开集的可测性

( 2 ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， 使得 F ⊂ E 且 m ( E − F ) < ε
(1) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 开集 G ， ) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 闭集 F ， (2 使得 E ⊂ G 且 m ( G − E ) < ε
∞
| I ni | ≤ m * E +
1 n
令 G n = ∪ I n i , 则 G n 为 开 集 ， E ⊂ G n， 且
i =1
∞
m*E ≤ mGn ≤
∞
∑
∞
i =1
m I ni ≤
∑
∞
i =1
| I ni | < m 源自 E +1 n令 O = ∩ G n， 则 O 为 G δ 型 集 ， 且 O ⊂ E,mO=m ∗ E
(1).若 (1).若E可测，则存在 Gδ 型集 O, 使 E ⊂ O 且 m (O − E ) = 0
证明：对任意的1/n，
∃开集Gn，使得E ⊂ Gn且m(Gn − E) < 1 n
令 O = ∩ Gn
n =1 ∞
, 则O为Gδ 型集，且 E ⊂ O
m(O − E ) ≤ m(Gn − E ) < 1 , n = 1, 2,3,L n
故m(O − E) = 0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 [0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E 零测度集的 Gδ 型集或 Fσ 型集。
O ∩ Gδ 型集： = n =1( ∪1( ri − i=
∞
∞
2
1 n i +1
, ri +
2
1 n i +1
))
Fσ 型集：空集
i +1 i +1
3. 可测集与 Gδ 集和 Fσ 集的关系
(1).若E可测，则存在 Gδ 型集 O, 使
E ⊂ O且m(O − E ) = 0
可测集可由 Gδ 型集去掉一零集， 或 Fσ 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 Fσ 型集H, 使 H ⊂ E且m( E − H ) = 0
(1).若E可测，则存在 Gδ 型集 O, 使 E ⊂ O且m(O − E ) = 0 (2).若E可测，则存在 Fσ 型集H, 使 H ⊂ E且m( E − H ) = 0
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 Gδ 型集与 Fσ 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
2. 可测集与开集、闭集的关系
(1) 若 E 可测，则 ∀ ε > 0 , ∃ 开集 G ， 使得 E ⊂ G 且 m ( G − E ) < ε
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。
对每个Ei应用上述结果
∃开集Gi，使得Ei ⊂ Gi且m(Gi − Ei ) <
令G = ∪ Gi , 则G为开集，E ⊂ G，且
i =1 ∞
ε
2i
m(G − E ) = m(∪ Gi − ∪ Ei ) = m(∪(Gi − ∪ Ei ))
i =1 i =1 i =1 i =1
∞
∞
∞
∞
ε ≤ m(∪(Gi − Ei )) ≤ ∑ m((Gi − Ei ) ≤ ∑ 2i < ε
(1).若 (1).若E可测，则 ∀ε
> 0, ∃开集G，使得E ⊂ G且m(G − E ) < ε
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
∀ ε > 0 , ∃ 开区间列 { I i }, 使得 E ⊂ ∪ I i 且 m * E ≤
i =1 ∞
∑
i =1
∞
| Ii | ≤ m*E + ε
令G = ∪ I i , 则G为开集，E ⊂ G，且
E = {r1 , r2 , r3 , L}
, ri + 2ε+1 ) i 2i +1
ε
开集： G = ∪(ri −
i =1
∞
闭集：空集
例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一小 测度集的开集和闭集。
开集: (0,1) ∞ 闭集： F = [0,1] − ∪(ri − 2ε , ri + 2ε ) i =1
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
∃Gδ 型 O，使得 E c ⊂ O且 m (O − E c ) = 0
H 取H=O c，则H为 Fσ 型集 ， ⊂ E 且
m( E − H ) = m( E ∩ H c ) = m((E ) ∩ H ) = m( H − E ) = m(O − E ) = 0
c c c c c c
使得 F ⊂ E 且 m ( E − F ) < ε
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
∀ε > 0, ∃开集G，使得E c ⊂ G且m(G − E c ) < ε
取F=G c，则F为闭集 F ⊂ E
且m( E − F ) = m( E ∩ F c ) = m(( E c ) c ∩ F c ) = m( F c − E c ) = m(G − E c ) < ε
i =1 i =1 i =1
∞
∞
∞
例 设E ⊂ R n，若∀ε > 0, ∃开集G，使得E ⊂ G 且m∗ (G − E ) < ε，则E是可测集。
证明：对任意的1/n，
∃开集Gn，使得E ⊂ Gn且m (Gn − E ) <
∞ n =1
∗
1 n
令 O = ∩ G n， 则 O 为 G δ 型 集 ， E ⊂ O 且
注：上面的交与并不可交换次序 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零 例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零 测度集的 Gδ 型集或 Fσ 型集。
Gδ 型集： (0,1)
Fσ 型集： H = [0,1] − ∩ (∪(r − , r + )) i i 2 2
i =1
∞
mE ≤ mG ≤ ∑ mI i ≤ ∑ | I i | < mE + ε
i =1 i =1
∞
∞
从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G − E ) = mG − mE < ε
(2)当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E = ∪ E i ( mE i < +∞ )
i =1 ∞
n =1 i =1
1 n i +1 1 n i +1
∞
∞
类似可证：
若 E ⊂ R n，则存在 Gδ 型集 O ，
∗
使得E ⊂ O且mO = m E（称O为E的等测包）
证明:由外测度定义知
∀ 1 , ∃ 开区间列 { I ni }, 使得 E ⊂ ∪ I ni 且 m * E ≤ n
i =1 ∞
∑
i =1
m∗ (O − E ) ≤ m∗ (Gn − E ) ≤ 1 , n = 1,2,3,L n
故m (O − E ) = 0
从而E = O − (O − E )为可测集
∗
例：设E [0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E 例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。
第三章 测度理论
第三节 开集的可测性
例 区间 I 是可测集，且 mI =| I |
证明见书本p66
注：零集、区间、开集、闭集、 Gδ 型集（可数个开集的交）、 Fσ 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
注：开集、闭集既是 Gδ 型集也是 Fσ 型集； 有理数集是 Fσ 型集，但不是 Gδ 型集； 无理数集是 Gδ 型集，但不是 Fσ 型集。
n =1
第四节 不可测集
存在不可测集（利用选择公理构造，教 材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存 在蕴涵选择公理） 存在不是Borel集的可测集 （利用Cantor函数和不可测集构造） 参见：《实变函数》周民强 , p87