如何运用转化思想解题

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在解题的过程中，我们经常会遇到难以直接求解的问题，此时需要在熟悉题意的基础上，运用转化思想对原问题进行转化，将原本复杂的、陌生的问题变为简单的、熟悉的问题.在转化问题的过程中，需要保证两个命题之间具备充分必要的逻辑关系，以便实现命题的双向推导、相互转化.
一、特殊与一般之间的转化有些数学问题较为特殊，并且采用常规方法难以获解，此时可以采用转化思想将问题中的条件或结论一般化，这样能将未知的、特殊的问题转化为熟悉的、一般性的问题，进而采用熟悉的、常规的方法进行求解.
例1.设a ＞0，f (x )＝ax
a +x
，令a 1＝1，
a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *.写出a 2，a 3，a 4的值，求数列{a n }的通项公式.
解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a
1+a ；
a 3＝f (a 2)＝a
2+a
；a 4＝f (a 3)＝a 3+a .
猜想a n ＝a
(n -1)+a (n ∈N *)．
①易知，n ＝1时，猜想正确．
②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a (k -1)+a ，
则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a +a k
＝a ·
a （k -1）+a
a +
a (k -1)+a
＝a (k -1)+a +1＝a
[(k +1)-1]+a .
这说明，n ＝k ＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n ∈N *，都有a n ＝a (n -1)+a .
这里运用转化思想，将特殊的数列问题转化为一般性的证明问题进行求解.首先由特殊的情况a 2，a 3，a 4的值，猜想出数列的通项公式，然后运用数学归纳法证明猜想成立.
二、数与形之间的转化
有些代数问题借助图形来处理，可以变得简洁、直观；有些几何问题利用数量关系来求解，能使结果变得更加精准.在解题时，根据题目的条件适当地进行数与形之间的转化，能方便我们快速找到解题的突破口，提升解题的效率.
例2.已知三个实数x 、y 、z 均大于0，且满足关系：
x 2+xy +y 2=25，y 2+yz +z 2=144，z 2+xz +x 2=169，试求xy +yz +xz 的值.
解：绘制如图所示的直角三角形ABC ，由余弦定理可得x 2+y 2-2xy cos120°=52，y 2+z 2-2yz ⋅cos120°=122，z 2+x 2-2zx cos120°=132，
则∠APC =∠BPC =∠APB =120°，由三角形的面积公式可得
xy sin120°+yz sin120°+xz sin 120°
2
=30，计算得
xy +yz +xz =203.
这道题直接求解难度较大，那么，就可以将数转化为形，由已知关系式联想到余弦定理，构造出三个三角形，便能快速求得xy +yz +xz 的值.
三、正面与反面之间的转化
有些问题正面求解难度较大或者运算量较大，我们不妨运用转化思想，从问题的反面入手，如求其补集、分析其对立事件、讨论命题不成立的情况等，通过正面与反面之间的转化，使问题获解.
例3.在某校2018年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为().
A.30
B.36
C.60
D.72解析：因为甲、乙两位同学从四个不同的项目中
各选两个项目的选法有C 24C 2
4种．其中甲、乙所选的
项目完全相同的选法有C 2
4种，所以甲、乙所选的项目
中至少有1个不相同的选法共有C 24C 24-C 2
4＝30(种)．故选A 项.
本题若从正面求解，需要进行分类讨论，并且出现的情况较为复杂，容易出现遗漏或错误，而运用转化思想从问题的反面进行考虑，会大大简化求解过程，提高解题的正确率.
总之，当解题遇到困难时，我们要学会运用转化思想，将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这样有助于拓宽解题的思路，提升解题的效率.
（作者单位：安徽省临泉县第一中学
）
袁
涛
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