上海市黄浦区2019年高考数学二模试卷(理科)含答案解析

上海市黄浦区2019年高考数学二模试卷（理科）（解析版）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=．
2．计算：=．
3．函数的反函数f﹣1（x）=．
4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．
5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为（结果用反函数值表示）
6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．
7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．
8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=．
9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．
10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长
为．
11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．
12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学
期望Eξ=，则a+b=．
13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．
14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为
．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么
“=0是“两直线l1，l2平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）
A．2B．3C．4D．5
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）
20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．
（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘
（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．
21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：
（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；
（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．
22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：
（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；
（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；
（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．
23．对于双曲线C （a ，b ）：
﹣
=1（a ，b ＞0），若点P （x 0，y 0）满足
﹣＜1，
则称P 在C （a ，b ）的外部，若点P （x 0，y 0）满足
﹣
＞1，则称C （a ，b ）在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C （1，1）的外部，求k 的取值范围；
（2）若C （a ，b ）过点（2，1），圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）在C （a ，b ）内部及C （a ，b ）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围；
（3）若曲线|xy|=mx 2+1（m ＞0）上的点都在C （a ，b ）的外部，求m 的取值范围．
2019年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=1．
【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，
∴m2=2m﹣1．解得m=1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．
故答案为：1
【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
2．计算：=．
【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．
【解答】解：
故答案为：．
【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．
3．函数的反函数f﹣1（x）=（x﹣1）3．
【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵=y，
∴x=（y﹣1）3，
∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．
故答案为（x﹣1）3．
【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．
【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．
【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；
所以函数的最小正周期为：T=，
故答案为：π．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．
5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan（结果用反函数值表示）
【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．
【解答】解：把极坐标方程ρ（cosθ+2sinθ）=1与ρsinθ=1化为普通方程是
x+2y=1与y=1；
又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为，
所以直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan．
故答案为：arctan．
【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键．
6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．
【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，
∴∠CAB=，
又∵||=1，
∴||=2||cos=，
∴向量在上的投影为||cos=，
故答案为：．
【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．
7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸
多面体所有棱长均为1，则其体积V=．
【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．
【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．
正六棱柱的底面积S==．
∴多面体的体积V=Sh==．
故答案为．
【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．
8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣3．
【分析】由已知得f（x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）．
【解答】解：∵f（x）=x3+lg（+x），
∴f（﹣x）=﹣x3﹣lg（+x）=﹣f（x），
∵f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，
∴2[f（a）+f（b）]=﹣6，
∴f（a）+f（b）=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．
9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于15．
【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．
【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．
令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，
分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．
∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．
【分析】不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a ﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．
【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．
∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，
∴a﹣c=5，a+c=15，
∴b2=a2﹣c2=5×15=75．
∴b=5．
则椭圆的短轴长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号
码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．
【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，
它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，
故它们的颜色号码均不相等的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．
12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学
期望Eξ=，则a+b=．
【分析】由已知得（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b．
【解答】解：∵设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，
P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），ξ的数学期望Eξ=，
∴（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，
解得a=，b=0，
∴a+b=．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用．
13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．
【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．
【解答】解：由方程组消y可得，
4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，
当x≤﹣a时，
4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，
故x=b﹣a﹣4032，
故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；
即a≤4031时，有一个解；否则无解；
当﹣a＜x≤1时，
4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，
故x=4032﹣a﹣b，
故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；
即2019≤a≤4030，有一个解，
否则无解；
当1＜x≤b时，
4033﹣2x=x+a+b﹣1，
故3x=4034﹣a﹣b，
故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；
即≤a≤2019，方程有一个解，
否则无解；
当x＞b时，
4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，
故5x=4034﹣a+b，
故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；
否则无解；
综上所述，
当a取最大值4031时，方程有一个解，
故答案为：4031．
【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．
14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为
128．
【分析】由题意可得a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，从而解得．
【解答】解：∵a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），
∴a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，
故k≥7；
故i的最小值为27=128，
故答案为：128．
【点评】本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么
“=0是“两直线l1，l2平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系
【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，
若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴=0，
故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．
16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi（a、b∈R）的形式，
分析实部和虚部的大小关系．
【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，
此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，
故选D．
【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．
17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．
【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得a=4，b=3，c=6．
再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，
故选：C．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由题意可得sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，而当x∈（0，1）时，
sin（πx）＞0恒成立；当0＜x＜时，sin（2πx）＞0，当＜x＜1时，sin（2πx）＜0，问
题变成了求在0＜x＜时，sin（3πx）与sin（4πx）同号得区间，及＜x＜1时，sin（3πx）与sin（4πx）异号的区间．然后由三角函数的象限符号求解即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，
当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；
即sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0．
若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜，
取k=0，得0＜x＜；
若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即＜x＜1+k，
取k=0，得＜x＜1；
∴只需sin（3πx）与sin（4πx）在（0，）上同号，在（）上异号．
若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即＜x＜，
取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；
若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即＜x＜，
取k=0，得＜x＜；
若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即＜x＜，
取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；
若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即+＜x＜，
取k=0，得＜x＜．取k=1，得．
∴满足sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0且在[0，1]内的区间为：
（0，），（），（），（），共4个．
∴n的值为4．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢
管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）
【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．
【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，
∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，
在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，
在直角△PAO中，PO=AB=18，
由，解得h≈47.13cm，
三根钢管总长度为≈163.25cm．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．
20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．
（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘
（2）若a=1，x=是f （x ）的图象的一条对称轴，求x 0的值，使其满足f （x 0）=
，且
x 0∈[0，2π]．
【分析】（1）由f （）=，可得a+b=2，又f （x ）=
sin （x+φ），其中tan φ=，
f （x ）的最大值为
，可得： =
，联立即可解出a ，b 的值．
（2）由a=1，可得f （x ）=sin （x+φ），其中tan φ=b ，由题意+φ=k π+
，k ∈z ，
可得φ，根据tan （k π+）=
=b ，可求φ，由f （x 0）=
，解得：x 0+
=2k π+
，或
x 0+
=2k π+
，k ∈Z ，
结合范围x 0∈[0，2π]，即可得解．
【解答】解：（1）∵f （）=
（a+b ）=
，
∴a+b=2，①
∵f （x ）=asinx+bcosx=
（
sinx+
cosx ）
=sin （x+φ），其中tan φ=，
∴f （x ）的最大值为，可得：
=．②
∴联立①②可得：，
，
（2）∵a=1，
∴可得：f （x ）=sinx+bcosx=sin （x+φ），其中tan φ=b ，
∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=k π+
，k ∈z ，可得φ=k π+
，
∴tan （k π+）=tan
=
=b ，
故φ=
，
故f （x ）=2sin （x+）．
∵f （x 0）=，可得：2sin （x 0+
）=
，解得：x 0+
=2k π+
，或x 0+
=2k π+，
k ∈Z ，
解得：x 0=2k π，或x 0=2k π+
，k ∈Z ，
又∵x0∈[0，2π]．
∴x0=0或或2π．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．
21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：
（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；
（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．
【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；
（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．
【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
（1）函数f（x）=a x+，其中a＞1，
令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，
令h（x）=，则h′（x）=＞0，
∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；
（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，
=1﹣，
x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，
x→﹣1时，﹣→+∞，
故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），
x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，
而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，
综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．
22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：
（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；
（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；
（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．
【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；
（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f
（n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不
等式组即得结论；
（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合
c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；
（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），
∴b n===n+﹣（1+k2），
当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；
当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：
当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，
由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，
联立不等式组，解得：6＜k2＜12，
∴k2=7，8，9，10，11；
（3）∵0＜k 1＜k 2，a n =（n ﹣k 1）（n ﹣k 2），
∴c n =a n +|a n |=
，
∵c i =c j ≠0（i ，j ∈N *，i ＜j ）， ∴i 、j ∉（k 1，k 2），
又∵c n =2[n 2﹣（k 1+k 2）n+k 1k 2]，
∴
=
，
∴0＜i ＜k 1＜k 2＜j ，
此时i 的四个值为1，2，3，4，故k 1的最小值为5， 又S 1、S 2、…、S n 中至少3个连续项的值相等， 不妨设S m =S m+1=S m+2=…，则c m+1=c m+2=…=0， ∵当k 1≤n ≤k 2时c n =0， ∴5=k 1≤m+1＜m+2＜…＜k 2， ∴k 2≥6，即k 2的最小值为6．
【点评】本题考查数列的通项及前n 项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
23．对于双曲线C （a ，b ）：
﹣
=1（a ，b ＞0），若点P （x 0，y 0）满足
﹣
＜1，
则称P 在C （a ，b ）的外部，若点P （x 0，y 0）满足
﹣
＞1，则称C （a ，b ）在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C （1，1）的外部，求k 的取值范围；
（2）若C （a ，b ）过点（2，1），圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）在C （a ，b ）内部及C （a ，b ）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b 、r 满足的关系式及r 的取值范围；
（3）若曲线|xy|=mx 2+1（m ＞0）上的点都在C （a ，b ）的外部，求m 的取值范围． 【分析】（1）由题意可得直线上点P （x 0，y 0）满足x 02﹣y 02＜1，且y 0=kx 0+1，即为（1﹣k 2）x 02﹣2kx 0﹣2＜0，恒成立，运用二次项系数小于0和判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均
为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围；
（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，由题意可得曲线上点P（x0，y0）满足
﹣＜1，代入y0，整理成x0的二次不等式，运用换元法和二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围．
的外部，可得
【解答】解：（1）直线y=kx+1上的点都在C
（1，1）
直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，
且y0=kx0+1，
即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，
可得1﹣k2＜0，且△=4k2+8（1﹣k2）＜0，
即有k2＞2，解得k＞或k＜﹣；
过点（2，1），可得﹣=1，
（2）若C
（a，b）
即为a2=，
由圆和双曲线的相交的弦长相等，
弦所对的圆周角均为90°，且均为r，
联立，解得y=±，
可得r=，
化简可得r2====，
令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，
即有r＞2；
（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即为
|y|=m|x|+，
的外部，
由曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C
（a，b）
可得曲线上点P（x0，y0）满足﹣＜1，
即为b2x02﹣a2（m2x02+2m+）＜a2b2，
即有（b2﹣a2m2）x04﹣（2a2m+a2b2）x02﹣a2＜0，
令t=x02，即有（b2﹣a2m2）t2﹣（2a2m+a2b2）t﹣a2＜0，对t≥0恒成立，
t=0时，﹣a2＜0显然成立；
t＞0时，b2﹣a2m2＜0，且﹣a2＜0，＜0，
由m＞0，可得m2＞，
解得m＞．
【点评】本题考查双曲线的内部或外部的理解和运用，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立思想的解法，以及直线和圆的位置关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。