(教学设计)(苏教版八·下)11.1反比例函数

11.1 反比例函数
一、教学内容分析
本节课是《义务教育教科书数学八年级下》（苏科版）第十一章反比例函数第一节反比例函数的概念。

反比例函数是初中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用。

中考为B级要求即理解。

二、学生学习情况分析
我所教的是我校初二（17）班的学生，他们升入初中第二年，大部分同学的知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运算阶段，抽象逻辑思维已占主导地位，并出现反省思维。

同时，思维的独立性和批判性也有所发展，但仍带有不少片面性和主观性。

同时也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重让学生亲自动手“操作”——先“操作”后思考，使学生在操作与思考中体验——主动获取数学知识，揭示具体“事例”的数学本质，再明晰反比例函数的概念。

使用引导、启发、观察、操作、比较、猜想、归纳和探讨的教学方法以符合这类学生的心理发展特点，从而促进他们思维能力的进一步发展。

三、设计思想
1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

教学中要充分利用课本提供的素材和活动，引导学生经历操作、思考、观察、猜想、归纳等活动，并鼓励学生充分的交流讨论、质疑说理、归纳结论，协调发展学生的合情推理与演绎推理的能力。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流合作，自主探索，及时发现问题，解决问题，调动学生的学习热情。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点，提高学生问题解决能力。

2．学法
自主探索，小组合作讨论、归纳、概括，练习巩固法。

在引导分析时，留出
足够的时间，让学生去联想、讨论、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清楚。

教学目标:
1．结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；
2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式；
3．能判断一个给定函数是否为反比例函数；
4．通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点．
教学重点：反比例函数概念的理解。

教学难点：1．讨论两个变量之间的相互关系，从而让学生加深对函数概念的理解；
2．通过对反比例函数的简单应用，使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点．
教学过程：
一、课前导入
1.同学们,在上学期的第六章，我们学习了函数的概念，那么，什么叫函数
呢？
2.在小学里，我们已经知道如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比
例．例如当路程s一定时，时间t与速度v的关系．那么成反比例的两个量之间的关系，怎样用函数表达式来表示呢？
3.请让我们带着问题先学习下面的内容。

【学生活动】回顾旧知，进入学习状态．
【设计意图】反比例函数是继正比例函数和一次函数后学生学习的一种新的函数，它所揭示的是两个变量之间的反比例关系，设置本情境是让学生回顾已有的小学反比例知识和函数的概念，从学生熟悉的知识入手，引起学生的数学学习兴趣，为引入反比例函数的概念做好准备．
二、创设情境
同学们，老师明天将去南京学习。

南京与涟水相距约240km，明天老师乘坐
的汽车将从涟水出发，以速度v(km/h)开往南京，全程所用时间为t(h)．老师在思考两个问题：
t与v的关系式是什么呢？
若汽车速度v取不同的值，那么全程所用时间为t分别为多少呢？
你能帮老师思考并写出t、v的关系式，并填写下表吗？
【思考】随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？为什么？
【学生活动】积极思考，回答问题，填写表格
【设计意图】让学生重新回顾函数的有关知识，为引入反比例函数的概念做好准备．
三、实践探索积极思考
用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系．
（1）一棵小树现在高度为80cm,以后每年长高20cm， x年后，小树的高度y(cm)与生长的年数x的关系；
（2）正方形的周长y(m)随边长x(m)的变化而变化；
（3）计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化；
（4）一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；
（5）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水池所需时间t(h)随注水速度v(m3/h)的变化而变化；
（6）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化．
【学生活动】先独立思考，再小组交流讨论，积极回答。

（1）；（2）；（3）y＝500
x
；（4）y＝
20
x
；（5）t＝
5000
v
；
（6）m＝－200 n
2080
y x
=+4
y x
=
【设计意图】⑴通过6个实际问题的求解过程，让学生了解到生活中存在着丰富的具有反比例关系的函数关系式的事例，同时学会辨别一次函数、正比例函数和反比例函数关系。

⑵通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生小
组合作意识．
四、观察、交流、归纳
【问题1】以上函数表达式中哪些是我们熟悉的？我们不熟悉的又具有什么共同特征呢？你还能举出类 似的实例吗？ 【学生活动】 小组讨论，代表回答：
⑴ 我们熟悉的函数表达式是
和 ，分别是一次函数和正比例函数；
⑵ 我们不熟悉的函数表达式是y ＝
500
x 、y ＝
20x 、t ＝
5000
v 、m ＝－
200n
，
它们的共同特征是两个变量的乘积一定，它们都是 (k 为常数，
k ≠0)形式；
⑶ 学生再举出类似的几个实例。

【问题2】 对于上述几个我们不熟悉的函数，我们如何为它们命名呢？ 【学生活动】 学生总结归纳：
反比例函数定义：
一般地，形如
(k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数（inverse proportional function ），其中 是自变量， 是
的函数．
注意：
1．反比例函数也可以表示为y ＝kx -1
(k 为常数，k ≠0)的形式,k 是比例系数． 2．反比例函数的自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
【设计意图】 通过学生相互讨论，培养学生对问题的分析以及归纳能力，提高学生的数学语言表达能力． 五、活学活用 解决问题
1. 下面的函数是反比例函数是（ ）
2080y x =+4y x =k
y x
=x
A ．y=3x+1
B ．y=x 2+2
C. D. 2.下列函数中是反比例函数的是（ ）
A ．
B ．
C ． D.
【注意】 本题是开放型试题， C 项是“陷阱”，目的是考察比例系数k 不等于0的性质。

选择支D 项由学生自己编写，答案不唯一。

本题的目的是训练学生发
现问题，分析问题，解决问题的能力，培养学生的发散性思维。

3.在反比例函数 中,k= ，
在反比例函数 中,k =_______.
4.当 时，函数 是反比例函数。

5.若函数 是反比例函数,则 的 取值为（ ） A.1 B.-1 C. ± 1 D.任意实数
6.你能自己编一道不太难、不太繁但是又容易让别人一做就错的题目吗？ 【学生活动】 独立思考，积极探索，小组交流，回答问题。

【设计意图】⑴ 让学生学会用反比例函数的定义（即一般形式）判断一个函数是否为反比例函数的一般方法，并明确确定比例系数k 的方法；
⑵题目的难度有一定梯度，关注学生思维品质的差异性，让不同的
学生有不同的发展，且符合学生的最近发展区。

⑶对于第6题，注重学生问题意识和发散思维的培养，让学生在“最
近发展区”发现问题、分析问题、解决问题，这才是启发式教学的最高境界。

六、典型例题
例1 写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）面积是 的矩形，一边长
随另一边长 的变化而变2
x y =2y x =3y x =-2x y +=k
y x
=1
2015y x
=-2015y x
=5m y x -=m 2
2(1)a
y a x -=+a ()x cm ()y cm 2
50cm
化；
（2）体积是 的圆锥，高 随底面面积 的变化而变化．
【学生活动】 独立思考，积极回答：
解：（1）根据题意，得 ， 即 ，是反比例函数；
（2）根据题意，得 即 ，是反比例函数。

【设计意图】通过例题加深学生对反比例函数的概念的理解及关系式的认识，进一步明确反比例的含义。

【注意】 该例题教学时可做如下引导：
①在引入反比例函数概念时，所给出的现实问题都有一定的局限性，如自变量取值范围的限制，常数 的符号等；
②了解函数表达式的变形，会确认反比例函数的比例系数 的值； ③与一次函数的表达式进行比较。

七、课堂提升
1.用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断所列函数表达式是否为反比例函数，若是，请说出 值： （1）一边长为5的三角形，面积
随这边上的高 的变化而变化； （2）某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积 （公顷）随人口数量
（人）的变化而 变化；
（3）一个物体重120N,该物体对地面的压强
随它与地面的接触面积 的变化而变化。

2.下列函数表达式中的 是
的反比例函数吗？如果是， 把它写成 y x k y x
=2
3
y x =
2
()S m 2(/)p N m k
x x y y 50xy =50
y x
=1100,3Sh =300h S
=k ()h cm 2
()S cm 3100cm
的形式，并指出 的值。

（1）
（2） (3) 【学生活动】 独立完成，组内互查，代表总结．
【设计意图】 培养学生独立解决问题的能力和合作学习能力，再次加强对反比例函数的理解． 八、课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获，和大家分享一下吧． 【学生活动】 讨论后共同小结．
【设计意图】 师生互动，锻炼学生的有条理的表达能力，使学生养成在学习过程中善于对问题进行总结归纳和提升． 九、课后作业 十、板书设计 十一、教后反思
4
xy =2016
x y
=-。