人教A版(2019)高中数学必修第一册5.3诱导公式教案

5.3 诱导公式
教学目标：
1.理解诱导公式二~四的推导过程，识记诱导公式.
2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简，促进学生直观想象、逻辑推理与数学运算素养的发展，达到水平一的要求.
教学重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的思想方法.
教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意性中发现问题，提出研究方法. 教学过程：
（一）复习导入
教师：回顾利用单位圆定义三角函数.
三角函数的定义核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，显然的一个结论就是终边相同的角的三角函数值相等，由于圆是对称图形，利用这一点能得到什么结论呢?
（二）探究一：诱导公式二的推导
如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P 1.
（1）作P 1，关于原点的对称点P 2，以OP 2为终边的角β与角α有什么关系?
角β，α的三角函数值之间有什么关系?
（2）如果作P 1，关于x 轴（或y 轴）的对称点P 3，（或P 4.），那么又可以得到什么结论? 教师提问：以OP 2为终边的角β可以表示成什么形式?
学生：2,k k βπαπ=++∈Z .
教师：点P 1与P 2在位置上有什么关系?
学生：关于原点对称.
教师：点P 1与P 2两点的坐标间有什么关系?
学生： 横坐标，纵坐标分别互为相反数.
教师：知道了终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角πα+的三角函数值之间的关系吗?
学生：思考，交流，讨论.
教师：设1(,)P x y ，则2(,)P x y --，根据三角函数的定义可知：sin ,cos ,tan y y x a x
αα===， sin(),cos()y x παπα+=-+=-，tan()y x πα+=，从而得到公式二. sin()sin cos()cos tan()tan a πααπααπα+=-+=-+=，，，
公式二：
sin()sin παα+=-
cos()cos παα+=-
tan()tan a πα+=
探究二：诱导公式三的推导
教师：除了由对称得到外，角πα+还可以看作是角α的终边按逆时针方向旋转角π得到的. 你能类比公式二，证明公式三和公式四吗?
学生：独立思考，并自主探究给出证明.
教师：通过多媒体展示证明过程.
公式三：
sin()sin cos()cos tan()tan a αα
ααα
-=--=-=-
证明：如图，作P 1关于x 轴的对称点P 3，则以3OP 为终边的角为α-，设1(,)P x y ，
则2(,)P x y -，
根据三角函数的定义可知：
sin ,cos ,tan
y y x a x αα===，sin()sin cos()cos tan()tan a ααααα
-=--=-=- 从而得到公式三.
探究三：诱导公式四的推导
教师：公式四：sin()sin cos()cos tan()tan a a παα
παπα
-=-=--=-
证明：如图，作P 1关于y 轴的对称点P 4，则以4OP 为终边的角为a π-，设1(,)P x y ，
则4(,)P x y -.
根据三角函数的定义可知：sin ,cos ,tan y y x a x
αα===， sin()sin παα-=,cos()cos a πα-=-,tan()tan a πα-=-. 从而得到公式四. 教师：你能概括一下他们就公式二，三，四的思想方法吗?
学生：思考回答
师生：归纳得出结论
教师：公式一，二，三，四的共同特征，2(),,a k k παπα+⋅∈-±Z 的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 圆的对称性 角的终边的对称性
对称点的数量关系 角之间的数量关系 诱导公式
（三）课堂练习
1.计算下列小题:
（1）sin(1200)-︒
（2）tan945︒
（1）答案：1
sin(1200)sin1200sin(3360120)-︒=-︒=-⨯︒+︒sin120sin(18060)=-︒=-︒-
︒sin 602
=-︒=- （2）tan945tan(2360225)︒=⨯︒+︒tan 225tan(18045)tan 451=︒=︒+︒=︒=
2.化简:()()cos 2sin 2cos 25sin 2πααππαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭-⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
答案：()()2cos 2sin 2cos 25sin 2sin sin cos sin cos πααππαπαααααα
⎛⎫- ⎪⎝⎭-⋅-⎛⎫+ ⎪⎝⎭
== 3.计算: 3sin(3)cos(2)sin()2cos()sin()cos(3)παππααπαπαπα---+
----+ 答案：原式(sin )cos (cos )=1(cos )sin (cos )
αααααα--=-- （四）课堂小结
本节课我们主要学习了哪些内容?
1.知识：诱导公式二，三，四.
2.思想方法：引导学生从单位圆的对称性与任意性中发现问题，提出研究方法.
板书设计： 公式二：
sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan a πα+= 公式三： sin()sin cos()cos tan()tan a ααααα-=--=-=- 公式四： sin()sin cos()cos tan()tan a a πααπαπα-=-=--=-。