)

一、选择题
1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．65︒
B ．55︒
C ．45︒
D ．25︒A
解析：A
【分析】 由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．24C
解析：C
【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．
【详解】
解：∵DE 平分∠ADC ，
∴∠ADE=∠CDE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，
∴∠ADE=∠CED ，
∴∠CDE=∠CED ，
∴CE=CD ，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．
3．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =
（ ）
A ．6
B ．12
C ．15
D ．30C
解析：C
【分析】 延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，
BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得22
2
462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．
【详解】
解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，
在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，
ADG ABE(SAS)∴△≌△，
,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，
45EAF ∠=︒ ，
45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，
GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，
GAF=EAF ∴∠∠，
又AF=AF ，
AFG AEG ∴△≌△(SAS)，
EF=FG ∴，
设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，
在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，
()()22
246=2x x ∴+-+，
解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，
AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522
∴⨯⨯△△， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.
4．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）
A ．50°
B ．65°
C ．100°
D ．130°A
解析：A
【分析】 根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．
【详解】 解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，
∵∠B +∠D ＝100°，
∴∠B ＝12
×100°＝50°， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．
5．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）
A ．2020
B ．2019(5)
C ．2020(5)
D ．20205B
解析：B
【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解
【详解】
解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A
∵1212B A A A =
∴112A B =
∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==
…
∴第n 个正方形的边长为15)n -
∴第2020个正方形的边长为2019(5)
故选：B ．
【点睛】
本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．
6．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )
A ．3
B ．23
C ．33
D ．43D
解析：D
【分析】 根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；
【详解】
如图，AC 与BD 相较于点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，
∴AC BD ⊥，2AO =，
又∵∠ABC=60゜，
∴30ABO ∠=︒，
∴24AB AO ==，
∴224223BO =-=，
∴243BD BO ==；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
7．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）
A ．BAD BDA ∠=∠
B ．AB DE =
C ．DF EF =
D ．D
E 平分ADB ∠D
解析：D
【分析】
先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠DAB=∠EBA ，
∵点F 是AB 的中点，
∴AF=BF ，
∵∠AFD=∠BFE ，
∴△ADF ≌△BEF ，
∴AD=BE ，
∵AD ∥BE ，
∴四边形AEBD 是平行四边形，
A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；
B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；
C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEB
D 是菱形，故该选项不符合题意；
D 、当D
E 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
8．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4C
解析：C
【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，
∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，
∵DA=DF ，DG=DG ，
∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，
∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12
（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，
∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC ，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（ ）
A ．212a
B ．214a
C ．21
8a D ．2116
a B 解析：B
【分析】
由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214
a 即可． 【详解】
∵正方形OMNQ 与ABCD ，
∴∠DOC=∠MOQ=90°，
∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，
∴∠DOE=∠COF ，
又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，
∴∠ODE=∠OCF=45°，
∵DE CF =，
∴△DOE ≌△COF （AAS ），
∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，
∵S △DOC =2ABCD 11=44
S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214
a ． 故选择：B ．
【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．
10．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）
A ．2180βα-=︒
B ．60βα-=︒
C ．180αβ+=︒
D ．2βα=A 解析：A
【分析】
根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．
【详解】
Rt Rt ABC BAD △≌△
,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠
M 是AB 的中点，
11,22
CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===
∴∠CAM=∠MCA ，
Rt Rt ABC BAD △≌△
AC BD ∴=
()AMC BMD SSS △≌△
1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠
CMD α∴=∠
180AMC BMD =︒-∠-∠
1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠
4180CAM =∠-︒
90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，
AEB β=∠
=180BAD ABC ︒-∠-∠
180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠
2CAM =∠
2180βα∴-=︒
故选：A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
二、填空题
11．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．
8【分析】过点A 作AM ⊥BC 过点A 作AN ⊥BC 交
DE 于N 证明△AFN ≌△BFE 得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90
解析：8
【分析】
过点A 作AM ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，证明△AFN ≌△BFE ，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵DE BC ⊥，
∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，
∵∠BFE=∠AFD ，∠B=∠C ，
∴∠BFE=∠AED=∠CDE ，
∴AD=AF ，
过点A 作AM ⊥BC ，
在△ABC 中，∵AB=AC ，
∴M 为BC 的中点，
∴BM=12BC =6， 在Rt △ABM 中，AM=2222106AB BM -=-=8
∵F 为AB 中点，FE ⊥BC ， ∴FE 为△ABM 的中位线，BF=AF=
12AB =5， ∴AD=AF=5，BE=132
BM =， 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，
∵AF=BF ，∠AFN=∠BFE ，∠ANF=∠BEF=90°，
∴△AFN ≌△BFE ，
∴AN=BE=3，
在Rt △AND 中，
DN=2222534AD AN -=-=，
∵AD=AF ，AN ⊥DF ，
∴DF=2DN=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．
12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计
算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图
解析：12
【分析】
连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．
【详解】
如图，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=1
2AC=
1
2
×6=3，
∵AB＝5，由勾股定理得：224
AB OA
-=，
∴BD=2OB=8，
∵AB∥CD，
∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，
∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124
⨯⨯． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．
13．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．
【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠
可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】
解析：103
【分析】
首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．
【详解】
解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴22125+=13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13-5=8，
设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，
在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，
解得：x=103
． 故答案为：
103． 【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．
14．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．
145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进
而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=
解析：14.5
【分析】
根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长
=AD+CD+EF，根据已知求解即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分
∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF，OF=OE=2.5
∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF
=AE+DE+CD+EF
=AD+CD+EF
=19
2.5 2
×2
=14.5．
故答案为：14.5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．
15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于
__________．
48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定
理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故
解析：4.8
【分析】
连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．
【详解】
连接OP ，
四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==
,AC BD ∴⊥
118,622
BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=
,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥
∴四边形OEPF 为矩形，
FE OP ∴=
当OP BC ⊥时，OP 有最小值，
此时1122
OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810
OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点睛】
本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．
18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构
造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
解析：18-a．
【分析】
过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．
【详解】
过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，
A，
∵点()9,9
AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，
四边形AEOD为正方形，
⊥，∠EAD=90°，
∵AB AC
∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
=，AE=AD，
∵AB AC
∴△AEB≌△ADC（SAS），
∴BE=CD，
∵EB=EO-BO=9-a，
∴CD=9-a，
OC=OD+CD=9+9-a=18-a，
故答案为：18-a．
【点睛】
本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
17．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38
CDF
∠=︒，则EFD
∠的度数是_________．
64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求
出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴
解析：64°
【分析】
先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出
∠EFD=∠BFE=1
2
∠BFD，即可得出结论．
【详解】
解：∵ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，
∵∠CDF=38°，
∴∠CFD=52°，
∴∠BFD=180°-52°=128°，
∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，
∴∠EFD=∠BFE=1
2∠BFD=1
2
×128°=64°．
故答案为：64°．
【点睛】
本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．
18．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若1
DE=，则BF的长为__________．
【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x 在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可
得EF2=（2-x ）2+12从而得到关于 解析：51-
【分析】
连接FE ，根据题意得CD=2，AE=5，设BF=x ，则FG=x ，CF=2-x ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（5-2）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（2-x ）2+12，从而得到关于x 方程，求解x 即可．
【详解】
解：连接EF ，如图，
∵E 是CD 的中点，且CE=1
∴CD=2，DE=1
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=2
∴2222215AD DE +=+
设BF=x ，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x ，
∴52，
在Rt △GFE 中，2222252)EF FG GE x =+=+
在Rt △CFE 中，CF=BC-BF=2-x ，CE=1
∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+
∴222252)(2)1x x +=-+
解得：=51x ，即51,
51
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．
19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．
65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出
∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得
∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形
解析：65
【分析】
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．
【详解】
解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠F=∠BAE=50°，．
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠D=∠B=65°．
故答案是：65．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝42，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为_____．
【分析】连接CE过点C作交AB的延长线于点H
设AE=x则BE=8-xCE=AE=x在根据勾股定理即可得到x的值【详解】如图：连接CE过点C作交AB的延长线于点H平行四边形ABCD中设AE=x则BE=
解析：20 3
【分析】
连接CE，过点C作CH AB
，交AB的延长线于点H，设AE=x，则BE=8-x，CE=AE=x，在根据勾股定理，即可得到x的值．
【详解】
如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，
平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=
45,2CBH BC ∴∠=︒=
90,H ∠=︒
45,BCH ∴∠=︒
4CH BH ∴==
设AE=x ，则BE=8-x ，
EF 垂直平分AC ，
CE AE x ∴==， 在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，
()222484x x ∴+-+=， 解得：203
x =， AE ∴的长为
203， 故答案为：
203
． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
三、解答题
21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．
（1）求证：E F ∠=∠；
（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
解析：（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析
【分析】
（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；
（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=CB ，AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠CBD ，
∴∠ADE=∠CBF ，
在△ADE 和△CBF 中，
AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△CBF （SAS ），
∴∠E=∠F ；
（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，
理由：∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，
∴∠ADB=∠CBD ，
∴∠ABD=∠ADB ，
∴AB=AD ，
∴平行四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∴AC ⊥EF ，
∵DE=BF ，
∴OE=OF ，
又∵OA=OC ，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
∵AC ⊥EF ，
∴四边形AFCE 是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．
（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．
解析：（1）5秒或
373秒；（2）存在，163秒或72秒或685
秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．
【详解】
解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，
当N从D运动到C时，
∵BC=13cm，CD=21cm，
∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，
解得t=5，
当N从C运动到D时，
∵BM=AB-AM=16-t，
CN=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=37
3
，
∴当t=5秒或37
3
秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，
作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，
∵MH=HB=1
2BM=
1
2
（16-t），
由AH=DN得2t＝1
2
(16−t)+t，
解得t＝16
3
秒；
当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=1
2
（16-t）+t，
解得t=68
5
秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t ＝72（秒）；
Ⅲ．当BM=BN ，当N 从C 运动到D 时，
则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ，
∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+（16-2t ）2，
∴（16-t ）2=122+（16-2t ）2，
即3t 2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=
163秒或72秒或685
秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．
（1）求线段AB 的长．
（2）若3BP =，求ABP △的面积．
解析：（1）5；（2）6
【分析】
（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；
（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出
∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．
【详解】
解：（1）∵AP 平分∠DAB ，
∴∠DAP=∠PAB ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∵AB ∥CD ，
∴∠PAB=∠DPA
∴∠DAP=∠DPA
∴△ADP 是等腰三角形，
∴AD=DP=2.5，
同理：PC=CB=2.5，
即AB=DC=DP+PC=5；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，
∴∠PAB+∠PBA=12
（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；
在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，
∴AP=2253-=4，
∴△APB 的面积=4×3÷2=6．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．
24．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．
解析：证明见解析．
【分析】
连接AC ，证ABE ACF ≌即可
【详解】
证明：连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．
∵60B ∠=︒，
∴ABC 是等边三角形，
∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
∴
ABE ACF ≌．
∴AE AF =．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 25．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．
（1）求证：AM ∥CN ；
（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．
（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD 且AB CD =．
∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点，
∴12CM CD =，1AN AB 2
=
． ∴CM AN =．
又∵AB ∥CD ， ∴四边形ANCM 是平行四边形
∴AM ∥CN ．
（2）设BH 与CN 交于点E ，
∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，
∴BH ⊥CN ，
∵N 是AB 的中点，
∴EN 是△BAH 的中位线，
∴BE=EH ，
∴CN 是BH 的垂直平分线，
∴CH=CB ，
∴△BCH 是等腰三角形．
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题
问程情境：
已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．
特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点
B ，B '，
C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；
（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．
深入探究：
（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出
''DD OC 的值． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
2'='DD OC
． 【分析】
(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．
（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．
（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.
【详解】
解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．
点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，
''∴=OB OC ，OB OC =．
∴四边形''BB CC 是平行四边形．
又
BC B C ''=，
∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，
BC CD ∴=，90C ∠=︒．
180180904522
-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB
454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．
四边形A B C D ''''是正方形，
90'∴∠=︒OB M
∴四边形OB MC '是矩形
OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，
∴OC=OB′
∴矩形OB MC '是正方形，
（3）2'='
DD OC ．
如图，过D 作DN ⊥B′C′
可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，
∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，
在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，
∵OD=OD ，DN=DC ，
∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)
设OC=a ，则OB=2OC=2a ，
∴ON=OC=OC′=a
∴BC=OB+OC=3a ，
DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a
'='=2． 【点睛】 本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．
27．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．
（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．
（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．
参考答案
解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．
【分析】
（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．
（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．
【详解】
（1）BDE 是等腰三角形，理由是：
由折叠得：EBD DBC ∠=∠，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴//AD BC ，
∴ADB DBC ∠=∠，
∴ADB EBD ∠=∠，
∴BE DE =，
∴BDE 是等腰三角形．
（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，
∴90A ∠=︒，
∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，
解得：3x =，
∴3AE =．
【点睛】
本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．
28．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．
（1）证明：四边形BEFG 是正方形；
（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．
解析：（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）522
【分析】
（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；
（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；
（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．
【详解】
解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，
90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形BEFG 是正方形；
（2）CE CF =，理由如下：
过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，
四边形ABCD 是正方形，
90BAD ∴∠=︒，AB AD =，
90BGA ∠=︒，
90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，
DAH ABG ∴∠=∠，
在Rt ADH 和Rt BAG 中，
90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，
DH AG ∴=，
∵∠DGH =180°-∠AGD =45°
∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°
∴DH =GH =AG
∴1122AG GH AH BG ==
= 又AG CE =，EF BG =，
2EF CE ∴=，
CE CF ∴=；
（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．
设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，
在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，
222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，
解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，
即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，
∵四边形BEFG 是正方形，
∴∠BAD =90°．
∵DK ⊥AG ，
∴∠K =90°．
∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°
∠ADK +∠KAD =90°
∴∠BAG =∠ADK
在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，
90G K AB AD
BAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以Rt△ADK≌Rt BAG，
则AK=BG=12，DK=AG=5，
∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF
∴FK=AG=5
在R t△DFK中，根据勾股定理可得，
DF=2252
+=
DK FK
②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．
方法同①，可得FK=AG=12，
在R t△DFK中，根据勾股定理可得，
DF22122
+=
DK FK
综上所述，DF的长为522
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．。