高等数学几种特殊类型函数的积分

P(x) Q( x)

a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1


an1 x an bm1 x bm
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1 ,,an及b0 ,b1,,bm 都是实数，并且a0 0，b0 0.
4-4 有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式

1 x

(x
1 1)2

1. x1
4-4 有理函数的积分
例3
(1
1 2 x )(1

x2)
1
A 2x

Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
(1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式；
有理函数有以下性质：
1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和
一个真分式之和.
例如，我们可将 x 3 x 1
x2 1
1
化为多项式与真分式之和
x

ห้องสมุดไป่ตู้
x2
. 1
4-4 有理函数的积分
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和

(x
A2 a)k1

Ak xa
,
其中 A1 , A2 ,, Ak都是待定的常数.
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后含有：
M1x ( x2 px
N1 q)k

M2x N2 ( x2 px q)k1

4-4 有理函数的积分
少年中国说—梁启超
使举国之少年而果为少年也， 则吾中国为未来之国，其进步未可量也。
使举国之少年而亦为老大也， 则吾中国为过去之国， 其澌亡可翘足而待也。
故今日之责任，不在他人， 而全在我少年。
4-4 有理函数的积分
少年中国说—梁启超
少年智则国智，少年富则国富； 少年强则国强，少年独立则国独立； 少年自由则国自由；少年进步则国进步； 少年胜于欧洲，则国胜于欧洲； 少年雄于地球，则国雄于地球。
1)2

x
. 1
4-4 有理函数的积分
我们也可以用赋值法来得到最简分式，比 如前面的例2，两端去分母后得到
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
代入特殊的x值 : 令x 1 B 1;
令x 0 A 1;
令x 2 C 1;

1 x( x 1)2
5
5
5
例6 求
4-4 有理函数的积分
解: 原式 x2 2x 3 dx
1 2
d( x2 2x 3) 3 x2 2x 3
例3
解：
(1

1 2 x )(1

x2
)
dx

1
4
5 2x

2 x 5 1 x2
1 5
dx
4
2 x 1



1
5 2
x
dx


5 1
x2
5dx

2 5
ln(1

2
x)

1 5

1
2
x x2
dx

1 5

1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
最简分式是下面两种形式的分式
A (x a)k
Ax B ( x2 px q)k ;
其中 A, B,a, p,q 都是待定的常数.
k为正整数，p2 4q 0
4-4 有理函数的积分
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k，则分解后含有
(x
A1 a)k

B x
, 3
A( x 3) B( x 2) ( A B)x (3A 2B)
( x 2)( x 3)
( x 2)( x 3)

A (3
B A

1, 2B)

3,

A B

5 ,
6

x2
x3 5x
6
5 x2
4-4 有理函数的积分
少年中国说—梁启超
红日初升，其道大光。 河出伏流，一泻汪洋。 潜龙腾渊，鳞爪飞扬。 乳虎啸谷，百兽震惶。 鹰隼试翼，风尘翕张。 奇花初胎，矞矞皇皇。
4-4 有理函数的积分
少年中国说—梁启超
干将发硎，有作其芒。 天戴其苍，地履其黄。 纵有千古，横有八荒。 前途似海，来日方长。 美哉我少年中国，与天不老！ 壮哉我中国少年，与国无疆！
Mk x Nk x2 px q
其中 Mi , Ni都是待定的常数(i 1,2,, k).
4-4 有理函数的积分
为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，
同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系
数法
例1
x2
x3 5x
6

(x
x3 2)( x
3)
A x2

x(
1 x
1)2dx


1 x

(x
1 1)2

x
1
1
dx
例2


1dx x


(
x
1 1)2
dx


x
1
dx 1
ln | x | 1 ln | x 1 | C. x1
4-4 有理函数的积分
例5 求积分
(1

1 2 x )(1

x2
)
dx.
6 x
. 3
4-4 有理函数的积分
例2
x(
1 x1)2

A x
(x
B 1)2

C, x1
通分以后比较分子得：
1 (A C)x2 (B 2AC)x A
AC 0

B

2A

C

0

A

1,
B

1, C

1
A 1
1
11
1

x( x
1)2

x

(x
A 2B 0,
B A
(1


2C 0, C 1,
1 2x)(1
x2)
A 4, 5 4
5 1 2
B 2,C 5
2x
x
5 1 x2
1 5
1 5.
,
4-4 有理函数的积分
例4 求积分
1
x3

2x2

dx. x
解：
1 dx
x3 2x2 x
4-4 有理函数的积分
第四节 几种特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 三、小结与思考
4-4 有理函数的积分
• 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
求导 • 初等函数
积分
初等函数（见本节第一段）
4-4 有理函数的积分
一、 有理函数的积分
有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数.