(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分，共15分）
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为
__________。

答案：0.3
解：
3.0)(=+B A B A P
即
)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=
所以
1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.
答案:
161-e
解答：
λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e
X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故
16
1)3(-=
=e X P
3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率密度为
=)(y f Y _________。

答案：
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===⎩
其它
解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则
2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-
因为~(0,2)X U
，所以(0X F =
，即()Y X F y F = 故
04,
()()
0,.
Y Y X
y
f y F y f
<<
'
===
⎩其它
另解在(0,2)上函数2
y x
=
严格单调，反函数为()
h y=
所以
04,
()
0,.
Y X
y
f y f
<<
==
⎩其它
4．设随机变量Y
X,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2
)1
(-
=
>e
X
P，则=
λ_________，}1
)
,
{min(≤
Y
X
P=_________。

答案：2
λ=，-4
{min(,)1}1e
P X Y≤=-
解答：
2
(1)1(1)
P X P X e e
λ
--
>=-≤==，故2
λ=
{min(,)1}1{min(,)1}
P X Y P X Y
≤=->
1(1)(1)
P X P Y
=->>
4
1e-
=-.
5．设总体X的概率密度为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧<
<
+
=
其它
,0
,1
,
)1
(
)
(
x
x
x
f
θ
θ
1-
>
θ.
n
X
X
X,
,
,
2
1
是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
答案:
1
1
1
1
ln
n
i
i
x
n
θ
=
=-
∑
解答:
似然函数为
11
1
(,,;)(1)(1)(,,)
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
=
=+=+
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=++∑
1
ln
ln0
1
n
i
i
d L n
x
dθθ=
=+
+
∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111
ln n
i i x n θ==
-∑。

二、单项选择题（每小题3分，共15分)
1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =,则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立。

（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立。

( ）
答案：(D ）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ）,(C)都是正确的，只能选(D).
事实上由图
可见A 与C 不独立.
2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ。

（B)2(2)1Φ-.
（C ）2(2)-Φ。

（D)12(2)-Φ. （ ）
答案:（A)
解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）。

3．设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是
（A)X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.
（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =。

（ ）
解答：由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =⇒=），（ρ
()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，）
应选（B)。

4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111
69183
X Y P αβ
若,X Y 独立，则,αβ的值为
（A)21,99αβ==. (A ）12
,99αβ==。

（C ） 11,66αβ== (D ）51
,1818
αβ==。

( ）
解答: 若,X Y独立则有
(2,2)(2)(2)
P X Y P X P Y
α======
1121
()()()
3939
αβαα
=+++=+
∴2
9
α=,
1
9
β=
故应选（A）.
5．设总体X的数学期望为
12
,,,,
n
X X X
μ为来自X的样本,则下列结论中
正确的是
（A）
1
X是μ的无偏估计量。

（B）
1
X是μ的极大似然估计量.
（C)
1
X是μ的相合(一致)估计量. （D）
1
X不是μ的估计量. （)
答案：（A）
解答：
1
EXμ
=,所以
1
X是μ的无偏估计，应选（A).
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品
被误认为是合格品的概率为0。

02，
求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。

解:设A=‘任取一产品,经检验认为是合格品’
B=‘任取一产品确是合格品’
则（1) ()()(|)()(|)
P A P B P A B P B P A B
=+
0.90.950.10.020.857.
=⨯+⨯=
(2）()0.90.95
(|)0.9977
()0.857
P AB
P B A
P A
⨯
===。

四、(12分）
从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，
求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解：X 的概率分布为
3323
()()()0,1,2,3.55
k k k
P X k C k -===
即
01232754368125
125
125
125
X
P
X 的分布函数为
0,
0,27
,01,12581
(),12,125117
,
23,1251,
3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪
≥⎪⎩ 26
3,55EX =⨯=
2318
35525
DX =⨯⨯=。

五、（10分)设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求(1）
(,)X Y 关于X 的边缘概率密度;(2)Z X Y =+的分布函数与概率密度.
(1）(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,.
x y D
f x y ∈⎧=⎨
⎩其它
22,01
()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞
-≤≤⎧==⎨
⎩⎰
其它
（2）利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞
=-⎰
其中2,01,01(,)0,x z x x
f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨
⎩其它2,01, 1.
0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩
其它. 当 0z <或1z >时()0Z f z =
01z ≤≤时 00
()222z
z
Z f z dx x z ===⎰
故Z 的概率密度为
2,01,
()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.
Z 的分布函数为
20
0,00,0,
()()2,01,01,1, 1.
1,
1z z Z Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪
==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰
或利用分布函数法
1
0,
0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧
<⎪⎪
=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩
⎰⎰
20,
0,,
01,1, 1.
z z z z <⎧⎪
=≤≤⎨⎪>⎩
2,
01,()()0,
Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨
⎩其它.
六、（10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立，且均服从
2(0,2)N 分布. 求（1)命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率；(2
）命中点到目标中心距离
Z =
(1）{,)}(,)D
P X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰
222228
8
01
1
124
8x y r D
e dxdy e
rdrd πθππ
+-
-
==
⋅⎰⎰
⎰⎰
222
112
2
8
8
8
2
1
1
()8
r r r
e
d e
e e ----
=--=-=-⎰；
（2)228
18x y EZ E e dxdy π
+-
+∞-∞-∞
==⎰⎰
22228
8
11
84r r re
rdrd e r dr πθπ
-
-+∞+∞
=
=
⎰⎰
⎰
222
888
r r r
re e dr dr
+∞
---
+∞+∞
-∞
=-+==
⎰
七、（11分）设某机器生产的零件长度(单位：cm)2
~(,)
X Nμσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10
x=，样本方差20.16
s=. (1）求μ的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设2
:0.1
Hσ≤（显著性水平为0.05）.
（附注）
0.050.050.025
(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,
t t t
===
222
0.050.050.025
(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.
χχχ
===
解:（1）μ的置信度为1α-下的置信区间为
/2/2
(((
X t n X t n
αα
--+-
0.025
10,0.4,16,0.05,(15) 2.132
X s n t
α
=====
所以μ的置信度为0.95的置信区间为（9。

7868,10。

2132）
（2）2
:0.1
Hσ≤的拒绝域为22(1)
n
α
χχ
≥-.
2
2
15
15 1.624
0.1
S
χ==⨯=，2
0.05
(15)24.996
χ=
因为22
0.05
2424.996(15)
χχ
=<=，所以接受
H。

《概率论与数理统计》期末考试试题（A）
专业、班级：姓名：学号：
一、单项选择题(每题3分共18分）
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B
《概率论与数理统计》课程期末考试试题（B)专业、班级：姓名：学号:
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